《高中數(shù)學(xué) 第三章 數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入 階段復(fù)習(xí)課 第3課 數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入學(xué)案 新人教A版選修22》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué) 第三章 數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入 階段復(fù)習(xí)課 第3課 數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入學(xué)案 新人教A版選修22(6頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、
第三課 數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入
[核心速填]
1.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念及分類
(1)代數(shù)形式為z=a+bi(a,b∈R),其中實部為a,虛部為b;
(2)共軛復(fù)數(shù)為z=a-bi(a,b∈R).
(3)復(fù)數(shù)的分類
①若 z=a+bi(a,b∈R)是實數(shù),則z與的關(guān)系為z=.
②若z=a+bi(a,b∈R)是純虛數(shù),則z與的關(guān)系為z+=0(z≠0).
2.與復(fù)數(shù)運算有關(guān)的問題
(1)復(fù)數(shù)相等的充要條件
a+bi=c+di?(a,b,c,d∈R).
(2)復(fù)數(shù)的模
復(fù)數(shù)z=a+bi的模|z|=,且z=|z|2=a2+b2.
(3)復(fù)數(shù)的四則運算,若兩個復(fù)數(shù)z1=a1+b
2、1i,z2=a2+b2i(a1,b1,a2,b2∈R)
①加法:z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i;
②減法:z1-z2=(a1-a2)+(b1-b2)i;
③乘法:z1z2=(a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i;
④除法:==+i(z2≠0);
3.復(fù)數(shù)的幾何意義
(1)任何一個復(fù)數(shù)z=a+bi一一對應(yīng)著復(fù)平面內(nèi)一個點Z(a,b),也一一對應(yīng)著一個從原點出發(fā)的向量.
(2)復(fù)數(shù)加法的幾何意義
若復(fù)數(shù)z1、z2對應(yīng)的向量1、2不共線,則復(fù)數(shù)z1+z2是以1、2為兩鄰邊的平行四邊形的對角線所對應(yīng)的復(fù)數(shù).
(3)復(fù)數(shù)減法的幾何意義
復(fù)數(shù)z1-z2是連接向量
3、1、2的終點,并指向Z1的向量所對應(yīng)的復(fù)數(shù).
[體系構(gòu)建]
[題型探究]
復(fù)數(shù)的概念
當(dāng)實數(shù)a為何值時,z=a2-2a+(a2-3a+2)i.
(1)為實數(shù);
(2)為純虛數(shù);
(3)對應(yīng)的點在第一象限內(nèi);
(4)復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點在直線x-y=0. 【導(dǎo)學(xué)號:31062230】
[解] (1)z∈R?a2-3a+2=0,解得a=1或a=2.
(2)z為純虛數(shù),
即故a=0.
(3)z對應(yīng)的點在第一象限,則
∴∴a<0,或a>2.
∴a的取值范圍是(-∞,0)∪(2,+∞).
(4)依題設(shè)(a2-2a)-(a2-3a+2)=0,
∴a=2.
[規(guī)律方法]
4、 處理復(fù)數(shù)概念問題的兩個注意點
(1)當(dāng)復(fù)數(shù)不是a+bi(a,b∈R)的形式時,要通過變形化為a+bi的形式,以便確定其實部和虛部.
(2)求解時,要注意實部和虛部本身對變量的要求,否則容易產(chǎn)生增根.
[跟蹤訓(xùn)練]
1.(1)若復(fù)數(shù)z=1+i(i為虛數(shù)單位),是z的共軛復(fù)數(shù),則z2+2的虛部為
( )
A.0 B.-1
C.1 D.-2
(2)設(shè)i是虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù)a-(a∈R)是純虛數(shù),則a的值為( )
A.-3 B.-1
C.1 D.3
(1)A (2)D [(1)因為z=1+i,所以=1-i,所以z2+2=(1+i)2+(1-i)2=2i+(-2i)=0
5、.故選A.
(2)因為a-=a-=a-=(a-3)-i,由純虛數(shù)的定義,知a-3=0,所以a=3.]
復(fù)數(shù)的幾何意義
(1)在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)(i是虛數(shù)單位)所對應(yīng)的點位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
(2)已知復(fù)數(shù)z1=2+3i,z2=a+bi,z3=1-4i,它們在復(fù)平面上所對應(yīng)的點分別為A,B,C.若=2+,則a=________,b=________.
【導(dǎo)學(xué)號:31062231】
(1)B (2)-3?。?0 [(1)===-+i,∴復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于第二象限.
(2)∵=2+
∴1-4i=2(2+3i)+(a+bi)
6、
即∴]
[跟蹤訓(xùn)練]
2.若i為虛數(shù)單位,圖31中復(fù)平面內(nèi)點Z表示復(fù)數(shù)z,則表示復(fù)數(shù)的點是( )
圖31
A.E B.F
C.G D.H
D [∵點Z(3,1)對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z,
∴z=3+i,====2-i,
該復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的坐標(biāo)是(2,-1),即H點.]
復(fù)數(shù)的四則運算
(1)已知是z的共軛復(fù)數(shù),若zi+2=2z,則z=( )
【導(dǎo)學(xué)號:31062232】
A.1+i B.1-i
C.-1+i D.-1-i
(2)已知復(fù)數(shù)z1=2-3i,z2=,則等于( )
A.-4+3i B.3+4i
C.3-4i D.4-3i
(1)A (2)D
7、[(1)設(shè)z=a+bi(a,b∈R),則=a-bi,代入zi+2=2z中得,(a+bi)(a-bi)i+2=2(a+bi),∴2+(a2+b2)i=2a+2bi,
由復(fù)數(shù)相等的條件得,
∴
∴z=1+i,故選A.
(2)==
==4-3i.]
母題探究:1.(變結(jié)論)本例題(1)中已知條件不變,則=__________.
[解析] 由解析知z=1+i,所以=1-i.
==i.
[答案] i
2.(變結(jié)論)本例題(2)中已知條件不變,則z1z2=__________.
[解析] z1z2=
==
==-i.
[答案] -i
[規(guī)律方法] (1)復(fù)數(shù)的乘法運算與多
8、項式的乘法運算類似;
(2)復(fù)數(shù)的除法運算,將分子分母同時乘以分母的共軛復(fù)數(shù),最后整理成a+bi(a,b∈R)的結(jié)構(gòu)形式.
(3)利用復(fù)數(shù)相等,可實現(xiàn)復(fù)數(shù)問題的實數(shù)化.
轉(zhuǎn)化與化歸思想
已知z是復(fù)數(shù),z+2i,均為實數(shù),且(z+ai)2的對應(yīng)點在第一象限,求實數(shù)a的取值范圍.
【導(dǎo)學(xué)號:31062233】
[解] 設(shè)z=x+yi(x,y∈R),
則z+2i=x+(y+2)i為實數(shù),∴y=-2.
又==(x-2i)(2+i)
=(2x+2)+(x-4)i為實數(shù),
∴x=4.∴z=4-2i,又∵(z+ai)2=(4-2i+ai)2=(12+4a-a2)+8(a
9、-2)i在第一象限.
∴,解得2