（通用版）2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第7講 二次函數(shù)與冪函數(shù)學(xué)案 理 新人教A版.docx

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第7講　二次函數(shù)與冪函數(shù) 1.二次函數(shù)的圖像和性質(zhì) 解析式 y=ax2+bx+c(a>0) y=ax2+bx+c(a<0) 圖像 定義域 R R 值域 　　　 　　　 單調(diào)性 在　　　　上單調(diào)遞減, 在-b2a,+∞上 單調(diào)遞增 在　　　　上單調(diào)遞增, 在-b2a,+∞上 單調(diào)遞減 頂點(diǎn)坐標(biāo) 　　　 奇偶性 當(dāng)　　　　時(shí)為偶函數(shù) 對(duì)稱軸 方程 x=-b2a 2.冪函數(shù) (1)定義:形如y=xα(α∈R)的函數(shù)稱為冪函數(shù),其中x是自變量,α是常數(shù). (2)常見(jiàn)的五種冪函數(shù)的圖像和性質(zhì)比較 函數(shù) y=x y=x2 y=x3 y=x12 y=x-1 圖像 性 質(zhì) 定義 域 R R R 　 　 值域 R 　　 R 　　 　　 奇偶 性 　　函數(shù) 　　函數(shù) 　　函數(shù) 　　函數(shù) 　　函數(shù) 單 調(diào) 性 在R上單 調(diào)遞增 在　　上 單調(diào)遞減; 在　　上 單調(diào)遞增 在R上 單調(diào)遞增 在　 上單調(diào) 遞增 在　　和 　　上 單調(diào)遞減 公共 點(diǎn) 　　　 常用結(jié)論 1.二次函數(shù)解析式的三種形式: (1)一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0); (2)頂點(diǎn)式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0); (3)零點(diǎn)式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0). 2.一元二次不等式恒成立的條件: (1)ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立的充要條件是“a>0且Δ<0”; (2)ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立的充要條件是“a<0且Δ<0”. 題組一　常識(shí)題 1.[教材改編] 若函數(shù)f(x)=4x2-kx-8在[5,20]上是單調(diào)函數(shù),則實(shí)數(shù)k的取值范圍是　　　　　　　　. 2.[教材改編] 已知冪函數(shù)y=f(x)的圖像過(guò)點(diǎn)(2,2),則函數(shù)f(x)=　　　　. 3.[教材改編] 函數(shù)f(x)=x2-2x+3在閉區(qū)間[0,3]上的最大值為　　　　,最小值為　　　　. 4.[教材改編] 若函數(shù)y=x2+(a+2)x+3,x∈[a,b]的圖像關(guān)于直線x=1對(duì)稱,則b=　　　　. 題組二　常錯(cuò)題 ◆索引:圖像特征把握不準(zhǔn)出錯(cuò);不會(huì)利用二次函數(shù)圖像解決問(wèn)題;二次函數(shù)的單調(diào)性理解不到位;忽略冪函數(shù)的定義域;冪函數(shù)的圖像掌握不到位出錯(cuò). 5.如圖2-7-1,若a<0,b>0,則函數(shù)y=ax2+bx的大致圖像是　　　　(填序號(hào)). ①　　　　?、? ③　　　　　④ 圖2-7-1 6.設(shè)二次函數(shù)f(x)=x2-x+a(a>0),若f(m)<0,則f(m-1)　　　　0.(填“>”“<”或“=”) 7.若函數(shù)y=mx2+x+2在[3,+∞)上是減函數(shù),則m的取值范圍是　　　　. 8.已知冪函數(shù)f(x)=x-12,若f(a+1)n>p B.m>p>n C.n>p>m D.p>n>m (2)[2018烏魯木齊二模] 已知點(diǎn)(m,8)在冪函數(shù)f(x)=(m-1)xn的圖像上,設(shè)a=f33,b=f(ln π),c=f22,則a,b,c的大小關(guān)系為 (　　) A.a4ac;②2a-b=1;③a-b+c=0;④5a0(a≠0)恒成立,即轉(zhuǎn)化為a>0,b2-4ac<0;(2)對(duì)于軸定區(qū)間不定的一元二次不等式恒成立問(wèn)題,可結(jié)合對(duì)稱軸的情況,對(duì)不定區(qū)間進(jìn)行討論,最后得參數(shù)的范圍. 應(yīng)用演練 1.【微點(diǎn)3】已知函數(shù)f(x)=-x2+4x+a,x∈[0,1],若f(x)有最小值-2,則f(x)的最大值為 (　　) A.-1 B.0 C.1 D.2 2.【微點(diǎn)2】函數(shù)f(x)=x2-bx+c滿足f(x+1)=f(1-x),且f(0)=3,則f(bx)與f(cx)的大小關(guān)系是 (　　) A.f(bx)≤f(cx) B.f(bx)≥f(cx) C.f(bx)>f(cx) D.不確定 3.【微點(diǎn)2】已知函數(shù)f(x)=x2+2(a-1)x+2在區(qū)間(-∞,5]上為減函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為　　　　. 4.【微點(diǎn)4】若一元二次不等式2kx2+kx-38<0對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立,則k的取值范圍為　　　　. 5.【微點(diǎn)4】已知a是實(shí)數(shù),函數(shù)f(x)=2ax2+2x-3在[-1,1]上恒小于零,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為　　　　. 第7講　二次函數(shù)與冪函數(shù) 考試說(shuō)明 1.二次函數(shù) (1)掌握二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)(單調(diào)性、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、最值). (2)了解二次函數(shù)的廣泛應(yīng)用. 2.冪函數(shù) (1)了解冪函數(shù)的概念. (2)結(jié)合函數(shù)y=x,y=x2,y=x3,y=1x,y=x12的圖像,了解它們的變化情況. 【課前雙基鞏固】 知識(shí)聚焦 1.4ac-b24a,+∞　-∞,4ac-b24a　-∞,-b2a　-∞,-b2a　-b2a,4ac-b24a　b=0 2.{x|x≥0}　{x|x≠0}　{y|y≥0}　{y|y≥0}　{y|y≠0}　奇　偶　奇　非奇非偶　奇　(-∞,0]　(0,+∞)　[0,+∞)　(-∞,0)　(0,+∞)　(1,1) 對(duì)點(diǎn)演練 1.(-∞,40]∪[160,+∞)　[解析] 二次函數(shù)圖像的對(duì)稱軸方程是x=k8,故只需k8≤5或k8≥20,即k≤40或k≥160,故所求實(shí)數(shù)k的取值范圍是(-∞,40]∪[160,+∞). 2.x12　[解析] 設(shè)f(x)=xα,則2=2α,所以α=12,故函數(shù)f(x)=x12. 3.6　2　[解析] f(x)=x2-2x+3=(x-1)2+2,x∈[0,3],當(dāng)x=1時(shí),函數(shù)f(x)取得最小值2;當(dāng)x=3時(shí),函數(shù)f(x)取得最大值6. 4.6　[解析] 函數(shù)y=x2+(a+2)x+3的圖像在[a,b]上關(guān)于直線x=1對(duì)稱,說(shuō)明函數(shù)圖像的對(duì)稱軸為直線x=1,即-a+22=1且a+b2=1,∴a=-4,b=6. 5.③　[解析] 函數(shù)圖像的開(kāi)口向下,對(duì)稱軸方程為x=-b2a>0,且過(guò)原點(diǎn),故大致圖像是③. 6.>　[解析] f(x)=x2-x+a圖像的對(duì)稱軸為直線x=12,且f(1)>0,f(0)>0,而f(m)<0,∴m∈(0,1),∴m-1<0,∴f(m-1)>0. 7.m≤-16　[解析] 當(dāng)m=0時(shí),函數(shù)在給定區(qū)間上是增函數(shù),不合題意;當(dāng)m≠0時(shí),函數(shù)是二次函數(shù),其圖像的對(duì)稱軸為直線x=-12m,依題意知m<0,-12m≤3,解得m≤-16. 8.(3,5)　[解析] ∵冪函數(shù)f(x)=x12在定義域(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,∴由f(a+1)0,10-2a>0,a+1>10-2a,解得30時(shí),根據(jù)題意知m<1,所以0p>m,故選C. (2)函數(shù)f(x)=(m-1)xn為冪函數(shù),所以m=2.由題意,點(diǎn)(2,8)在冪函數(shù)的圖像上,即8=2n,所以n=3,即f(x)=x3,則f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù), 又33<22<10,即b2>4ac,①正確. 對(duì)稱軸為直線x=-1,即-b2a=-1,即2a-b=0,②錯(cuò)誤. 結(jié)合圖像知,當(dāng)x=-1時(shí),y>0,即a-b+c>0,③錯(cuò)誤. 由對(duì)稱軸為直線x=-1知,b=2a,又函數(shù)圖像開(kāi)口向下,所以a<0,所以5a<2a,即5a0,且其圖像的對(duì)稱軸為直線x=1. 因?yàn)?,-32,3與對(duì)稱軸之間的距離分別為|2-1|,-32-1,|3-1|,且|2-1|<|3-1|<-32-1, 所以f(2)f(2x).∴f(3x)≥f(2x),即f(bx)≤f(cx).故選A. 3.a≤-4　[解析] 易知函數(shù)f(x)=x2+2(a-1)x+2的圖像開(kāi)口向上,且以直線x=1-a為對(duì)稱軸,若函數(shù)f(x)=x2+2(a-1)x+2在區(qū)間(-∞,5]上是減函數(shù),則5≤1-a,即a≤-4. 4.(-3,0)　[解析] 由題意知k<0,且Δ=k2+3k<0,所以-31時(shí),函數(shù)圖像如圖③所示,函數(shù)f(x)在區(qū)間[t,t+1]上為增函數(shù),所以最小值為f(t)=t2-2t+2. 綜上可知,f(x)min=t2+1,t<0,1,0≤t≤1,t2-2t+2,t>1. 例4　[配合例6使用] 函數(shù)f(x)=a2x+3ax-2(a>1),若在區(qū)間[-1,1]上f(x)≤8恒成立,則a的最大值為　　　　. [答案] 2 [解析] 令ax=t,因?yàn)閍>1,x∈[-1,1],所以1a≤t≤a,原函數(shù)可化為g(t)=t2+3t-2,顯然g(t)在1a,a上單調(diào)遞增,所以f(x)≤8恒成立,即g(t)max=g(a)≤8恒成立,所以有a2+3a-2≤8,解得-5≤a≤2,又a>1,所以a的最大值為2.