2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第2章 概率 2.3 隨機(jī)變量的數(shù)字特征 2.3.1 離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望學(xué)案 新人教B版選修2-3.docx

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2.3.1　離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 課時(shí)目標(biāo)1.通過實(shí)例理解離散型隨機(jī)變量均值的概念，能計(jì)算簡單離散型隨機(jī)變量的均值.2.理解離散型隨機(jī)變量均值的性質(zhì).3.掌握二點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布、超幾何分布的均值.4.會(huì)利用離散型隨機(jī)變量的均值，反映離散型隨機(jī)變量取值水平，解決一些相關(guān)的實(shí)際問題． 1．離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 設(shè)一個(gè)離散型隨機(jī)變量X所有可能取的值是x1，x2，…，xn，這些值對應(yīng)的概率是p1，p2，…，pn，則E(X)＝________________________叫做這個(gè)離散型隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望(簡稱期望)． 2．常見的離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 (1)二點(diǎn)分布的數(shù)學(xué)期望：若離散型隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的二點(diǎn)分布，則E(X)＝________. (2)二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望：若離散型隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n和p的二項(xiàng)分布，即X～B(n，p)，則E(X)＝________. (3)超幾何分布的數(shù)學(xué)期望：若離散型隨機(jī)變量X服從參數(shù)為N，M，n的超幾何分布，則E(X)＝______. 一、選擇題 1．設(shè)隨機(jī)變量ξ的分布列為P(X＝k)＝，k＝1,2,3,4，則E(X)的值為(　　) A．2.5 B．3.5 C．0.25 D．2 2．已知隨機(jī)變量X的分布列是 X 4 a 9 10 P 0.3 0.1 b 0.2 若E(X)＝7.5，則a等于(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 3．兩封信隨機(jī)投入A、B、C三個(gè)空郵箱，則A郵箱的信件數(shù)ξ的數(shù)學(xué)期望是(　　) A. B. C. D. 4．已知隨機(jī)變量ξ的分布列為 ξ 0 1 2 P 且η＝2ξ＋3，則E(η)等于(　　) A. B. C. D. 5．設(shè)10件產(chǎn)品中含有3件次品，從中抽取2件進(jìn)行檢查，則查得次品數(shù)的數(shù)學(xué)期望為(　　) A. B. C. D. 二、填空題 6．隨機(jī)變量X的概率分布由下表給出： X 7 8 9 10 P 0.3 0.35 0.2 0.15 則隨機(jī)變量X的均值是________． 7．某射手射擊所得環(huán)數(shù)ξ的分布列如下： ξ 7 8 9 10 P x 0.1 0.3 y 已知ξ的期望E(ξ)＝8.9，則y的值為________． 8．某漁業(yè)公司要對下月是否出海做出決策，若出海后遇到好天氣，則可得收益60 000元，若出海后天氣變壞，則將損失80 000元，若不出海，則無論天氣好壞都將損失10 000元，據(jù)氣象部門的預(yù)測，下月好天氣的概率為60%，壞天氣的概率為40%，該公司應(yīng)做出決策_(dá)_______．(填“出?！被颉安怀龊！? 三、解答題 9．在人壽保險(xiǎn)事業(yè)中，很重視某一年齡段的投保人的死亡率，假如每個(gè)投保人能活到65歲的概率為0.6，試求3個(gè)投保人中，能活到65歲人數(shù)的數(shù)學(xué)期望． 10．一個(gè)袋子里裝有大小相同的3個(gè)紅球和2個(gè)黃球，從中同時(shí)取出2個(gè)． (1)求其中所含紅球個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望； (2)若每取到一個(gè)紅球可得到100元，那么可得金額的期望值為多少？ 能力提升 11．已知ξ的分布列為： ξ －1 0 1 2 P 且η＝3ξ－1，求η的期望． 12．設(shè)S是不等式x2－x－6≤0的解集，整數(shù)m，n∈S. (1)記“使得m＋n＝0成立的有序數(shù)組(m，n)”為事件A，試列舉A包含的基本事件； (2)設(shè)ξ＝m2，求ξ的分布列及其數(shù)學(xué)期望E(ξ)． 1．求均值的關(guān)鍵是求出分布列，只要求出隨機(jī)變量的分布列，就可以套用均值的公式求解，對于aX＋b型隨機(jī)變量的均值，可以利用均值的性質(zhì)求解． 2．二點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布、超幾何分布的隨機(jī)變量的期望，直接利用公式計(jì)算． 2．3　隨機(jī)變量的數(shù)字特征 2．3.1　離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 答案 知識梳理 1．x1p1＋x2p2＋…＋xnpn 2．(1)p　(2)np　(3) 作業(yè)設(shè)計(jì) 1．A　[E(X)＝1＋2＋3＋4 ＝10＝2.5.] 2．C　[∵E(X)＝40.3＋0.1a＋9b＋2＝7.5， 0．3＋0.1＋b＋0.2＝1，∴a＝7，b＝0.4.] 3．B　[由題意知ξ～B(2，)， ∴E(ξ)＝2＝.] 4．C　[E(ξ)＝0＋1＋2＝＝， 又∵η＝2ξ＋3， ∴E(η)＝2E(ξ)＋3＝2＋3＝.] 5．B　[次品數(shù)ξ的分布列為 ξ 0 1 2 P ∴E(ξ)＝0＋1＋2＝.] 6．8.2 解析　E(X)＝70.3＋80.35＋90.2＋100.15＝8.2. 7．0.4 解析　∵E(ξ)＝7x＋80.1＋90.3＋10y＝7(0.6－y)＋10y＋3.5＝7.7＋3y， ∴7.7＋3y＝8.9，∴y＝0.4. 8．出海 解析　設(shè)ξ為公司出海的獲利，則ξ的分布列為 ξ 60 000 －80 000 P 0.6 0.4 所以獲利期望E(ξ)＝36 000－32 000＝4 000>－10 000，所以應(yīng)出海． 9．解　設(shè)X為能活到65歲的人數(shù)，則X＝3,2,1,0. 則P(X＝3)＝C0.63(1－0.6)0＝0.216； P(X＝2)＝C0.62(1－0.6)1＝0.432； P(X＝1)＝C0.61(1－0.6)2＝0.288； P(X＝0)＝C0.60(1－0.6)3＝0.064. 所以隨機(jī)變量X的分布列為 X 3 2 1 0 P 0.216 0.432 0.288 0.064 即E(X)＝30.216＋20.432＋10.288＋00.064＝1.8. 10．解　設(shè)ξ為取出紅球的個(gè)數(shù)，則ξ＝0,1,2. 所以P(ξ＝0)＝＝；P(ξ＝1)＝＝＝； P(ξ＝2)＝＝. 所以E(ξ)＝0＋1＋2＝1.2. (2)由于每取到一個(gè)紅球可得100元，因此可得金額的期望值為 E(100ξ)＝100E(ξ)＝120(元)． 11．解　因?yàn)棣危剑?,0,1,2，且η＝3ξ－1，所以η的值分別為－4，－1,2,5， 于是E(η)＝(－4)＋(－1)＋2＋5＝－－＋＋＝1. 12．解　(1)由x2－x－6≤0，得－2≤x≤3， 即S＝{x|－2≤x≤3}． 由于m，n∈Z，m，n∈S且m＋n＝0，所以A包含的基本事件為(－2,2)，(2，－2)， (－1,1)，(1，－1)，(0,0)． (2)由于m的所有不同取值為－2，－1,0,1,2,3， 所以ξ＝m2的所有不同取值為0,1,4,9， 且有P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝4)＝＝，P(ξ＝9)＝. 故ξ的分布列為 ξ 0 1 4 9 P 所以E(ξ)＝0＋1＋4＋9＝.