安徽省長豐縣高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明 2.1 合情推理與演繹證明 2.1.1 合情推理教案 新人教A版選修12

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1、 2.1.1合情推理 項(xiàng)目 內(nèi)容 課題 2.1.1合情推理 修改與創(chuàng)新 教學(xué)目標(biāo) 1 結(jié)合已學(xué)過的數(shù)學(xué)實(shí)例，了解歸納推理的含義， 2 能利用歸納進(jìn)行簡單的推理， 3 體會并認(rèn)識歸納推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用. 教學(xué)重、 難點(diǎn) 重點(diǎn)：能利用歸納和類比進(jìn)行簡單的推理. 難點(diǎn)：用歸納和類比進(jìn)行推理，作出猜想. 教學(xué)準(zhǔn)備 直尺、粉筆 教學(xué)過程 一、新課引入： 1. 哥德巴赫猜想：觀察4=2+2, 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 12=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, ……, 50=13+37, ……

2、, 100=3+97，猜測：任一偶數(shù)（除去2，它本身是一素數(shù)）可以表示成兩個素數(shù)之和. 1742年寫信提出，歐拉及以后的數(shù)學(xué)家無人能解，成為數(shù)學(xué)史上舉世聞名的猜想. 1973年，我國數(shù)學(xué)家陳景潤，證明了充分大的偶數(shù)可表示為一個素數(shù)與至多兩個素數(shù)乘積之和，數(shù)學(xué)上把它稱為“1+2”. 2. 費(fèi)馬猜想：法國業(yè)余數(shù)學(xué)家之王—費(fèi)馬（1601-1665）在1640年通過對，，，，的觀察，發(fā)現(xiàn)其結(jié)果都是素數(shù)，于是提出猜想：對所有的自然數(shù)，任何形如的數(shù)都是素數(shù). 后來瑞士數(shù)學(xué)家歐拉，發(fā)現(xiàn)不是素數(shù)，推翻費(fèi)馬猜想. 3. 四色猜想：1852年，畢業(yè)于英國倫敦大學(xué)的弗南西斯.格思里來到一家科研單位搞地圖著色工

3、作時，發(fā)現(xiàn)了一種有趣的現(xiàn)象：“每幅地圖都可以用四種顏色著色，使得有共同邊界的國家著上不同的顏色.”，四色猜想成了世界數(shù)學(xué)界關(guān)注的問題.1976年，美國數(shù)學(xué)家阿佩爾與哈肯在美國伊利諾斯大學(xué)的兩臺不同的電子計算機(jī)上，用1200個小時，作了100億邏輯判斷，完成證明. 二、講授新課： 1. 教學(xué)概念： ① 概念：由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或者由個別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理，稱為歸納推理. 簡言之，歸納推理是由部分到整體、由個別到一般的推理. ② 歸納練習(xí)：(i)由銅、鐵、鋁、金、銀能導(dǎo)電，能歸納出什么結(jié)論？ (ii)由直角三角形、等腰三角

4、形、等邊三角形內(nèi)角和180度，能歸納出什么結(jié)論？ (iii)觀察等式：，能得出怎樣的結(jié)論？ ③ 討論：(i)統(tǒng)計學(xué)中，從總體中抽取樣本，然后用樣本估計總體，是否屬歸納推理？ (ii)歸納推理有何作用？ （發(fā)現(xiàn)新事實(shí)，獲得新結(jié)論，是做出科學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要手段） (iii)歸納推理的結(jié)果是否正確？（不一定） 2. 教學(xué)例題： ① 出示例題：已知數(shù)列的第1項(xiàng)，且，試歸納出通項(xiàng)公式. （分析思路：試值n=1，2，3，4 → 猜想 →如何證明：將遞推公式變形，再構(gòu)造新數(shù)列） ② 思考：證得某命題在n＝n時成立；又假設(shè)在n＝k時命題成立，再證明n＝k＋1時命題也成立. 由這兩步，可以歸納出什

5、么結(jié)論？ （目的：滲透數(shù)學(xué)歸納法原理，即基礎(chǔ)、遞推關(guān)系） ③ 練習(xí)：已知 ，推測的表達(dá)式. 3. 小結(jié)：①歸納推理的藥店：由部分到整體、由個別到一般；②典型例子：哥德巴赫猜想的提出；數(shù)列通項(xiàng)公式的歸納. 1. 練習(xí)：已知 ，考察下列式子：；；. 我們可以歸納出，對也成立的類似不等式為 . 2. 猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式是 . 3. 導(dǎo)入：魯班由帶齒的草發(fā)明鋸；人類仿照魚類外形及沉浮原理，發(fā)明潛水艇；地球上有生命，火星與地球有許多相似點(diǎn)，如都是繞太陽運(yùn)行、擾軸自轉(zhuǎn)的行星，有大氣層，也有季節(jié)變更，溫度也適合生物生存，科學(xué)家猜測：火星上有生命存在. 以上都是類比思維

6、，即類比推理. 1. 教學(xué)概念： ① 概念：由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理. 簡言之，類比推理是由特殊到特殊的推理. ② 類比練習(xí)： (i)圓有切線，切線與圓只交于一點(diǎn)，切點(diǎn)到圓心的距離等于半徑. 由此結(jié)論如何類比到球體？ (ii)平面內(nèi)不共線的三點(diǎn)確定一個圓，由此結(jié)論如何類比得到空間的結(jié)論？ (iii)由圓的一些特征，類比得到球體的相應(yīng)特征. （教材P81 探究 填表） 小結(jié)：平面→空間，圓→球，線→面. ③ 討論：以平面向量為基礎(chǔ)學(xué)習(xí)空間向量，試舉例其中的一些類比思維. 2. 教學(xué)例題 ① 出示例1

7、：類比實(shí)數(shù)的加法和乘法，列出它們相似的運(yùn)算性質(zhì). （得到如下表格） 類比角度 實(shí)數(shù)的加法 實(shí)數(shù)的乘法 運(yùn)算結(jié)果 若則 若則 運(yùn)算律 逆運(yùn)算 加法的逆運(yùn)算是減法，使得方程有唯一解 乘法的逆運(yùn)算是除法，使得方程有唯一解 單位元 ② 出示例2：類比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理，試給出空間中四面體性質(zhì)的猜想. 思維：直角三角形中，，3條邊的長度，2條直角邊和1條斜邊； →3個面兩兩垂直的四面體中，，4個面的面積和 3個“直角面”和1個“斜面”. → 拓展：三角形到四面體的類比. 3. 小結(jié)：歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有的事實(shí)，經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進(jìn)行歸納、類比，然后提出猜想的推理，統(tǒng)稱為合情推理. 板書設(shè)計 教學(xué)反思 課后反思 我國經(jīng)濟(jì)發(fā)展進(jìn)入新常態(tài)，需要轉(zhuǎn)變經(jīng)濟(jì)發(fā)展方式，改變粗放式增長模式，不斷優(yōu)化經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)經(jīng)濟(jì)健康可持續(xù)發(fā)展進(jìn)區(qū)域協(xié)調(diào)發(fā)展，推進(jìn)新型城鎮(zhèn)化，推動城鄉(xiāng)發(fā)展一體化因：我國經(jīng)濟(jì)發(fā)展還面臨區(qū)域發(fā)展不平衡、城鎮(zhèn)化水平不高、城鄉(xiāng)發(fā)展不平衡不協(xié)調(diào)等現(xiàn)實(shí)挑戰(zhàn)。