安徽省長豐縣高中數(shù)學 第二章 圓錐曲線與方程 2.4.2 拋物線的簡單幾何性質教案 新人教A版選修11

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1、 2.4.2 拋物線的簡單幾何性質 項目 內容 課題 2.4.2 拋物線的簡單幾何性質 （共 1 課時） 修改與創(chuàng)新 教學 目標 知識與技能：使學生理解并掌握拋物線的幾何性質，能運用拋物線的標準方程推導出它的幾何性質，同時掌握拋物線的簡單畫法。 過程與方法：通過對拋物線的標準方程的研究，得出拋物線的幾何性質，并應用拋物線的性質解決有關拋物線的實際問題，培養(yǎng)學生的數(shù)形結合、轉化與化歸的能力，提高我們的綜合素質。 情感、態(tài)度與價值觀：使學生進一步掌握利用方程研究曲線性質的基本方法，加深對直角坐標系中曲線方程的關系概念的理解，這樣才能解決拋物線中的弦、最值等問

2、題． 教學重、 難點 重點：拋物線的幾何性質及初步運用． 難點：拋物線的幾何性質的應用 教學 準備 多媒體課件 教學過程 (一)復習 1．拋物線的定義是什么？ 2．拋物線的標準方程是什么？ 下面我們類比橢圓、雙曲線的幾何性質，從拋物線的標準方程y2=2px(p＞0)出發(fā)來研究它的幾何性質． (二)幾何性質 怎樣由拋物線的標準方程確定它的幾何性質？以y2=2px(p＞0)為例，用小黑板給出下表，請學生對比、研究和填寫． 填寫完畢后，再向學生提出問題：和橢圓、雙曲線的幾何性質相比，拋物線的幾何性質有什么特點？ 學生和教師共同小結： (1)拋

3、物線只位于半個坐標平面內，雖然它也可以無限延伸，但是沒有漸近線． (2)拋物線只有一條對稱軸，這條對稱軸垂直于拋物線的準線或與頂點和焦點的連線重合，拋物線沒有中心． (3)拋物線只有一個頂點，它是焦點和焦點在準線上射影的中點． (4)拋物線的離心率要聯(lián)系橢圓、雙曲線的第二定義，并和拋物線的定義作比較．其結果是應規(guī)定拋物線的離心率為1．注意：這樣不僅引入了拋物線離心率的概念，而且把圓錐曲線作為點的軌跡統(tǒng)一起來了． (三)應用舉例 為了加深對拋物線的幾何性質的認識，掌握描點法畫圖的基本方法，給出如下例1． 例1　 已知拋物線關于x軸對稱，它的頂點在坐標原點，并且經(jīng)過點求拋物線的方程。

4、 解：因為拋物線關于x軸對稱，它的頂點在坐標原點，并且經(jīng)過點 程是y2=4x． 后一部分由學生演板，檢查一下學生對用描點法畫圖的基本方法掌握情況． 第一象限內的幾個點的坐標，得： (2)描點作圖 描點畫出拋物線在第一象限內的一部分，再利用對稱性，就可以畫出拋物線的另一部分(如圖)． 例2　 已知拋物線的頂點在原點，對稱軸是x軸，拋物線上的點M(-3，m)到焦點的距離等于5，求拋物線的方程和m的值． 解法一：由焦半徑關系，設拋物線方程為y2=-2px(p＞0)，則準線方 因為拋物線上的點M(-3，m)到焦點的距離|MF|與到準線的距離 得p=4．

5、因此，所求拋物線方程為y2=-8x． 又點M(-3，m)在此拋物線上，故m2=（-8）*(-3)． 解法二：由題設列兩個方程，可求得p和m．由學生演板．由題意 在拋物線上且|MF|=5，故 本例小結： (1)解法一運用了拋物線的重要性質：拋物線上任一點到焦點的距離(即此點的焦半徑)等于此點到準線的距離．可得焦半徑公式：設P(x0， 這個性質在解決許多有關焦點的弦的問題中經(jīng)常用到，因此必須熟練掌握． (2)由焦半徑不難得出焦點弦長公式：設AB是過拋物線焦點的一條弦(焦點弦)，若A(x1，y1)、B(x2，y2)則有|AB|=x1+x2+p．特別地：當AB⊥x軸，拋物

6、線的通徑|AB|=2p． 例3　 過拋物線y2=2px(p＞0)的焦點F的一條直線與這拋物線相交于A、B兩點，且A(x1，y1)、B(x2，y2)． 證明： (1)當AB與x軸不垂直時，設AB方程為： 此方程的兩根y1、y2分別是A、B兩點的縱坐標，則有y2y2=-p2． 或y1=-p，y2=p，故y1y2=-p2． 綜合上述有y1y2=-p2 又∵A(x1，y1)、B(x2，y2)是拋物線上的兩點， 本例小結： (1)涉及直線與圓錐曲線相交時，常把直線與圓錐曲線方程聯(lián)立，消去一個變量，得到關于另一變量的一元二次方程，然后用韋達定理求解，這是解決這類問

7、題的一種常用方法． (2)本例命題1是課本習題中結論，要求學生記憶． (四)課堂練習 1．過拋物線y2=4x的焦點作直線交拋物線于A(x1，y1)、B(x2，y2)兩點，若x1+x2=6，求|AB|的值． 2．證明：與拋物線的軸平行的直線和拋物線只有一個交點． (五)課時小結： 1．拋物線的幾何性質； 2．拋物線的應用． （六）布置作業(yè) 1．在拋物線y2=12x上，求和焦點的距離等于9的點的坐標． 2．有一正三角形的兩個頂點在拋物線y2=2px上，另一頂點在原點，求這個三角形的邊長． 3．如圖是拋物線拱橋的示意圖，當水面在l時，拱頂高水面2m，水面寬4m，水下降11m后，

8、水面寬多少？ 4．求證：以拋物線的焦點弦為直徑的圓，必與拋物線的準線相切． 板書設計 2.4.2 拋物線的簡單幾何性質 1、范圍 例1 例2 2．對稱性 3．頂點 4．離心率 教學反思 通過表格把三種圓錐曲線進行比較，讓學生更深刻地理解它們的區(qū)別與聯(lián)系，有利于學生更好地掌握相關概念和性質，并靈活應用。 我國經(jīng)濟發(fā)展進入新常態(tài)，需要轉變經(jīng)濟發(fā)展方式，改變粗放式增長模式，不斷優(yōu)化經(jīng)濟結構，實現(xiàn)經(jīng)濟健康可持續(xù)發(fā)展進區(qū)域協(xié)調發(fā)展，推進新型城鎮(zhèn)化，推動城鄉(xiāng)發(fā)展一體化因：我國經(jīng)濟發(fā)展還面臨區(qū)域發(fā)展不平衡、城鎮(zhèn)化水平不高、城鄉(xiāng)發(fā)展不平衡不協(xié)調等現(xiàn)實挑戰(zhàn)。