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第2章 圓錐曲線與方程
章末檢測試卷(二)
(時間:120分鐘 滿分:160分)
一、填空題(本大題共14小題,每小題5分,共70分)
1.平面直角坐標系xOy中,橢圓+=1的離心率是________.
考點 圓錐曲線幾何性質(zhì)
題點 離心率問題
答案
解析 由題意可知,a=2,b=,c==1,
由橢圓的離心率e==.
2.雙曲線-=1的兩條漸近線的方程為__________.
考點 圓錐曲線幾何性質(zhì)
題點 求雙曲線漸近線方程
答案 y=x
解析 由雙曲線方程可知a=4,b=3,所以兩條漸近線方程為y=x.
3.已知焦點在x軸上的雙曲線的漸近線方程為y=x,則該雙曲線的離心率為________.
考點 圓錐曲線幾何性質(zhì)
題點 離心率問題
答案
解析 設雙曲線的方程為-=1,
則它的漸近線方程為y=x,故=,
因此離心率為e===.
4.雙曲線x2-y2=a2(a>0)的右焦點與拋物線y2=4x的焦點重合,則a=________.
考點 圓錐曲線方程
題點 焦點問題
答案
解析 雙曲線x2-y2=a2的右焦點的坐標為(a,0),拋物線y2=4x的焦點為(1,0),從而a=1,故a=.
5.若雙曲線的頂點為橢圓x2+=1長軸的端點,且雙曲線的離心率與該橢圓的離心率的積為1,則雙曲線的標準方程為__________.
考點 圓錐曲線幾何性質(zhì)
題點 由離心率問題求曲線方程
答案?。?
解析 由橢圓x2+=1的離心率為,則雙曲線的離心率為,且雙曲線的頂點為(0,),故雙曲線的標準方程為-=1.
6.雙曲線x2-=1的離心率大于的充分必要條件是__________.
考點 圓錐曲線幾何性質(zhì)
題點 離心率問題
答案 m>1
解析 由e2=2==1+m>2,得m>1.
7.如圖,F(xiàn)1,F(xiàn)2是雙曲線C1:x2-=1與橢圓C2的公共焦點,點A是C1,C2在第一象限的公共點.若F1F2=F1A,則橢圓C2的離心率是________.
考點 圓錐曲線方程
題點 求離心率問題
答案
解析 由題意知,F(xiàn)1F2=F1A=4.
∵F1A-F2A=2,∴F2A=2,
∴F1A+F2A=6,又∵F1F2=4,
∴橢圓C2的離心率是=.
8.已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的一條漸近線過點(2,),且雙曲線的一個焦點在拋物線y2=4x的準線上,則雙曲線方程為______________.
考點 圓錐曲線幾何性質(zhì)
題點 求雙曲線方程
答案?。?
解析 雙曲線-=1的漸近線方程為y=x,
又漸近線過點(2,),所以=,即2b=a.①
拋物線y2=4x的準線方程為x=-,
由已知得=,即a2+b2=7,②
聯(lián)立①②解得a2=4,b2=3,
所以雙曲線方程為-=1.
9.設圓錐曲線Γ的兩個焦點分別為F1,F(xiàn)2,若曲線Γ上存在點P滿足PF1∶F1F2∶PF2=4∶3∶2,則曲線Γ的離心率為________.
考點 圓錐曲線方程
題點 求離心率問題
答案 或
解析 由題意可設PF1=4m,F(xiàn)1F2=3m,PF2=2m.
當圓錐曲線是橢圓時,長軸長為2a=PF1+PF2=4m+2m=6m,焦距為2c=F1F2=3m,
所以離心率e====;
當圓錐曲線是雙曲線時,實軸長為2a=PF1-PF2=4m-2m=2m,焦距為2c=F1F2=3m,
所以離心率e====.
故e=或.
10.已知二次曲線-=1(k<3,k≠0)與+=1,則下列說法正確的是________.(填序號)
①有不同的頂點;②有不同的準線;③有相同的焦點;④有相同的離心率.
考點 圓錐曲線方程
題點 幾何性質(zhì)判斷
答案?、?
解析 當0
-k>0,
∴+=1表示焦點在x軸上的橢圓.
a2=3-k,b2=-k.
∴a2-b2=3=c2,與已知橢圓有相同的焦點.
綜上,二次曲線-=1與+=1有相同的焦點.
11.橢圓+=1上一點P到兩焦點的距離之積為m,則m取最大值時,P點坐標是________________.
考點 圓錐曲線定義
題點 圓錐曲線定義的運用
答案 (0,3)或(0,-3)
解析 ∵PF1+PF2=2a=10,
∴PF1PF2≤2=25.
當且僅當PF1=PF2=5時,取得最大值,
此時P點是短軸端點,即P點坐標是(0,3)或(0,-3).
12.已知點A(0,2),B(2,0).若點C在拋物線x2=y(tǒng)的圖象上,則使得△ABC的面積為2的點C的個數(shù)為________.
考點 圓錐曲線定義
題點 圓錐曲線定義的運用
答案 4
解析 由已知可得AB=2,要使S△ABC=2,則點C到直線AB的距離必須為,設C(x,x2),而lAB:x+y-2=0,所以有=,所以x2+x-2=2,
當x2+x-2=2時,有兩個不同的C點;
當x2+x-2=-2時,亦有兩個不同的C點.
因此滿足條件的C點有4個.
13.過橢圓+=1的右焦點作一條斜率為2的直線與橢圓交于A,B兩點,O為坐標原點,則△OAB的面積為________.
答案
解析 橢圓+=1的右焦點為(1,0),
所以直線方程為y=2(x-1).
聯(lián)立得3y2+2y-8=0.
設A(x1,y1),B(x2,y2),
所以y1,y2是3y2+2y-8=0的兩根,
所以y1=-2,y2=.
所以S△OAB=S△OFA+S△OFB=OF|y1-y2|
=1=.
14.如圖,在平面直角坐標系xOy中,A1,A2,B1,B2為橢圓+=1(a>b>0)的四個頂點,F(xiàn)為其右焦點,直線A1B2與直線B1F相交于點T,線段OT與橢圓的交點M恰為線段OT的中點,則該橢圓的離心率為________.
考點 直線與圓錐曲線關系
題點 求離心率問題
答案 2-5
解析 直線A1B2的方程為+=1;
直線B1F的方程為+=1.
二者聯(lián)立解得T,
又M在橢圓+=1(a>b>0)上,
故+=1,e2+10e-3=0,
解得e=2-5或e=-2-5.
又0b>0),c=.
設雙曲線方程為-=1,m=a-4.
∵=,易得a=7,m=3.∴b2=36,n2=4.
∴橢圓的標準方程為+=1,
雙曲線的標準方程為-=1.
②若焦點在y軸上,同理可得橢圓的標準方程為+=1,雙曲線的標準方程為-=1.
16.(14分)已知過拋物線y2=2px(p>0)的焦點,斜率為2的直線l交拋物線于A,B兩點,且AB=5.
(1)求此拋物線方程;
(2)若M(1,2)是拋物線上一點,求的值.
考點 直線與拋物線的位置關系
題點 求拋物線方程和其他運算
解 (1)因為焦點坐標為F,
所以直線l的方程為y=2.
由消去y,得4x2-6px+p2=0.①
設A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=,
∴AB=x1+x2+p==5,
∴p=2,∴拋物線方程為y2=4x.
(2)方程①化為x2-3x+1=0,
∴x1+x2=3,x1x2=1,直線l的方程為y=2x-2,
∴=(x1-1,y1-2)(x2-1,y2-2)
=(x1-1)(x2-1)+(y1-2)(y2-2)
=(x1-1)(x2-1)+(2x1-4)(2x2-4)
=5x1x2-9(x1+x2)+17=5-27+17=-5.
17.(14分)如圖,F(xiàn)1,F(xiàn)2分別是橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右焦點,A是橢圓C的上頂點,B是直線AF2與橢圓C的另一個交點,∠F1AF2=60.
(1)求橢圓C的離心率;
(2)已知△AF1B的面積為40,求a,b的值.
考點 圓錐曲線定義
題點 圓錐曲線定義的運用
解 (1)∠F1AF2=60?a=2c?e==.
(2)設BF2=m,則BF1=2a-m,
在△BF1F2中,BF=BF+F1F-2BF2F1F2cos120?(2a-m)2=m2+a2+am?m=a.
△AF1B的面積為S=F1ABAsin60
?a=40?a=10,
∴c=5,b=5.
綜上a=10,b=5.
18.(16分)已知雙曲線C1:x2-=1.
(1)求與雙曲線C1有相同焦點,且過點P(4,)的雙曲線C2的標準方程;
(2)直線l:y=x+m分別與雙曲線C1的兩條漸近線相交于A,B兩點.當=3時,求實數(shù)m的值.
考點 直線與雙曲線的位置關系
題點 直線與雙曲線位置關系的運用
解 (1)∵雙曲線C1:x2-=1,
∴焦點坐標為(,0),(-,0).
設雙曲線C2的標準方程為-=1(a>0,b>0),
∵雙曲線C2與雙曲線C1有相同焦點,且過點P(4,),
∴解得
∴雙曲線C2的標準方程為-y2=1.
(2)雙曲線C1的兩條漸近線為y=2x,y=-2x.
由可得x=m,y=2m,∴A(m,2m).
由可得x=-m,y=m,
∴B.
∴=-m2+m2=m2.
∵=3,∴m2=3,∴m=.
19.(16分)如圖,在平面直角坐標系xOy中,橢圓+=1(a>b>0)的右頂點和上頂點分別為A,B,M為線段AB的中點,且=-b2.
(1)求橢圓的離心率;
(2)已知a=2,四邊形ABCD內(nèi)接于橢圓,AB∥DC.記直線AD,BC的斜率分別為k1,k2,求證:k1k2為定值.
考點 橢圓方程與幾何性質(zhì)
題點 橢圓方程與幾何性質(zhì)的綜合運用
解 (1)A(a,0),B(0,b),
由M為線段AB的中點得M.
所以=,=(-a,b).
因為=-b2,
所以(-a,b)=-+=-b2,
整理得a2=4b2,即a=2b.
因為a2=b2+c2,所以c=b.
所以橢圓的離心率e==.
(2)方法一 由a=2,得b=1,故橢圓方程為+y2=1.
從而A(2,0),B(0,1),直線AB的斜率為-.
因為AB∥DC,故可設DC的方程為y=-x+m.
設D(x1,y1),C(x2,y2).
聯(lián)立消去y,得x2-2mx+2m2-2=0,
所以x1+x2=2m,從而x1=2m-x2.
直線AD的斜率k1==,直線BC的斜率k2==,
所以k1k2=
=
=
=
==,
即k1k2為定值.
方法二 由a=2,得b=1,故橢圓方程為+y2=1.
從而A(2,0),B(0,1),直線AB的斜率為-.
設C(x0,y0),則+y=1.
因為AB∥CD,故CD的方程為y=-(x-x0)+y0.
聯(lián)立
消去y,得x2-(x0+2y0)x+2x0y0=0,
解得x=x0(舍去)或x=2y0.
所以點D的坐標為.
所以k1k2==,
即k1k2為定值.
20.(16分)如圖,已知橢圓+=1(a>b>0)的左、右焦點為F1,F(xiàn)2,P是橢圓上一點,M在PF1上,且滿足=λ(λ∈R),PO⊥F2M,O為坐標原點.
(1)若橢圓方程為+=1,且P(2,),求點M的橫坐標;
(2)若λ=2,求橢圓離心率e的取值范圍.
考點 橢圓方程與幾何性質(zhì)
題點 橢圓方程與幾何性質(zhì)的綜合運用
解 (1)∵+=1,∴F1(-2,0),F(xiàn)2(2,0),
∴kOP=,kF2M=-,kF1M=,
∴直線F2M的方程為y=-(x-2),直線F1M的方程為y=(x+2),
由解得x=.
∴點M的橫坐標為.
(2)設P(x0,y0),M(xM,yM),
∵=2,∴=(x0+c,y0)=(xM+c,yM),
∴M,=,
∵PO⊥F2M,=(x0,y0),
∴x0+y=0,
即x+y=2cx0,
聯(lián)立方程
消去y0,得c2x-2a2cx0+a2(a2-c2)=0,
解得x0=或x0=,
∵-a.
綜上,橢圓離心率e的取值范圍為.
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