2018-2019高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列 2.2.3 第1課時 公式推導(dǎo)及簡單應(yīng)用學(xué)案 蘇教版必修5.docx
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第1課時 公式推導(dǎo)及簡單應(yīng)用 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.掌握等差數(shù)列前n項和公式及其獲取思路.2.熟練掌握等差數(shù)列的五個量a1,d,n,an,Sn的關(guān)系,能夠由其中三個求另外兩個.3.能用an與Sn的關(guān)系求an. 知識點一 等差數(shù)列前n項和公式 思考 高斯用1+2+3+…+100=(1+100)+(2+99)+…+(50+51)=10150迅速求出了等差數(shù)列前100項的和.但如果是求1+2+3+…+n,不知道共有奇數(shù)項還是偶數(shù)項怎么辦? 答案 不知道共有奇數(shù)項還是偶數(shù)項導(dǎo)致不能配對.但我們可以采用倒序相加來回避這個問題: 設(shè)Sn=1+2+3+…+(n-1)+n, 又Sn=n+(n-1)+(n-2)+…+2+1, ∴2Sn=(1+n)+[2+(n-1)]+… +[(n-1)+2]+(n+1), ∴2Sn=n(n+1),∴Sn=. 梳理 等差數(shù)列的前n項和公式: 已知量 首項,末項與項數(shù) 首項,公差與項數(shù) 選用公式 Sn= Sn=na1+d 知識點二 a1,d,n,an,Sn知三求二 思考 在等差數(shù)列{an}中,若已知d,n,an,如何求a1和Sn? 答案 利用an=a1+(n-1)d代入d,n,an,可求a1,利用Sn=或Sn=na1+d可求Sn. 梳理 (1)兩個公式共涉及a1,d,n,an及Sn五個基本量,它們分別表示等差數(shù)列的首項,公差,項數(shù),項和前n項和. (2)依據(jù)方程的思想,在等差數(shù)列前n項和公式中已知其中三個量可求另外兩個量,即“知三求二”. 1.若數(shù)列{an}的前n項和為Sn,則an=Sn-Sn-1,n∈N*.() 2.等差數(shù)列的前n項和,等于其首項、第n項的等差中項的n倍.(√) 類型一 等差數(shù)列前n項和公式的應(yīng)用 命題角度1 a1,d,n,an,Sn知三求二 例1 已知一個等差數(shù)列{an}的前10項的和是310,前20項的和是1220,由這些條件能確定這個等差數(shù)列的前n項和的公式嗎? 考點 等差數(shù)列前n項和 題點 等差數(shù)列前n項和有關(guān)的基本量計算問題 解 方法一 由題意知S10=310,S20=1220, 將它們代入公式Sn=na1+d, 得到 解方程組得 ∴Sn=n4+6=3n2+n. 方法二 ∵S10==310,∴a1+a10=62,① ∵S20==1220,∴a1+a20=122, ② ②-①,得a20-a10=60, ∴10d=60, ∴d=6,a1=4. ∴Sn=na1+d=3n2+n. 反思與感悟 (1)在解決與等差數(shù)列前n項和有關(guān)的問題時,要注意方程思想和整體思想的運用. (2)構(gòu)成等差數(shù)列前n項和公式的元素有a1,d,n,an,Sn,知其三能求其二. 跟蹤訓(xùn)練1 在等差數(shù)列{an}中,已知d=2,an=11,Sn=35,求a1和n. 考點 等差數(shù)列前n項和 題點 等差數(shù)列前n項和有關(guān)的基本量計算問題 解 由 得 解方程組得或 命題角度2 實際應(yīng)用 例2 某人用分期付款的方式購買一件家電,價格為1150元,購買當(dāng)天先付150元,以后每月的這一天都交付50元,并加付欠款利息,月利率為1%.若交付150元后的一個月開始算分期付款的第一個月,則分期付款的第10個月該交付多少錢?全部貸款付清后,買這件家電實際花費多少錢? 考點 等差數(shù)列的前n項和應(yīng)用題 題點 等差數(shù)列前n項和應(yīng)用題 解 設(shè)每次交款數(shù)額依次為a1,a2,…,a20, 則a1=50+10001%=60, a2=50+(1000-50)1%=59.5, … a10=50+(1000-950)1%=55.5, 即第10個月應(yīng)付款55.5元. 由于{an}是以60為首項,以-0.5為公差的等差數(shù)列, 所以有S20=20=1105, 即全部付清后實際付款1105+150=1255. 反思與感悟 建立等差數(shù)列的模型時,要根據(jù)題意找準首項、公差和項數(shù)或者首項、末項和項數(shù). 跟蹤訓(xùn)練2 甲、乙兩物體分別從相距70m的兩處同時相向運動,甲第1分鐘走2m,以后每分鐘比前1分鐘多走1m,乙每分鐘走5m. (1)甲、乙開始運動后幾分鐘相遇? (2)如果甲、乙到達對方起點后立即返回,甲繼續(xù)每分鐘比前1分鐘多走1m,乙繼續(xù)每分鐘走5m,那么開始運動幾分鐘后第二次相遇? 考點 等差數(shù)列的前n項和應(yīng)用題 題點 等差數(shù)列前n項和應(yīng)用題 解 (1)設(shè)n分鐘后第1次相遇,由題意, 得2n++5n=70,整理得n2+13n-140=0. 解得n=7,n=-20(舍去). 所以第1次相遇是在開始運動后7分鐘. (2)設(shè)n分鐘后第2次相遇,由題意, 得2n++5n=370, 整理得n2+13n-420=0. 解得n=15,n=-28(舍去). 所以第2次相遇是在開始運動后15分鐘. 類型二 由Sn與an的關(guān)系求an 例3 已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn=n2+n,求這個數(shù)列的通項公式.這個數(shù)列是等差數(shù)列嗎?如果是,它的首項與公差分別是什么? 考點 an與Sn關(guān)系 題點 由Sn公式求an 解 根據(jù)Sn=a1+a2+…+an-1+an可知 Sn-1=a1+a2+…+an-1(n>1,n∈N*), 當(dāng)n>1時, an=Sn-Sn-1=n2+n- =2n-, ① 當(dāng)n=1時,a1=S1=12+1=,也滿足①式. ∴數(shù)列{an}的通項公式為an=2n-. ∵an+1-an=2(n+1)--=2, 故數(shù)列{an}是以為首項,2為公差的等差數(shù)列. 引申探究 若將本例中前n項和改為Sn=n2+n+1,求通項公式. 解 當(dāng)n≥2時, an=Sn-Sn-1 =- =2n-. ① 當(dāng)n=1時,a1=S1=12++1=不符合①式. ∴an= 反思與感悟 已知前n項和Sn求通項an,先由n=1時,a1=S1求得a1,再由n≥2時,an=Sn-Sn-1求得an,最后驗證a1是否符合n≥2時an的表達式,若符合則統(tǒng)一用一個解析式表示. 跟蹤訓(xùn)練3 已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=3n,求an. 考點 an與Sn關(guān)系 題點 由Sn公式求an 解 當(dāng)n=1時,a1=S1=3; 當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=3n-3n-1=23n-1. 當(dāng)n=1時,代入an=23n-1得a1=2≠3. ∴an= 1.在等差數(shù)列{an}中,若S10=120,則a1+a10=________. 考點 等差數(shù)列前n項和 題點 等差數(shù)列前n項和有關(guān)的基本量計算問題 答案 24 解析 由S10=,得a1+a10===24. 2.記等差數(shù)列的前n項和為Sn,若S2=4,S4=20,則該數(shù)列的公差d為________. 考點 等差數(shù)列前n項和 題點 等差數(shù)列前n項和有關(guān)的基本量計算問題 答案 3 解析 方法一 由解得d=3. 方法二 由S4-S2=a3+a4=a1+2d+a2+2d=S2+4d,所以20-4=4+4d,解得d=3. 3.在一個等差數(shù)列中,已知a10=10,則S19=________. 考點 等差數(shù)列前n項和性質(zhì)運用 題點 等差數(shù)列前n項和與中間項的關(guān)系 答案 190 解析 S19== =19a10=1910=190. 4.已知數(shù)列{an}滿足a1+2a2+…+nan=n(n+1)(n+2),則an=________. 考點 an與Sn關(guān)系 題點 由Sn公式求an 答案 3(n+1) 解析 由a1+2a2+…+nan=n(n+1)(n+2),① 得a1+2a2+…+(n-1)an-1=(n-1)n(n+1),② ①-②,得nan=n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1) =n(n+1)[(n+2)-(n-1)]=3n(n+1), ∴an=3(n+1)(n≥2). 又當(dāng)n=1時,a1=123=6也適合上式, ∴an=3(n+1),n∈N*. 5.已知在等差數(shù)列{an}中: (1)a1=,d=-,Sn=-15,求n及an; (2)a1=1,an=-512,Sn=-1022,求d. 考點 等差數(shù)列前n項和 題點 等差數(shù)列前n項和有關(guān)的基本量計算問題 解 (1)∵Sn=n+=-15, 整理得n2-7n-60=0,解得n=12或n=-5(舍去), a12=+(12-1)=-4. ∴n=12,an=a12=-4. (2)由Sn===-1022,解得n=4. 又由an=a1+(n-1)d,即-512=1+(4-1)d, 解得d=-171. 1.求等差數(shù)列前n項和公式的方法稱為倒序相加法,在某些數(shù)列求和中也可能用到. 2.等差數(shù)列的兩個求和公式中,一共涉及a1,an,Sn,n,d五個量.若已知其中三個量,通過方程思想可求另外兩個量.在利用求和公式時,要注意整體思想的應(yīng)用,注意下面結(jié)論的運用: 若m+n=p+q,則an+am=ap+aq(n,m,p,q∈N*);若m+n=2p,則an+am=2ap. 3.由Sn與an的關(guān)系求an主要使用an= 一、填空題 1.若數(shù)列{an}的前n項和Sn=n2-1,則a4=________. 考點 an與Sn關(guān)系 題點 由Sn公式求an 答案 7 解析 a4=S4-S3=(42-1)-(32-1)=7. 2.在等差數(shù)列{an}和{bn}中,a1=25,b1=75,a100+b100=100,則數(shù)列{an+bn}的前100項的和為________. 考點 等差數(shù)列前n項和 題點 求等差數(shù)列的前n項和 答案 10000 解析 由已知得{an+bn}為等差數(shù)列,故其前100項的和為S100= =50(25+75+100)=10000. 3.在-20與40之間插入8個數(shù),使這10個數(shù)成等差數(shù)列,則這10個數(shù)的和為________. 考點 等差數(shù)列前n項和 題點 求等差數(shù)列的前n項和 答案 100 解析 S10==100. 4.在等差數(shù)列{an}中,若a2+a8=8,則該數(shù)列的前9項和S9為________. 考點 等差數(shù)列前n項和 題點 求等差數(shù)列的前n項和 答案 36 解析 S9=(a1+a9)=(a2+a8)=36. 5.在等差數(shù)列{an}中,若S10=4S5,則=________. 考點 等差數(shù)列前n項和性質(zhì)運用 題點 兩等差數(shù)列和之比與項之比問題 答案 解析 由題意得 10a1+109d=4, ∴10a1+45d=20a1+40d, ∴10a1=5d,∴=. 6.在小于100的自然數(shù)中,所有被7除余2的數(shù)之和為______. 考點 等差數(shù)列前n項和 題點 求等差數(shù)列的前n項和 答案 665 解析 ∵a1=2,d=7,2+(n-1)7<100, ∴n<15, ∴n=14,S14=142+14137=665. 7.在等差數(shù)列{an}中,a+a+2a3a8=9,且an<0,則S10=________. 考點 等差數(shù)列前n項和 題點 求等差數(shù)列的前n項和 答案?。?5 解析 由a+a+2a3a8=9,得(a3+a8)2=9, ∵an<0,∴a3+a8=-3, ∴S10====-15. 8.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=n2-2n,則a2+a18=________. 考點 an與Sn關(guān)系 題點 由Sn公式求an 答案 34 解析 方法一 a2=S2-S1=(22-22)-(12-21)=1, a18=S18-S17=182-218-(172-217)=33. ∴a2+a18=34. 方法二 a2+a18=a1+a19,S19==192-219, ∴a1+a19=34,即a2+a18=34. 9.現(xiàn)有200根相同的鋼管,把它們堆成正三角形垛,要使剩余的鋼管盡可能少,那么剩余鋼管的根數(shù)為________. 考點 等差數(shù)列的前n項和應(yīng)用題 題點 等差數(shù)列前n項和應(yīng)用題 答案 10 解析 鋼管排列方式是從上到下各層鋼管數(shù)組成了一個等差數(shù)列,最上面一層鋼管數(shù)為1,逐層增加1個. ∴鋼管總數(shù)為1+2+3+…+n=. 當(dāng)n=19時,S19=190.當(dāng)n=20時,S20=210>200. ∴當(dāng)n=19時,剩余鋼管根數(shù)最少,為10根. 10.設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和,若S3=3,S6=24,則a9=________. 考點 等差數(shù)列前n項和 題點 等差數(shù)列前n項和有關(guān)的基本量計算問題 答案 15 解析 設(shè)等差數(shù)列的公差為d, 則S3=3a1+d=3a1+3d=3,即a1+d=1, S6=6a1+d=6a1+15d=24,即2a1+5d=8. 由 解得 故a9=a1+8d=-1+82=15. 11.在等差數(shù)列{an}中,an=2n+3,前n項和Sn=an2+bn+c(a,b,c為常數(shù)),則a-b+c=________. 考點 等差數(shù)列前n項和 題點 等差數(shù)列前n項和綜合問題 答案 -3 解析 因為an=2n+3,所以a1=5,Sn==n2+4n,與Sn=an2+bn+c比較,得a=1,b=4,c=0,所以a-b+c=-3. 二、解答題 12.已知等差數(shù)列{an}的前三項依次為a,4,3a,前k項和Sk=2550,求a及k. 考點 等差數(shù)列前n項和 題點 等差數(shù)列前n項和有關(guān)的基本量計算問題 解 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d, 則由題意得 ∴(k=-51舍) ∴a=2,k=50. 13.已知數(shù)列{an}的所有項均為正數(shù),其前n項和為Sn,且Sn=a+an-. (1)證明:{an}是等差數(shù)列; (2)求數(shù)列{an}的通項公式. 考點 an與Sn關(guān)系 題點 由Sn和an遞推式求通項 (1)證明 當(dāng)n=1時,a1=S1=a+a1-, 解得a1=3或a1=-1(舍去). 當(dāng)n≥2時, an=Sn-Sn-1=(a+2an-3)-(a+2an-1-3). 所以4an=a-a+2an-2an-1, 即(an+an-1)(an-an-1-2)=0. 因為an+an-1>0,所以an-an-1=2(n≥2). 所以數(shù)列{an}是以3為首項,2為公差的等差數(shù)列. (2)解 由(1)知an=3+2(n-1)=2n+1. 三、探究與拓展 14.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若=a1+a200,且A,B,C三點共線(該直線不過原點O),則S200=________. 考點 等差數(shù)列的前n項和 題點 等差數(shù)列前n項和綜合問題 答案 100 解 因為A,B,C三點共線(該直線不過原點O), 所以a1+a200=1,所以S200==100. 15.已知公差大于零的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且滿足:a3a4=117,a2+a5=22. (1)求數(shù)列{an}的通項公式an; (2)若數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,且bn=,求非零常數(shù)c. 考點 等差數(shù)列前n項和 題點 等差數(shù)列前n項和綜合問題 解 (1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,且d>0. ∵a3+a4=a2+a5=22,又a3a4=117, ∴a3,a4是方程x2-22x+117=0的兩個根. 又公差d>0, ∴a3- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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