2018-2019高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列 2.3.3 第1課時 等比數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)及簡單應(yīng)用學(xué)案 蘇教版必修5.docx
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第1課時 等比數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)及簡單應(yīng)用 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.掌握等比數(shù)列的前n項和公式及公式證明思路.2.會用等比數(shù)列的前n項和公式解決有關(guān)等比數(shù)列的一些簡單問題. 知識點一 等比數(shù)列的前n項和公式 思考 對于S64=1+2+4+8+…+262+263,用2乘以等式的兩邊可得2S64=2+4+8+…+262+263+264,對這兩個式子作怎樣的運算能解出S64? 答案 比較兩式易知,兩式相減能消去相同項,解出S64,即S64==264-1. 梳理 等比數(shù)列的前n項和公式: 已知量 首項a1,項數(shù)n與公比q 首項a1,末項an與公比q 公式 Sn= Sn= 特別提醒:在應(yīng)用公式求和時,應(yīng)注意到Sn=的使用條件為q≠1,而當(dāng)q=1時應(yīng)按常數(shù)列求和,即Sn=na1. 知識點二 等比數(shù)列的前n項和公式的應(yīng)用 思考 要求等比數(shù)列前8項的和: (1)若已知其前三項,用哪個公式比較合適? (2)若已知a1,a9,q的值.用哪個公式比較合適? 答案 (1)用Sn=.(2)用Sn=. 梳理 一般地,使用等比數(shù)列求和公式時需注意: (1) 一定不要忽略q=1的情況. (2) 知道首項a1、公比q和項數(shù)n,可以用;知道首尾兩項a1,an和q,可以用. (3) 在通項公式和前n項和公式中共出現(xiàn)了五個量:a1,n,q,an,Sn.知道其中任意三個,可求其余兩個. 1.在等比數(shù)列{an}中,a1=b,公比為q,則前3項和為.() 2.等比數(shù)列{an}的公比q≠1,則前n項和Sn=.() 3.首項為a的數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列,則其前n項和為Sn=na.(√) 類型一 等比數(shù)列前n項和公式的應(yīng)用 命題角度1 前n項和公式的直接應(yīng)用 例1 求下列等比數(shù)列前8項的和: (1),,,…; (2)a1=27,a9=,q<0. 考點 等比數(shù)列前n項和 題點 求等比數(shù)列的前n項和 解 (1)因為a1=,q=, 所以S8==. (2)由a1=27,a9=,可得=27q8. 又由q<0, 可得q=-, 所以S8====. 反思與感悟 求等比數(shù)列前n項和,要確定首項、公比或首項、末項、公比,應(yīng)特別注意q=1是否成立. 跟蹤訓(xùn)練1 若等比數(shù)列{an}滿足a2+a4=20,a3+a5=40,則公比q=________;前n項和Sn=________. 考點 等比數(shù)列前n項和 題點 求等比數(shù)列的前n項和 答案 2 2n+1-2 解析 設(shè)等比數(shù)列的公比為q, ∵a2+a4=20,a3+a5=40, ∴20q=40,且a1q+a1q3=20, 解得q=2,且a1=2. 因此Sn==2n+1-2. 命題角度2 通項公式、前n項和公式的綜合應(yīng)用 例2 在等比數(shù)列{an}中,a1=2,S3=6,求a3和q. 考點 等比數(shù)列前n項和 題點 等比數(shù)列的前n項和有關(guān)的基本量計算問題 解 由題意,得若q=1,則S3=3a1=6,符合題意. 此時,q=1,a3=a1=2. 若q≠1,則由等比數(shù)列的前n項和公式, 得S3===6, 解得q=-2. 此時,a3=a1q2=2(-2)2=8. 綜上所述,q=1,a3=2或q=-2,a3=8. 反思與感悟 (1)應(yīng)用等比數(shù)列的前n項和公式時,首先要對公比q=1或q≠1進行判斷,若兩種情況都有可能,則要分類討論. (2)當(dāng)q=1時,等比數(shù)列是常數(shù)列,所以Sn=na1;當(dāng)q≠1時,等比數(shù)列的前n項和Sn有兩個公式.當(dāng)已知a1,q與n時,用Sn=比較方便;當(dāng)已知a1,q與an時,用Sn=比較方便. 跟蹤訓(xùn)練2 在等比數(shù)列{an}中,S2=30,S3=155,求Sn. 考點 等比數(shù)列前n項和 題點 求等比數(shù)列的前n項和 解 方法一 由題意知 解得或 從而Sn==(5n-1) 或Sn==,n∈N*. 方法二 若q=1,則S3∶S2=3∶2, 而事實上,S3∶S2=31∶6,故q≠1. 所以 兩式作比,得=, 解得或 從而Sn==(5n-1) 或Sn==,n∈N*. 類型二 等比數(shù)列前n項和的實際應(yīng)用 例3 小華準(zhǔn)備購買一臺售價為5000元的電腦,采用分期付款方式,并在一年內(nèi)將款全部付清.商場提出的付款方式為:購買2個月后第1次付款,再過2個月后第2次付款,…,購買12個月后第6次付款,每次付款金額相同,約定月利率為0.8%,每月利息按復(fù)利計算,求小華每期付款金額是多少. 考點 等比數(shù)列前n項和應(yīng)用題 題點 等比數(shù)列前n項和的應(yīng)用題 解 方法一 設(shè)小華每期付款x元,第k個月末付款后的欠款本利為Ak元,則: A2=5000(1+0.008)2-x=50001.0082-x, A4=A2(1+0.008)2-x=50001.0084-1.0082x-x, … A12=50001.00812-(1.00810+1.0088+…+1.0082+1)x=0, 解得x= =≈880.8. 故小華每期付款金額約為880.8元. 方法二 設(shè)小華每期付款x元,到第k個月時已付款及利息為Ak元,則: A2=x; A4=A2(1+0.008)2+x=x(1+1.0082); A6=A4(1+0.008)2+x=x(1+1.0082+1.0084); … A12=x(1+1.0082+1.0084+1.0086+1.0088+1.00810). ∵年底付清欠款,∴A12=50001.00812, 即50001.00812=x(1+1.0082+1.0084+…+1.00810), ∴x=≈880.8. 故小華每期付款金額約為880.8元. 反思與感悟 解決此類問題的關(guān)鍵是建立等比數(shù)列模型及弄清數(shù)列的項數(shù),所謂復(fù)利計息,即把上期的本利和作為下一期本金,在計算時每一期本金的數(shù)額是不同的,復(fù)利的計算公式為S=P(1+r)n,其中P代表本金,n代表存期,r代表利率,S代表本利和. 跟蹤訓(xùn)練3 一個熱氣球在第一分鐘上升了25m的高度,在以后的每一分鐘里,它上升的高度都是它在前一分鐘里上升高度的80%,這個熱氣球上升的高度能超過125m嗎? 考點 等比數(shù)列前n項和應(yīng)用題 題點 等比數(shù)列前n項和的應(yīng)用題 解 用an表示熱氣球在第n分鐘上升的高度, 由題意,得an+1=an, 因此,數(shù)列{an}是首項a1=25,公比q=的等比數(shù)列. 熱氣球在前n分鐘內(nèi)上升的總高度為 Sn=a1+a2+…+an= ==125<125. 故這個熱氣球上升的高度不可能超過125m. 1.等比數(shù)列1,x,x2,x3,…的前n項和Sn=__________. 考點 等比數(shù)列前n項和 題點 求等比數(shù)列的前n項和 答案 解析 當(dāng)x=1時,Sn=n; 當(dāng)x≠1時,Sn=. 2.設(shè)等比數(shù)列{an}的公比q=2,前n項和為Sn,則=______. 考點 等比數(shù)列前n項和 題點 等比數(shù)列的前n項和有關(guān)的基本量計算問題 答案 解析 方法一 由等比數(shù)列的定義,S4=a1+a2+a3+a4=+a2+a2q+a2q2, 得=+1+q+q2=. 方法二 ∵S4=,a2=a1q, ∴==. 3.等比數(shù)列{an}的各項都是正數(shù),若a1=81,a5=16,則它的前5項的和是________. 考點 等比數(shù)列前n項和 題點 等比數(shù)列的前n項和有關(guān)的基本量計算問題 答案 211 解析 ∵q4===4,且q>0, ∴q=,∴S5===211. 4.某廠去年產(chǎn)值為a,計劃在5年內(nèi)每年比上一年產(chǎn)值增長10%,從今年起5年內(nèi),該廠的總產(chǎn)值為________. 考點 等比數(shù)列前n項和應(yīng)用題 題點 等比數(shù)列前n項和的應(yīng)用題 答案 11a(1.15-1) 解析 去年產(chǎn)值為a,今年起5年內(nèi)各年的產(chǎn)值分別為1.1a,1.12a,1.13a,1.14a,1.15a, ∴1.1a+1.12a+1.13a+1.14a+1.15a=11a(1.15-1). 1.在等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式中,共涉及五個量:a1,an,n,q,Sn,其中首項a1和公比q為基本量,且“知三求二”. 2.前n項和公式的應(yīng)用中,注意前n項和公式要分類討論,即當(dāng)q≠1和q=1時是不同的公式形式,不可忽略q=1的情況. 3.一般地,如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列,{bn}是等比數(shù)列且公比為q,求數(shù)列{anbn}的前n項和時,可采用錯位相減法求和. 一、填空題 1.設(shè)數(shù)列{(-1)n}的前n項和為Sn,則Sn=____________. 考點 等比數(shù)列前n項和 題點 求等比數(shù)列的前n項和 答案 解析 Sn==. 2.在各項都為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中,首項a1=3,前3項和為21,則a3+a4+a5=________. 考點 等比數(shù)列前n項和 題點 等比數(shù)列的前n項和有關(guān)的基本量計算問題 答案 84 解析 由S3=a1(1+q+q2)=21且a1=3, 得q2+q-6=0. ∵q>0, ∴q=2, ∴a3+a4+a5=q2(a1+a2+a3)=q2S3 =2221=84. 3.設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和,8a2+a5=0,則=________. 考點 等比數(shù)列前n項和 題點 等比數(shù)列的前n項和有關(guān)的基本量計算問題 答案?。?1 解析 由8a2+a5=0得8a1q+a1q4=0, ∴q=-2,則==-11. 4.等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知S3=a2+10a1,a5=9,則a1=________. 考點 等比數(shù)列前n項和 題點 等比數(shù)列的前n項和有關(guān)的基本量計算問題 答案 解析 設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q, 由S3=a2+10a1,得a1+a2+a3=a2+10a1, 即a3=9a1,q2=9,又a5=a1q4=9,所以a1=. 5.設(shè)公比為q(q>0)的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn.若S2=3a2+2,S4=3a4+2,則a1=________. 答案?。? 解析 由S2=3a2+2,S4=3a4+2,得a3+a4=3a4-3a2,即q+q2=3q2-3,解得q=-1(舍去)或q=,將q=代入S2=3a2+2中得a1+a1=3a1+2,解得a1=-1. 6.已知數(shù)列{an}滿足3an+1+an=0,a2=-,則{an}的前10項和為__________. 考點 等比數(shù)列前n項和 題點 求等比數(shù)列的前n項和 答案 3(1-3-10) 解析 由3an+1+an=0,得=-, 故數(shù)列{an}是公比q=-的等比數(shù)列. 又a2=-,可得a1=4. 所以S10==3(1-3-10). 7.一彈球從100米高處自由落下,每次著地后又跳回到原來高度的一半再落下,則第10次著地時所經(jīng)過的路程和是________米.(結(jié)果保留到個位) 考點 等比數(shù)列前n項和應(yīng)用題 題點 等比數(shù)列前n項和的應(yīng)用題 答案 300 解析 小球10次著地共經(jīng)過的路程為100+100+50+…+1008=299≈300(米). 8.設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若a1=1,S6=4S3,則a4=________. 考點 等比數(shù)列前n項和 題點 等比數(shù)列的前n項和有關(guān)的基本量計算問題 答案 3 解析 ∵S6=4S3,∴q≠1,∴=,∴q3=3,∴a4=a1q3=13=3. 9.?dāng)?shù)列a1,a2-a1,a3-a2,…,an-an-1,…是首項為1,公比為2的等比數(shù)列,那么an=________. 考點 等比數(shù)列前n項和 題點 等比數(shù)列的前n項和有關(guān)的基本量計算問題 答案 2n-1 解析 an-an-1=a1qn-1=2n-1, 即 各式相加得an-a1=2+22+…+2n-1=2n-2, 故an=a1+2n-2=2n-1. 10.等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知S1,2S2,3S3成等差數(shù)列,則{an}的公比為________. 考點 等比數(shù)列前n項和 題點 等比數(shù)列的前n項和有關(guān)的基本量計算問題 答案 解析 由已知4S2=S1+3S3, 即4(a1+a2)=a1+3(a1+a2+a3). ∴a2=3a3, ∴{an}的公比q==. 11.設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若S3+S6=2S9,則數(shù)列的公比q=________. 考點 等比數(shù)列前n項和 題點 等比數(shù)列的前n項和有關(guān)的基本量計算問題 答案 - 解析 當(dāng)q=1時, Sn=na1,S3+S6=3a1+6a1=9a1=S9≠2S9,不合題意; 當(dāng)q≠1時,+=2, 得2-q3-q6=2-2q9,∴2q9-q6-q3=0, 解得q3=-或q3=1(舍去)或q3=0(舍去), ∴q=-. 二、解答題 12.求和:121+222+323+…+n2n,n∈N*. 考點 錯位相減法求和 題點 錯位相減法求和 解 設(shè)Sn=121+222+323+…+n2n, 則2Sn=122+223+…+(n-1)2n+n2n+1, ∴-Sn=21+22+23+…+2n-n2n+1 =-n2n+1=2n+1-2-n2n+1 =(1-n)2n+1-2, ∴Sn=(n-1)2n+1+2. 13.已知{an}是公差為3的等差數(shù)列,數(shù)列{bn}滿足b1=1,b2=,anbn+1+bn+1=nbn. (1)求{an}的通項公式; (2)求{bn}的前n項和. 考點 等比數(shù)列前n項和 題點 求等比數(shù)列的前n項和 解 (1)由已知,a1b2+b2=b1,b1=1,b2=,得a1=2. 所以數(shù)列{an}是首項為2,公差為3的等差數(shù)列,通項公式為an=3n-1. (2)由(1)和anbn+1+bn+1=nbn得bn+1=,因此{(lán)bn}是首項為1,公比為的等比數(shù)列. 記{bn}的前n項和為Sn,則 Sn==-. 三、探究與拓展 14.在等比數(shù)列{an}中,對任意n∈N*,a1+a2+…+an=2n-1,則a+a+…+a=____________. 考點 等比數(shù)列前n項和 題點 求等比數(shù)列的前n項和 答案 解析 ∵a1+a2+…+an=2n-1,∴a1=21-1=1. ∵a1+a2=1+a2=22-1=3,∴a2=2,∴{an}的公比為2. ∴{a}的公比為4,首項為a=1. ∴a+a+…+a==. 15.已知正項等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且S2=6,S4=30,n∈N*,數(shù)列{bn}滿足bnbn+1=an,b1=1. (1)求an,bn; (2)求數(shù)列{bn}的前n項和Tn. 考點 等比數(shù)列前n項和 題點 求等比數(shù)列的前n項和 解 (1)設(shè)正項等比數(shù)列{an}的公比為q(q>0),由題意可得a1+a1q=6,a1+a1q+a1q2+a1q3=30,解得a1=q=2(負(fù)值舍去),可得an=a1qn-1=2n,由bnbn+1=an=2n,b1=1,可得b2=2,即有bn+1bn+2=an+1=2n+1,可得=2,可得數(shù)列{bn}中奇數(shù)項、偶數(shù)項分別為公比為2的等比數(shù)列,即有bn= (2)當(dāng)n為偶數(shù)時,前n項和為Tn=+=+=3()n-3;當(dāng)n為奇數(shù)時,前n項和為Tn=Tn-1+=3()n-1-3+=()n+3-3.綜上可得,Tn=- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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