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2018-2019高中數(shù)學 第二章 數(shù)列章末復習學案 蘇教版必修5.docx
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第二章 數(shù)列 章末復習 學習目標 1.整合知識結構,梳理知識網(wǎng)絡,進一步鞏固、深化所學知識.2.提高解決等差數(shù)列、等比數(shù)列問題的能力.3.依托等差數(shù)列、等比數(shù)列解決一般數(shù)列的常見通項、求和等問題. 1.等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本概念與公式 等差數(shù)列 等比數(shù)列 定義 如果一個數(shù)列從第2項起,每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù),那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列,這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差,公差通常用字母d表示 如果一個數(shù)列從第2項起,每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù),那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列,這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比,公比通常用字母q表示(q≠0) 遞推公式 an+1-an=d =q 中項 由三個數(shù)a,A,b組成的等差數(shù)列可以看成最簡單的等差數(shù)列.這時A叫做a與b的等差中項,并且A= 如果在a與b中間插入一個數(shù)G,使a,G,b成等比數(shù)列,那么G叫做a與b的等比中項,且G= 通項公式 an=a1+(n-1)d an=a1qn-1 前n項和公式 Sn==na1+d 當q≠1時,Sn==,當q=1時,Sn=na1 性質 am,an的關系 am-an=(m-n)d =qm-n m,n,s,t∈N*,m+n=s+t am+an=as+at aman=asat {kn}是等差數(shù)列,且kn∈N* {}是等差數(shù)列 {}是等比數(shù)列 n=2k-1,k∈N* S2k-1=(2k-1)ak a1a2…a2k-1=a 判斷方法 利用定義 an+1-an是同一常數(shù) 是同一常數(shù) 利用中項 an+an+2=2an+1 anan+2=a 利用通項公式 an=pn+q,其中p,q為常數(shù) an=abn(a≠0,b≠0) 利用前n項和公式 Sn=an2+bn (a,b為常數(shù)) Sn=A(qn-1),其中A≠0,q≠0且q≠1或Sn=np(p為非零常數(shù)) 2.數(shù)列中的基本方法和思想 (1)在求等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式時,分別用到了累加法和累乘法; (2)在求等差數(shù)列和等比數(shù)列的前n項和時,分別用到了倒序相加法和錯位相減法. (3)等差數(shù)列和等比數(shù)列各自都涉及5個量,已知其中任意三個求其余兩個,用到了方程思想. (4)在研究等差數(shù)列和等比數(shù)列單調(diào)性,等差數(shù)列前n項和最值問題時,都用到了函數(shù)思想. 1.等差數(shù)列、等比數(shù)列的很多性質是相似的.(√) 2.一般數(shù)列問題通常要轉化為等差數(shù)列、等比數(shù)列來解決.(√) 類型一 方程思想求解數(shù)列問題 例1 設{an}是公比大于1的等比數(shù)列,Sn為數(shù)列{an}的前n項和.已知S3=7,且a1+3,3a2,a3+4構成等差數(shù)列. (1)求數(shù)列{an}的通項; (2)令bn=lna3n+1,n=1,2,…,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn. 考點 等差等比數(shù)列綜合應用 題點 等差等比基本量問題綜合 解 (1)由已知得解得a2=2. 設數(shù)列{an}的公比為q,由a2=2,可得a1=,a3=2q, 又S3=7,可知+2+2q=7,即2q2-5q+2=0. 解得q1=2,q2=.由題意得q>1,∴q=2,∴a1=1. 故數(shù)列{an}的通項為an=2n-1. (2)由于bn=lna3n+1,n=1,2,…, 由(1)得a3n+1=23n,∴bn=ln23n=3nln2. 又bn+1-bn=3ln2,∴{bn}是等差數(shù)列, ∴Tn=b1+b2+…+bn==ln2. 故Tn=ln2. 反思與感悟 在等比數(shù)列和等差數(shù)列中,通項公式an和前n項和公式Sn共涉及五個量:a1,an,n,q(d),Sn,其中首項a1和公比q(公差d)為基本量,“知三求二”是指將已知條件轉換成關于a1,an,n,q(d),Sn的方程組,通過方程的思想解出需要的量. 跟蹤訓練1 記等差數(shù)列的前n項和為Sn,設S3=12,且2a1,a2,a3+1成等比數(shù)列,求Sn. 考點 等差等比數(shù)列綜合應用 題點 等差等比基本量問題綜合 解 設數(shù)列的公差為d, 依題設有 即 解得或 因此Sn=n(3n-1)或Sn=2n(5-n),n∈N*. 類型二 轉化與化歸思想求解數(shù)列問題 例2 在數(shù)列{an}中,Sn為數(shù)列{an}的前n項和,Sn+1=4an+2,a1=1. (1) 設cn=,求證:數(shù)列{cn}是等差數(shù)列; (2) 求數(shù)列{an}的通項公式及前n項和的公式. 考點 等差等比數(shù)列綜合應用 題點 等差等比數(shù)列其他綜合問題 (1)證明 ∵Sn+1=4an+2, ① ∴當n≥2,n∈N*時,Sn=4an-1+2. ② ①-②得an+1=4an-4an-1. 方法一 對an+1=4an-4an-1兩邊同除以2n+1,得 =2-, 即+=2, 即cn+1+cn-1=2cn, ∴數(shù)列{cn}是等差數(shù)列. 由Sn+1=4an+2,得a1+a2=4a1+2,則a2=3a1+2=5, ∴c1==,c2==,故公差d=-=, ∴{cn}是以為首項,為公差的等差數(shù)列. 方法二 ∵an+1-2an=2an-4an-1=2(an-2an-1), 令bn=an+1-2an, 則{bn}是以a2-2a1=4a1+2-a1-2a1=3為首項,2為公比的等比數(shù)列, ∴bn=32n-1, ∵cn=,∴cn+1-cn=-= ===, c1==, ∴{cn}是以為首項,為公差的等差數(shù)列. (2)解 由(1)可知數(shù)列是首項為,公差為的等差數(shù)列, ∴=+(n-1)=n-,an=(3n-1)2n-2是數(shù)列{an}的通項公式. 設Sn=(3-1)2-1+(32-1)20+…+(3n-1)2n-2, 則2Sn=(3-1)20+(32-1)21+…+(3n-1)2n-1, ∴Sn=2Sn-Sn =-(3-1)2-1-3(20+21+…+2n-2)+(3n-1)2n-1 =-1-3+(3n-1)2n-1 =-1+3+(3n-4)2n-1 =2+(3n-4)2n-1. ∴數(shù)列{an}的通項公式為an=(3n-1)2n-2,前n項和公式為Sn=2+(3n-4)2n-1,n∈N*. 反思與感悟 由遞推公式求通項公式,要求掌握的方法有兩種,一種求法是先找出數(shù)列的前幾項,通過觀察、歸納得出,然后證明;另一種是通過變形轉化為等差數(shù)列或等比數(shù)列,再采用公式求出. 跟蹤訓練2 設數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知a1+2a2+3a3+…+nan=(n-1)Sn+2n(n∈N*). (1)求a2,a3的值; (2)求證:數(shù)列{Sn+2}是等比數(shù)列. 考點 等差等比數(shù)列綜合應用 題點 等差等比數(shù)列其他綜合問題 (1)解 ∵a1+2a2+3a3+…+nan =(n-1)Sn+2n(n∈N*), ∴當n=1時,a1=21=2; 當n=2時,a1+2a2=(a1+a2)+4,∴a2=4; 當n=3時,a1+2a2+3a3=2(a1+a2+a3)+6,∴a3=8. (2)證明 ∵a1+2a2+3a3+…+nan =(n-1)Sn+2n(n∈N*),① ∴當n≥2時,a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1 =(n-2)Sn-1+2(n-1).② ①-②得nan=(n-1)Sn-(n-2)Sn-1+2 =n(Sn-Sn-1)-Sn+2Sn-1+2 =nan-Sn+2Sn-1+2. ∴-Sn+2Sn-1+2=0,即Sn=2Sn-1+2, ∴Sn+2=2(Sn-1+2). ∵S1+2=4≠0,∴Sn-1+2≠0,∴=2, 故{Sn+2}是以4為首項,2為公比的等比數(shù)列. 類型三 函數(shù)思想求解數(shù)列問題 命題角度1 借助函數(shù)性質解數(shù)列問題 例3 已知等差數(shù)列{an}的首項a1=1,公差d>0,且第2項、第5項、第14項分別是一個等比數(shù)列的第2項、第3項、第4項. (1)求數(shù)列{an}的通項公式; (2)設bn=(n∈N*),Sn=b1+b2+…+bn,是否存在t,使得對任意的n均有Sn>總成立?若存在,求出最大的整數(shù)t;若不存在,請說明理由. 考點 數(shù)列綜合問題 題點 數(shù)列與函數(shù)的綜合 解 (1)由題意得(a1+d)(a1+13d)=(a1+4d)2, 整理得2a1d=d2. ∵a1=1,d>0,∴d=2. ∴an=2n-1(n∈N*). (2)∵bn===, ∴Sn=b1+b2+…+bn = ==. 假設存在整數(shù)t滿足Sn>總成立, 又Sn+1-Sn=-=>0, ∴數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列. ∴S1=為Sn的最小值,故<,即t<9. 又∵t∈Z,∴適合條件的t的最大值為8. 反思與感悟 數(shù)列是一種特殊的函數(shù),在求解數(shù)列問題時,若涉及參數(shù)取值范圍、最值問題或單調(diào)性時,均可考慮采用函數(shù)的性質及研究方法指導解題.值得注意的是數(shù)列定義域是正整數(shù)集或{1,2,3,…,n},這一特殊性對問題結果可能造成影響. 跟蹤訓練3 已知首項為的等比數(shù)列{an}不是遞減數(shù)列,其前n項和為Sn(n∈N*),且S3+a3,S5+a5,S4+a4成等差數(shù)列. (1)求數(shù)列{an}的通項公式; (2)設Tn=Sn-(n∈N*),求數(shù)列{Tn}最大項的值與最小項的值. 考點 數(shù)列綜合問題 題點 數(shù)列與函數(shù)的綜合 解 (1)設等比數(shù)列{an}的公比為q, 因為S3+a3,S5+a5,S4+a4成等差數(shù)列, 所以S5+a5-S3-a3=S4+a4-S5-a5, 即4a5=a3,于是q2==. 又{an}不是遞減數(shù)列,且a1=,所以q=-. 故等比數(shù)列{an}的通項公式為 an=n-1=(-1)n-1. (2)由(1)得Sn=1-n= 當n為奇數(shù)時,Sn隨n的增大而減小, 所以1- 配套講稿:
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