2018-2019高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列 2.2.1-2.2.2 第1課時(shí) 等差數(shù)列的概念及通項(xiàng)公式學(xué)案 蘇教版必修5.docx
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第1課時(shí) 等差數(shù)列的概念及通項(xiàng)公式 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.理解等差數(shù)列的定義，會(huì)用定義判斷和證明一個(gè)數(shù)列是否為等差數(shù)列.2.會(huì)推導(dǎo)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，能運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題.3.掌握等差中項(xiàng)的概念． 知識(shí)點(diǎn)一 等差數(shù)列的概念 思考 給出以下三個(gè)數(shù)列： (1)0,5,10,15,20； (2)4,4,4,4，…； (3)18,15.5,13,10.5,8,5.5. 它們有什么共同的特征？ 答案 從第2項(xiàng)起，每項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差是同一個(gè)常數(shù)． 梳理 一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)減去它的前一項(xiàng)所得的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示，可正可負(fù)可為零． 知識(shí)點(diǎn)二 等差中項(xiàng)的概念 思考 下列所給的兩個(gè)數(shù)之間，插入一個(gè)什么數(shù)后三個(gè)數(shù)就會(huì)成為一個(gè)等差數(shù)列： (1)2,4；(2)－1,5；(3)0,0；(4)a，b. 答案 插入的數(shù)分別為3,2,0，. 梳理 如果三個(gè)數(shù)a，A，b組成等差數(shù)列，那么A叫做a與b的等差中項(xiàng)，且A＝. 知識(shí)點(diǎn)三 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 思考 對(duì)于等差數(shù)列2,4,6,8，…，有a2－a1＝2，即a2＝a1＋2；a3－a2＝2，即a3＝a2＋2＝a1＋22；a4－a3＝2，即a4＝a3＋2＝a1＋32. 試猜想an＝a1＋( )2. 答案 n－1 梳理 若一個(gè)等差數(shù)列{an}，首項(xiàng)是a1，公差為d，則an＝a1＋(n－1)d.此公式可用累加法證明． 1．若一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差都是常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列．() 2．任意兩個(gè)實(shí)數(shù)都有等差中項(xiàng)．(√) 3．從通項(xiàng)公式可以看出，若等差數(shù)列的公差d>0，則該數(shù)列為遞增數(shù)列．(√) 4．若三個(gè)數(shù)a，b，c滿(mǎn)足2b＝a＋c，則a，b，c一定成等差數(shù)列．(√) 類(lèi)型一 等差數(shù)列的判定與證明 命題角度1 根據(jù)前幾項(xiàng)判定數(shù)列是否為等差數(shù)列 例1 判斷下列數(shù)列是不是等差數(shù)列？ (1)9,7,5,3,…,－2n＋11,…； (2)－1,11,23,35,…,12n－13,…； (3)1,2,1,2,…； (4)1,2,4,6,8,10,…； (5)a,a,a,a,a,…. 考點(diǎn) 等差數(shù)列的概念 題點(diǎn) 等差數(shù)列概念的理解運(yùn)用 解 由等差數(shù)列的定義得(1)，(2)，(5)為等差數(shù)列，(3)，(4)不是等差數(shù)列． 反思與感悟 判斷一個(gè)數(shù)列是不是等差數(shù)列，就是判斷該數(shù)列的每一項(xiàng)減去它的前一項(xiàng)差是否為同一個(gè)常數(shù)． 跟蹤訓(xùn)練1 下列數(shù)列是等差數(shù)列的是________．(填序號(hào)) ①5,5,5,5,5； ②3,7,11,15,19； ③－2，－1,0,2,4,6. 考點(diǎn) 等差數(shù)列的概念 題點(diǎn) 等差數(shù)列概念的理解運(yùn)用 答案 ①② 命題角度2 用定義證明數(shù)列是等差數(shù)列 例2 已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝2n＋5.求證{an}是等差數(shù)列． 考點(diǎn) 等差數(shù)列的判定 題點(diǎn) 證明數(shù)列是等差數(shù)列 證明 ∵an＝2n＋5， ∴an＋1＝2(n＋1)＋5. ∴an＋1－an＝2(n＋1)＋5－(2n＋5)＝2，n∈N*， ∴{an}是公差為2的等差數(shù)列． 反思與感悟 為了確保從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)減前一項(xiàng)的差始終是同一個(gè)常數(shù)．當(dāng)證明項(xiàng)數(shù)較多或者無(wú)窮的數(shù)列為等差數(shù)列時(shí)，不宜逐項(xiàng)驗(yàn)證，而需證an＋1－an＝d. 跟蹤訓(xùn)練2 在數(shù)列{an}中，an＝2n，求證{lnan}為等差數(shù)列． 考點(diǎn) 等差數(shù)列的判定 題點(diǎn) 證明數(shù)列是等差數(shù)列 證明 lnan＋1－lnan＝ln＝ln＝ln2.n∈N*， ∴{lnan}是公差為ln2的等差數(shù)列． 類(lèi)型二 等差中項(xiàng) 例3 在－1與7之間順次插入三個(gè)數(shù)a，b，c使這五個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，求此數(shù)列． 考點(diǎn) 等差中項(xiàng) 題點(diǎn) 等差中項(xiàng)及其應(yīng)用 解 ∵－1，a，b，c,7成等差數(shù)列， ∴b是－1與7的等差中項(xiàng)， ∴b＝＝3. 又a是－1與3的等差中項(xiàng)，∴a＝＝1. 又c是3與7的等差中項(xiàng)，∴c＝＝5. ∴該數(shù)列為－1,1,3,5,7. 反思與感悟 在等差數(shù)列{an}中，由定義有an＋1－an＝an－an－1(n≥2，n∈N*)，即an＝，從而由等差中項(xiàng)的定義知，等差數(shù)列從第2項(xiàng)起的每一項(xiàng)都是它前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等差中項(xiàng)． 跟蹤訓(xùn)練3 若m和2n的等差中項(xiàng)為4,2m和n的等差中項(xiàng)為5，求m和n的等差中項(xiàng)． 考點(diǎn) 等差中項(xiàng) 題點(diǎn) 等差中項(xiàng)及其應(yīng)用 解 由m和2n的等差中項(xiàng)為4，得m＋2n＝8. 又由2m和n的等差中項(xiàng)為5，得2m＋n＝10. 兩式相加，得m＋n＝6. 所以m和n的等差中項(xiàng)為＝3. 類(lèi)型三 等差數(shù)列通項(xiàng)公式的求法及應(yīng)用 命題角度1 基本量(a1，d，n，an)知其中三個(gè)求其余 例4 在等差數(shù)列{an}中，已知a6＝12，a18＝36，求通項(xiàng)公式an. 考點(diǎn) 等差數(shù)列基本量的計(jì)算問(wèn)題 題點(diǎn) 求等差數(shù)列的項(xiàng) 解 由題意可得 解得d＝2，a1＝2. ∴an＝2＋(n－1)2＝2n. 反思與感悟 根據(jù)通項(xiàng)公式把已知量和未知量之間的關(guān)系列為方程求解的思想方法，稱(chēng)為方程思想． 跟蹤訓(xùn)練4 (1)求等差數(shù)列8,5,2，…的第20項(xiàng)； (2)判斷－401是不是等差數(shù)列－5，－9，－13，…的項(xiàng)，如果是，是第幾項(xiàng)？ 考點(diǎn) 等差數(shù)列基本量的計(jì)算問(wèn)題 題點(diǎn) 求等差數(shù)列的項(xiàng) 解 (1)由a1＝8，a2＝5，得d＝a2－a1＝5－8＝－3， 由n＝20，得a20＝8＋(20－1)(－3)＝－49. (2)由a1＝－5，d＝－9－(－5)＝－4，得這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝－5＋(n－1)(－4)＝－4n－1. 由題意，令－401＝－4n－1，得n＝100， 即－401是這個(gè)數(shù)列的第100項(xiàng)． 命題角度2 等差數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用 例5 某市出租車(chē)的計(jì)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)為1.2元/km，起步價(jià)為10元，即最初的4km(不含4km)計(jì)費(fèi)10元，如果某人乘坐該市的出租車(chē)去往14km處的目的地，且一路暢通，等候時(shí)間為0，那么需要支付多少車(chē)費(fèi)？ 考點(diǎn) 等差數(shù)列的應(yīng)用題 題點(diǎn) 等差數(shù)列的應(yīng)用題 解 根據(jù)題意，當(dāng)該市出租車(chē)的行程大于或等于4km時(shí)，每增加1km，乘客需要支付1.2元． 所以，可以建立一個(gè)等差數(shù)列{an}來(lái)計(jì)算車(chē)費(fèi)． 令a1＝11.2，表示4km處的車(chē)費(fèi)，公差d＝1.2， 那么當(dāng)出租車(chē)行至14km處時(shí)，n＝11， 此時(shí)a11＝11.2＋(11－1)1.2＝23.2. 即需要支付車(chē)費(fèi)23.2元． 反思與感悟 在實(shí)際問(wèn)題中，若一組數(shù)依次成等數(shù)額增長(zhǎng)或下降，則可考慮利用等差數(shù)列方法解決．在利用數(shù)列方法解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，一定要確認(rèn)首項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)等關(guān)鍵因素． 跟蹤訓(xùn)練5 在通常情況下，從地面到10km高空，高度每增加1km，氣溫就下降某一個(gè)固定數(shù)值．如果1km高度的氣溫是8.5℃，5km高度的氣溫是－17.5℃，求2km，4km,8km高度的氣溫． 考點(diǎn) 等差數(shù)列的應(yīng)用題 題點(diǎn) 等差數(shù)列的應(yīng)用題 解 用{an}表示自下而上各高度氣溫組成的數(shù)列， 由題意可知，數(shù)列{an}為等差數(shù)列，設(shè)其公差為d. 則a1＝8.5，a5＝－17.5， 由a5＝a1＋4d＝8.5＋4d＝－17.5， 解得d＝－6.5， ∴an＝15－6.5n. ∴a2＝2，a4＝－11，a8＝－37， 即2km,4km,8km高度的氣溫分別為2℃，－11℃，－37℃. 1．下列數(shù)列不是等差數(shù)列的是________．(填序號(hào)) ①1,1,1,1,1; ②4,7,10,13,16； ③，，1，，；④－3，－2，－1,1,2. 考點(diǎn) 等差數(shù)列的概念 題點(diǎn) 等差數(shù)列概念的理解運(yùn)用 答案?、? 2．已知等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝3－2n，則它的公差d＝________. 考點(diǎn) 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 題點(diǎn) 通項(xiàng)公式的綜合應(yīng)用 答案?。? 解析 由等差數(shù)列的定義，得d＝a2－a1＝－1－1＝－2. 3．已知在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，則B＝________. 考點(diǎn) 等差中項(xiàng) 題點(diǎn) 等差中項(xiàng)及其應(yīng)用 答案 60 解析 因?yàn)锳，B，C成等差數(shù)列， 所以B是A，C的等差中項(xiàng)， 則有A＋C＝2B， 又因?yàn)锳＋B＋C＝180， 所以3B＝180，從而B(niǎo)＝60. 4．已知等差數(shù)列－5，－2,1，…，則該數(shù)列的第20項(xiàng)為_(kāi)_______． 考點(diǎn) 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 題點(diǎn) 通項(xiàng)公式的綜合應(yīng)用 答案 52 解析 公差d＝－2－(－5)＝3，a20＝－5＋(20－1)d＝－5＋193＝52. 5．已知等差數(shù)列1，－1，－3，－5，…，－89，則它的項(xiàng)數(shù)是________． 考點(diǎn) 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 題點(diǎn) 通項(xiàng)公式的綜合應(yīng)用 答案 46 解析 d＝－1－1＝－2，設(shè)－89為第n項(xiàng)，則－89＝1＋(n－1)d＝1＋(n－1)(－2)，∴n＝46. 1．判斷一個(gè)數(shù)列是否為等差數(shù)列的常用方法： (1)an＋1－an＝d(d為常數(shù)，n∈N*)?{an}是等差數(shù)列． (2)2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)?{an}是等差數(shù)列． (3)an＝kn＋b(k，b為常數(shù)，n∈N*)?{an}是等差數(shù)列． 但若要說(shuō)明一個(gè)數(shù)列不是等差數(shù)列，則只需舉出一個(gè)反例即可． 2．由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an＝a1＋(n－1)d可以看出，只要知道首項(xiàng)a1和公差d，就可以求出通項(xiàng)公式，反過(guò)來(lái)，在a1，d，n，an四個(gè)量中，只要知道其中任意三個(gè)量，就可以求出另一個(gè)量． 一、填空題 1.－1與＋1的等差中項(xiàng)是________． 考點(diǎn) 等差中項(xiàng) 題點(diǎn) 等差中項(xiàng)及其應(yīng)用 答案 解析 設(shè)等差中項(xiàng)為a，則有a＝＝. 2．在數(shù)列{an}中，a1＝2,2an＋1－2an＝1，則a101＝______. 考點(diǎn) 等差數(shù)列的概念 題點(diǎn) 等差數(shù)列概念的理解運(yùn)用 答案 52 解析 因?yàn)?an＋1－2an＝1，a1＝2，所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)a1＝2，公差d＝的等差數(shù)列，所以a101＝a1＋100d＝2＋100＝52. 3．若a≠b，則等差數(shù)列a，x1，x2，b的公差是________． 考點(diǎn) 等差數(shù)列基本量的計(jì)算問(wèn)題 題點(diǎn) 等差數(shù)列公差有關(guān)問(wèn)題 答案 解析 由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，得b＝a＋(4－1)d， 所以d＝. 4．已知在等差數(shù)列{an}中，a3＋a8＝22，a6＝7，則a5＝________. 考點(diǎn) 等差數(shù)列基本量的計(jì)算問(wèn)題 題點(diǎn) 求等差數(shù)列的項(xiàng) 答案 15 解析 設(shè){an}的首項(xiàng)為a1，公差為d， 根據(jù)題意得 解得a1＝47，d＝－8. 所以a5＝47＋(5－1)(－8)＝15. 5．等差數(shù)列20,17,14,11，…中第一個(gè)負(fù)數(shù)項(xiàng)是第______項(xiàng)． 考點(diǎn) 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 題點(diǎn) 通項(xiàng)公式的綜合應(yīng)用 答案 8 解析 ∵a1＝20，d＝－3， ∴an＝20＋(n－1)(－3)＝23－3n， ∴a7＝2＞0，a8＝－1<0. 6．若5，x，y，z,21成等差數(shù)列，則x＋y＋z＝______. 考點(diǎn) 等差中項(xiàng) 題點(diǎn) 等差中項(xiàng)及其應(yīng)用 答案 39 解析 ∵5，x，y，z,21成等差數(shù)列， ∴y既是5和21的等差中項(xiàng)也是x和z的等差中項(xiàng)． ∴5＋21＝2y， ∴y＝13，x＋z＝2y＝26， ∴x＋y＋z＝39. 7．一個(gè)等差數(shù)列的前4項(xiàng)是a，x，b,2x，則＝________. 考點(diǎn) 等差中項(xiàng) 題點(diǎn) 等差中項(xiàng)及其應(yīng)用 答案 解析 ∵b是x,2x的等差中項(xiàng)，∴b＝＝， 又∵x是a，b的等差中項(xiàng)，∴2x＝a＋b， ∴a＝，∴＝. 8．已知在等差數(shù)列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，則a12＝________. 考點(diǎn) 等差數(shù)列基本量的計(jì)算問(wèn)題 題點(diǎn) 求等差數(shù)列的項(xiàng) 答案 15 解析 由 得 ∴a12＝a1＋11d＝－＋11＝15. 9．若一個(gè)等差數(shù)列的前三項(xiàng)為a,2a－1,3－a，則這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為_(kāi)_______． 考點(diǎn) 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 題點(diǎn) 求通項(xiàng)公式 答案 an＝＋1，n∈N* 解析 ∵a＋(3－a)＝2(2a－1)， ∴a＝. ∴這個(gè)等差數(shù)列的前三項(xiàng)依次為，，， ∴d＝，an＝＋(n－1)＝＋1，n∈N*. 10．現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第5節(jié)的容積為_(kāi)_______升． 考點(diǎn) 等差數(shù)列的應(yīng)用題 題點(diǎn) 等差數(shù)列的應(yīng)用題 答案 解析 設(shè)此等差數(shù)列為{an}，公差為d， 則∴ 解得∴a5＝a1＋4d＝＋4＝. 11．在等差數(shù)列{an}中，若a1＝84，a2＝80，則使an≥0，且an＋1<0的n＝________. 考點(diǎn) 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 題點(diǎn) 通項(xiàng)公式的綜合應(yīng)用 答案 22 解析 公差d＝a2－a1＝－4， ∴an＝a1＋(n－1)d＝84＋(n－1)(－4)＝88－4n， 令即?21下載提示(請(qǐng)認(rèn)真閱讀)
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