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課時規(guī)范練32 基本不等式及其應(yīng)用
基礎(chǔ)鞏固組
1.設(shè)0
0,b>0,a,b的等比中項是1,且m=b+1a,n=a+1b,則m+n的最小值是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
4.函數(shù)y=x2+2x+2x+1(x>-1)的圖象的最低點的坐標(biāo)是 ( )
A.(1,2) B.(1,-2) C.(1,1) D.(0,2)
5.(2017山東日照一模,文6)已知圓x2+y2+4x-2y-1=0上存在兩點關(guān)于直線ax-2by+2=0(a>0,b>0)對稱,則1a+4b的最小值為( )
A.8 B.9 C.16 D.18
6.要制作一個容積為4 m3,高為1 m的無蓋長方體容器.已知該容器的底面造價是每平方米20元,側(cè)面造價是每平方米10元,則該容器的最低總造價是( )
A.80元 B.120元 C.160元 D.240元
7.若兩個正實數(shù)x,y滿足2x+1y=1,并且x+2y>m2+2m恒成立,則實數(shù)m的取值范圍是( )
A.(-∞,-2)∪[4,+∞) B.(-∞,-4]∪[2,+∞)
C.(-2,4) D.(-4,2)
8.設(shè)x,y∈R,a>1,b>1,若ax=by=3,a+b=23,則1x+1y的最大值為( )
A.2 B.32 C.1 D.12 ?導(dǎo)學(xué)號24190921?
9.(2017山東,文12)若直線xa+yb=1(a>0,b>0)過點(1,2),則2a+b的最小值為 .
10.(2017江蘇徐州模擬)已知正數(shù)a,b滿足2a2+b2=3,則ab2+1的最大值為 .
11.(2017山西臨汾二模,文14)近來雞蛋價格起伏較大,假設(shè)第一周、第二周雞蛋價格分別為a元/千克、b元/千克,家庭主婦甲和乙買雞蛋的方式不同:家庭主婦甲每周買3千克雞蛋,家庭主婦乙每周買10元錢的雞蛋,試比較誰的購買方式更優(yōu)惠(兩次平均價格低視為實惠) .(在橫線上填甲或乙即可)
12.設(shè)a,b均為正實數(shù),求證:1a2+1b2+ab≥22.
?導(dǎo)學(xué)號24190922?
綜合提升組
13.已知不等式|y+4|-|y|≤2x+a2x對任意實數(shù)x,y都成立,則實數(shù)a的最小值為( )
A.1 B.2 C.3 D.4
14.已知x>0,y>0,lg 2x+lg 8y=lg 2,則x+yxy的最小值是 .
15.如果a,b滿足ab=a+b+3,那么ab的取值范圍是 .
16.某工廠某種產(chǎn)品的年固定成本為250萬元,每生產(chǎn)x千件,需另投入成本為C(x)(單元:萬元),當(dāng)年產(chǎn)量不足80千件時,C(x)=13x2+10x(單位:萬元).當(dāng)年產(chǎn)量不少于80千件時,C(x)=51x+10 000x-1 450(單位:萬元).每件商品售價為0.05萬元.通過市場分析,該廠生產(chǎn)的商品能全部售完.
(1)寫出年利潤L(x)(單位:萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(單位:千件)的函數(shù)解析式;
(2)年產(chǎn)量為多少千件時,該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大?
?導(dǎo)學(xué)號24190923?
創(chuàng)新應(yīng)用組
17.若正實數(shù)x,y滿足x+y+1x+1y=5,則x+y的最大值是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
18.(2017山東德州一模,文9)圓:x2+y2+2ax+a2-9=0和圓:x2+y2-4by-1+4b2=0有三條公切線,若a∈R,b∈R,且ab≠0,則4a2+1b2的最小值為( )
A.1 B.3 C.4 D.5 ?導(dǎo)學(xué)號24190924?
答案：
1.B ∵00,即ab>a,D錯誤,故選B.
2.C ∵正數(shù)x,y滿足1y+3x=1,
∴3x+4y=(3x+4y)1y+3x=13+3xy+12yx≥13+32xy4yx=25,當(dāng)且僅當(dāng)x=2y=5時等號成立.
∴3x+4y的最小值是25.故選C.
3.B 由題意知ab=1,則m=b+1a=2b,n=a+1b=2a,
∴m+n=2(a+b)≥4ab=4,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時,等號成立.
4.D ∵x>-1,∴x+1>0.∴y=(x+1)2+1x+1=(x+1)+1x+1≥2,當(dāng)且僅當(dāng)x+1=1x+1,即x=0時等號成立,即當(dāng)x=0時,該函數(shù)取得最小值2.所以該函數(shù)圖象最低點的坐標(biāo)為(0,2).
5.B 由圓的對稱性可得,直線ax-2by+2=0必過圓心(-2,1),所以a+b=1.
所以1a+4b=1a+4b(a+b)=5+ba+4ab≥5+4=9,當(dāng)且僅當(dāng)ba=4ab,即2a=b=23時等號成立,故選B.
6.C 設(shè)底面矩形的長和寬分別為a m,b m,則ab=4 m2.容器的總造價為20ab+2(a+b)10=80+20(a+b)≥80+40ab=160(元)(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時等號成立).故選C.
7.D x+2y=(x+2y)2x+1y=2+4yx+xy+2≥8,
當(dāng)且僅當(dāng)4yx=xy,即x=2y=4時等號成立.
由x+2y>m2+2m恒成立,
可知m2+2m<8,即m2+2m-8<0,
解得-41,b>1,所以ab≤a+b22=3,
所以lg(ab)≤lg 3,從而1x+1y≤lg3lg3=1,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=3時等號成立.
9.8 ∵直線xa+yb=1過點(1,2),
∴1a+2b=1.
∵a>0,b>0,∴2a+b=(2a+b)1a+2b=4+ba+4ab≥4+2ba4ab=8.
當(dāng)且僅當(dāng)b=2a時等號成立.
10.2 ab2+1=222ab2+1≤2212(2a2+b2+1)=24(3+1)=2,
當(dāng)且僅當(dāng)2a=b2+1,且2a2+b2=3,即a2=1,b2=1時,等號成立.
故ab2+1的最大值為2.
11.乙 甲購買產(chǎn)品的平均單價為3a+3b6=a+b2,乙購買產(chǎn)品的平均單價為2010a+10b=2aba+b.
∵a+b2-2aba+b=(a-b)22(a+b)≥0,且兩次購買的單價不同,
∴a≠b,
∴a+b2-2aba+b>0,
∴乙的購買方式的平均單價較小.故答案為乙.
12.證明 因為a,b均為正實數(shù),
所以1a2+1b2≥21a21b2=2ab,
當(dāng)且僅當(dāng)1a2=1b2,即a=b時等號成立,
又因為2ab+ab≥22abab=22,
當(dāng)且僅當(dāng)2ab=ab時等號成立,
所以1a2+1b2+ab≥2ab+ab≥22,
當(dāng)且僅當(dāng)1a2=1b2,2ab=ab,即a=b=42時等號成立.
13.D 令f(y)=|y+4|-|y|,
則f(y)≤|y+4-y|=4,即f(y)max=4.
∵不等式|y+4|-|y|≤2x+a2x對任意實數(shù)x,y都成立,
∴2x+a2x≥f(y)max=4,
∴a≥-(2x)2+42x=-(2x-2)2+4恒成立;
令g(x)=-(2x)2+42x,
則a≥g(x)max=4,∴實數(shù)a的最小值為4.
14.23+4 x>0,y>0,lg 2x+lg 8y=lg 2,可得x+3y=1.
x+yxy=(x+y)(x+3y)xy=x2+3y2+4xyxy=xy+3yx+4≥2xy3yx+4=23+4.
當(dāng)且僅當(dāng)x=3y,x+3y=1,即y=3-36,x=3-12時等號成立.
x+yxy的最小值是23+4.
15.(-∞,1)∪(9,+∞) ∵ab=a+b+3,
∴a+b=ab-3,∴(a+b)2=(ab-3)2.∵(a+b)2≥4ab,
∴(ab-3)2≥4ab,
即(ab)2-10ab+9≥0,故ab≤1或ab≥9.
16.解 (1)因為每件商品售價為0.05萬元,則x千件商品銷售額為0.051 000x萬元,依題意得,當(dāng)00,y>0,xy≤(x+y)24,
∴1xy≥4(x+y)2,x+yxy≥4x+y,即1x+1y≥4x+y,
∴x+y+1x+1y≥x+y+4x+y.
即x+y+4x+y≤5.
設(shè)x+y=t,則t>0,∴t+4t≤5,得到t2-5t+4≤0,
解得1≤t≤4,
∴x+y的最大值是4.
18.A 由題意可得兩圓相外切,兩圓的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為(x+a)2+y2=9,x2+(y-2b)2=1,
圓心分別為(-a,0),(0,2b),半徑分別為3和1,故有a2+4b2=16,
∴4a2+1b2=1164a2+1b2(a2+4b2)=1168+16b2a2+a2b2≥116(8+8)=1,
當(dāng)且僅當(dāng)16b2a2=a2b2,即a2=8,b2=2時,等號成立,故選A.
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