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3.1 不等關(guān)系
學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.能用不等式(組)表示實際問題的不等關(guān)系.2.體會用數(shù)學(xué)模型刻畫不等關(guān)系等實際問題的方法.
知識點一 不等關(guān)系
思考1 限速40km/h的路標(biāo),指示司機在前方路段行駛時,應(yīng)使汽車的速度v不超過40 km/h,用不等式如何表示?
答案 v≤40.
梳理 我們可以用不等式(組)來刻畫不等關(guān)系,以下是常見的文字語言與數(shù)學(xué)符號之間的轉(zhuǎn)換.
文字語言
數(shù)學(xué)符號
大于
>
小于
<
大于或等于
≥
小于或等于
≤
至多
≤
至少
≥
不少于
≥
不多于
≤
不足
<
超過
>
知識點二 作差法
思考 x2+1與2x兩式都隨x的變化而變化,其大小關(guān)系并不顯而易見.你能想個辦法,比較x2+1與2x的大小,而且具有說服力嗎?
答案 作差:x2+1-2x=(x-1)2≥0,所以x2+1≥2x.
梳理 依照下列性質(zhì):
(1)a-b>0?a>b;
(2)a-b=0?a=b;
(3)a-b<0?a
b,則>1.()
類型一 用不等式(組)表示不等關(guān)系
命題角度1 用不等式表示單個約束條件
例1 某種雜志原以每本2.5元的價格銷售,可以售出8萬本.據(jù)市場調(diào)查,若單價每提高0.1元,銷售量就可能相應(yīng)減少2000本.若把提價后雜志的定價設(shè)為x元,怎樣用不等式表示銷售的總收入仍不低于20萬元呢?
考點 用不等式(組)表示不等關(guān)系
題點 用不等式(組)表示不等關(guān)系
解 設(shè)雜志社的定價為x元,
則銷售的總收入為x萬元,
那么不等關(guān)系“銷售的總收入仍不低于20萬元”可以表示為不等式x≥20.
反思與感悟 數(shù)學(xué)中的能力之一就是抽象概括能力,即能用數(shù)學(xué)語言表示出實際問題中的數(shù)量關(guān)系.用不等式(組)表示實際問題中的不等關(guān)系時:(1)要先讀懂題,設(shè)出未知量;(2)抓關(guān)鍵詞,找到不等關(guān)系;(3)用不等式表示不等關(guān)系.思維要嚴(yán)密、規(guī)范.
跟蹤訓(xùn)練1 將下列問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型(不求解).
(1)出生大一天,終生都是哥;
(2)函數(shù)f(x)在R上的函數(shù)隨x的增大而減小.
考點 用不等式(組)表示不等關(guān)系
題點 用不等式(組)表示不等關(guān)系
解 (1)設(shè)x(天)為弟弟的年齡,
則哥哥年齡為x+1,有x+1>x.
(2)設(shè)任意x1,x2∈R,且x1f(x2).
命題角度2 用不等式組表示多個約束條件
例2 某鋼鐵廠要把長度為4000mm的鋼管截成500mm和600mm兩種.按照生產(chǎn)的要求,600mm的鋼管數(shù)量不能超過500mm鋼管的3倍.怎樣寫出滿足上述所有不等關(guān)系的不等式呢?
考點 用不等式(組)表示不等關(guān)系
題點 用不等式(組)表示不等關(guān)系
解 設(shè)截得500mm的鋼管x根,截得600mm的鋼管y根.根據(jù)題意,應(yīng)有如下的不等關(guān)系:
(1)截得兩種鋼管的總長度不超過4000mm;
(2)截得600mm鋼管的數(shù)量不能超過500mm鋼管數(shù)量的3倍;
(3)截得兩種鋼管的數(shù)量都不能為負(fù).
要同時滿足上述的三個不等關(guān)系,可以用下面的不等式組來表示:
反思與感悟 (1)當(dāng)問題存在多個制約因素(如上例500mm,600mm的鋼管個數(shù))時,可以引入多個變量(如上例用兩個變量x,y).
(2)當(dāng)問題存在多個約束條件(如上例總長度不超過4000mm,600mm的鋼管個數(shù)不能超過500mm鋼管個數(shù)的3倍等)可以用多個不等式表示不等關(guān)系.
(3)當(dāng)多個約束條件要求同時滿足時,可以用大括號“{”聯(lián)立這些不等式,相當(dāng)于求這些不等式的解集的交集.
跟蹤訓(xùn)練2 (1)試用不等式表示第一象限內(nèi)距原點距離不超過1的點.
考點 用不等式(組)表示不等關(guān)系
題點 用不等式(組)表示不等關(guān)系
解 設(shè)滿足條件的點P(x,y),則x,y滿足:
(2)三角形任兩邊之和大于第三邊.
解 設(shè)△ABC三邊分別為a,b,c,則
類型二 作差法比較大小
例3 已知a,b均為正實數(shù).試?yán)米鞑罘ū容^a3+b3與a2b+ab2的大?。?
考點 實數(shù)大小的比較
題點 作差法比較大小
解 ∵a3+b3-(a2b+ab2)=(a3-a2b)+(b3-ab2)
=a2(a-b)+b2(b-a)
=(a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+b).
當(dāng)a=b時,a-b=0,a3+b3=a2b+ab2;
當(dāng)a≠b時,(a-b)2>0,a+b>0,a3+b3>a2b+ab2.
綜上所述,a3+b3≥a2b+ab2.
反思與感悟 比較兩個實數(shù)的大小,可以求出它們的差的符號.作差法比較實數(shù)大小的一般步驟是作差→恒等變形→判斷差的符號→下結(jié)論.作差后變形是比較大小的關(guān)鍵一步,變形的方向是化成幾個完全平方數(shù)和的形式或一些易判斷符號的因式積的形式.
跟蹤訓(xùn)練3 已知x<1,試比較x3-1與2x2-2x的大小.
考點 實數(shù)大小的比較
題點 作差法比較大小
解 ∵(x3-1)-(2x2-2x)=x3-2x2+2x-1
=(x3-x2)-(x2-2x+1)=x2(x-1)-(x-1)2
=(x-1)(x2-x+1)=(x-1),
∵2+>0,x-1<0,
∴(x-1)<0,
∴x3-1<2x2-2x.
1.某校對高一美術(shù)生劃定錄取分?jǐn)?shù)線,專業(yè)成績x不低于95分,文化課總分y高于380分,體育成績z超過45分,則用不等式表示上述關(guān)系為________.
考點 用不等式(組)表示不等關(guān)系
題點 用不等式(組)表示不等關(guān)系
答案
解析 “不低于”即“≥”,“高于”即“>”,“超過”即“>”,∴x≥95,y>380,z>45.
2.已知a+b>0,b<0,那么a,b,-a,-b的大小關(guān)系用不等式表示為________.
考點 實數(shù)大小的比較
題點 作差法比較大小
答案 a>-b>b>-a
解析 由a+b>0,知a>-b,∴-a0,∴a>-b>b>-a.
3.比較(a+3)(a-5)與(a+2)(a-4)的大小.
考點 實數(shù)大小的比較
題點 作差法比較大小
解 ∵(a+3)(a-5)-(a+2)(a-4)
=(a2-2a-15)-(a2-2a-8)=-7<0,
∴(a+3)(a-5)<(a+2)(a-4).
4.某市政府準(zhǔn)備投資1800萬元興辦一所中學(xué).經(jīng)調(diào)查,班級數(shù)量以20至30個為宜,每個初、高中班硬件配置分別需要28萬元與58萬元,該學(xué)校的規(guī)模(初、高中班級數(shù)量)所滿足的條件是什么?
考點 用不等式(組)表示不等關(guān)系
題點 用不等式(組)表示不等關(guān)系
解 設(shè)該校有初中班x個,高中班y個,則有
1.比較兩個實數(shù)的大小,只要考察它們的差就可以了.
a-b>0?a>b;a-b=0?a=b;a-b<0?aax>a2
解析 ∵xa2.
∵x2-ax=x(x-a)>0,∴x2>ax.
又ax-a2=a(x-a)>0,∴ax>a2.
∴x2>ax>a2.
3.甲、乙兩人與用人單位簽訂的薪酬協(xié)議分別為:
甲每月的薪酬為公差為d的等差數(shù)列{an};乙每月的薪酬為公比為q的等比數(shù)列{bn}.
已知甲、乙第一個月的薪酬相等都是a.第12個月甲的薪酬不低于乙.把上述條件用不等式表示為________.
考點 用不等式(組)表示不等關(guān)系
題點 用不等式(組)表示不等關(guān)系
答案 a+11d≥aq11
4.若a>b>c且a+b+c=0,則ab與ac的大小關(guān)系是________.
考點 實數(shù)大小的比較
題點 作差法比較大小
答案 ab>ac
解析 由a>b>c及a+b+c=0,知a>0,c<0,
?ab>ac.
5.b克糖水中有a克糖(b>a>0),若再添上m克糖(m>0),則糖水就變甜了,試根據(jù)此事實提煉一個不等式:____________.
考點 用不等式(組)表示不等關(guān)系
題點 用不等式(組)表示不等關(guān)系
答案 >
解析 變甜了,意味著含糖量大了,即濃度高了.
6.四位好朋友在一次聚會上,他們按照各自的愛好選擇了形狀不同、內(nèi)空高度相等、杯口半徑相等的圓口酒杯,如圖所示.盛滿酒后他們約定:先各自飲杯中酒的一半.設(shè)剩余酒的高度從左到右依次為h1,h2,h3,h4,則它們的大小關(guān)系正確的是________.
①h2>h1>h4;②h1>h2>h3;③h3>h2>h1.
考點 用不等式(組)表示不等關(guān)系
題點 用不等式(組)表示不等關(guān)系
答案?、?
解析 體積減少一半,h4應(yīng)為內(nèi)空高h(yuǎn)的一半,h2,h1應(yīng)大于,且h2>h1.
7.若1≤a≤5,-1≤b≤2,則a-b的取值范圍是________.
考點 不等式的性質(zhì)
題點 不等式的性質(zhì)
答案 [-1,6]
考點 實數(shù)大小的比較
題點 作差法比較大小
解析 ∵-1≤b≤2,∴-2≤-b≤1,
又1≤a≤5.
∴-1≤a-b≤6.
8.現(xiàn)有學(xué)生若干人,住若干間宿舍,如果每間住4人,則有19人沒有住處;如果每間住6人,則有一間宿舍不空也不滿,若設(shè)學(xué)生有x人,則x滿足的關(guān)系式為________________.(不需要化簡)
考點 用不等式(組)表示不等關(guān)系
題點 用不等式(組)表示不等關(guān)系
答案 0<6-x<6
解析 設(shè)宿舍有y間,則4y=x-19,∴y=.
每間住6人,則有一間宿舍不空也不滿,可表示為
消去y,得0<6-x<6.
9.若x∈R,則與的大小關(guān)系為________.
考點 實數(shù)大小的比較
題點 作差法比較大小
答案 ≤
解析 ∵-==≤0.
∴≤.
10.在數(shù)列{an}中,若an=,則an與an+1的大小關(guān)系為________.
考點 實數(shù)大小的比較
題點 作差法比較大小
答案 an0,
∴an+1>an.
二、解答題
11.一個盒子中紅、白、黑三種球分別為x個、y個、z個,黑球個數(shù)至少是白球個數(shù)的一半,至多是紅球個數(shù)的,白球與黑球的個數(shù)之和至少為55,試用不等式(組)將題中的不等關(guān)系表示出來.
考點 用不等式(組)表示不等關(guān)系
題點 用不等式(組)表示不等關(guān)系
解 據(jù)題意可得(x,y,z∈N).
12.設(shè)x,y,z∈R,比較5x2+y2+z2與2xy+4x+2z-2的大?。?
考點 實數(shù)大小的比較
題點 作差法比較大小
解 ∵5x2+y2+z2-(2xy+4x+2z-2)
=4x2-4x+1+x2-2xy+y2+z2-2z+1
=(2x-1)2+(x-y)2+(z-1)2≥0,
∴5x2+y2+z2≥2xy+4x+2z-2,
當(dāng)且僅當(dāng)x=y(tǒng)=且z=1時取等號.
13.已知甲、乙、丙三種食物的維生素A、B含量及成本如下表:
甲
乙
丙
維生素A(單位/kg)
600
700
400
維生素B(單位/kg)
800
400
500
成本(元/kg)
11
9
4
若用甲、乙、丙三種食物各xkg、ykg、zkg配成100kg的混合食物,并使混合食物內(nèi)至少含有56000單位維生素A和63000單位維生素B.
試用x,y表示混合食物成本c元,并寫出x,y所滿足的不等關(guān)系.
考點 用不等式(組)表示不等關(guān)系
題點 用不等式(組)表示不等關(guān)系
解 依題意得c=11x+9y+4z,
又x+y+z=100,∴c=400+7x+5y,
由及z=100-x-y,
得
∴x,y所滿足的不等關(guān)系為
三、探究與拓展
14.人類能聽到的聲音頻率x不低于80Hz且不高于2000Hz,用不等式表示為________.
考點 用不等式(組)表示不等關(guān)系
題點 用不等式(組)表示不等關(guān)系
答案 80≤x≤2000
15.有三個房間需要粉刷,粉刷方案要求:每個房間只用一種顏色,且三個房間顏色各不相同.已知三個房間的粉刷面積(單位:m2)分別為x,y,z,且x0,故方案甲的費用不是最低的;(ay+bz+cx)-(az+by+cx)=a(y-z)+b(z-y)=(a-b)(y-z)>0,故方案丙的費用不是最低的;(ay+bx+cz)-(az+by+cx)=a(y-z)+b(x-y)+c(z-x)=a(y-z)+b(x-y)+c(z-y+y-x)=(a-c)(y-z)+(b-c)(x-y)>0,故方案丁的費用不是最低的.
綜上所述,方案乙的費用最低.
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