高中數(shù)學(xué) 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù)I 2.2 函數(shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì)名師導(dǎo)航學(xué)案 蘇教版必修1

《高中數(shù)學(xué) 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù)I 2.2 函數(shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì)名師導(dǎo)航學(xué)案 蘇教版必修1》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué) 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù)I 2.2 函數(shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì)名師導(dǎo)航學(xué)案 蘇教版必修1（11頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 2.1.3 函數(shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì) 名師導(dǎo)航 知識(shí)梳理 1.基礎(chǔ)知識(shí)圖表 2.函數(shù)的單調(diào)性 如果對(duì)于屬于定義域A內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值x1、x2，當(dāng)x1＜x2時(shí)，都有__________，那么就說f(x)在這個(gè)區(qū)間上是增函數(shù). 如果對(duì)于屬于定義域A內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值x1、x2，當(dāng)x1＜x2時(shí)，都有__________，那么就說f(x)在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù). 如果函數(shù)f(x)在某個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，這一區(qū)間叫做f(x)的__________. 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，必須先

2、求函數(shù)的定義域. 討論函數(shù)y=f［φ(x)］的單調(diào)性時(shí)要注意兩點(diǎn)： (1)若u=φ(x)，y=f(u)在所討論的區(qū)間上都是增函數(shù)或都是減函數(shù)，則y=f［φ(x)］為________； (2)若u=φ(x)，y=f(u)在所討論的區(qū)間上一個(gè)是增函數(shù)，另一個(gè)是減函數(shù)，則y=f［φ(x)］為__________. 若函數(shù)f(x)、g(x)在給定的區(qū)間上具有單調(diào)性，利用增(減)函數(shù)的定義容易證得在這個(gè)區(qū)間上： (1)函數(shù)f(x)與f(x)+C(C為常數(shù))具有__________的單調(diào)性. (2)C＞0時(shí)，函數(shù)f(x)與Cf(x)具有的單調(diào)性；C＜0時(shí)，函數(shù)f(x)與Cf(x)具有_

3、_________的單調(diào)性. (3)若f(x)≠0，則函數(shù)f(x)與具有__________的單調(diào)性. (4)若函數(shù)f(x)、g(x)都是增(減)函數(shù)，則f(x)+g(x)仍是增(減)函數(shù). (5)若f(x)＞0，g(x)＞0，且f(x)與g(x)都是增(減)函數(shù)，則f(x)g(x)也是增(減)函數(shù)；若f(x)＜0，g(x)＜0，且f(x)與g(x)都是增(減)函數(shù)，則f(x)g(x)是減(增)函數(shù). 使用上述結(jié)論，可以簡(jiǎn)便地求出一些函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.根據(jù)定義討論(或證明)函數(shù)增減性的一般步驟是： (1)設(shè)x1、x2是給定區(qū)間內(nèi)的任意兩個(gè)值且x1＜x2； (2)作差f(x1)-f(

4、x2)，并將此差化簡(jiǎn)、變形； (3)判斷f(x1)-f(x2)的正負(fù)，從而證得函數(shù)的增減性. 利用函數(shù)的單調(diào)性可以把函數(shù)值的大小比較的問題轉(zhuǎn)化為自變量的大小比較的問題. 函數(shù)的單調(diào)性只能在函數(shù)的定義域內(nèi)來討論.這即是說，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是其定義域的子集. 3.函數(shù)的奇偶性 如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有________________，那么f(x)叫做奇函數(shù). 如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有________________，那么f(x)叫做偶函數(shù). 奇函數(shù)的圖象關(guān)于_________對(duì)稱；偶函數(shù)的圖象關(guān)于___

5、_______對(duì)稱. 如果函數(shù)f(x)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)，那么就說函數(shù)f(x)具有奇偶性. 函數(shù)按是否具有奇偶性可分為四類：奇函數(shù)，偶函數(shù)，既奇且偶函數(shù)(既是奇函數(shù)又是偶函數(shù))，非奇非偶函數(shù)(既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)). 函數(shù)的奇偶性是針對(duì)函數(shù)的整個(gè)定義域而言的，因此奇偶性是函數(shù)在定義域上的整體性質(zhì). 由于任意x和-x均要在定義域內(nèi)，故奇函數(shù)或偶函數(shù)的定義域一定關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.所以，我們?cè)谂卸ê瘮?shù)的奇偶性時(shí)，首先要確定函數(shù)的定義域(函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件.如果其定義域關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱，那么它沒有奇偶性),然后再判斷f(-x)與f(

6、x)的關(guān)系，從而確定其奇偶性. 判斷函數(shù)的奇偶性有時(shí)可用定義域的等價(jià)形式f(-x)f(x)=0或=1〔f(x)≠0〕來代替.存在既奇且偶函數(shù)，例如f(x)=. 當(dāng)f(-x)與f(x)之間的關(guān)系較隱蔽時(shí)，容易產(chǎn)生“非奇非偶”的錯(cuò)覺，萬萬不可草率下結(jié)論. 函數(shù)的圖象能夠直觀地反映函數(shù)的奇偶性.f(x)為奇函數(shù)的充要條件是函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，f(x)為偶函數(shù)的充要條件是函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱. 奇函數(shù)和偶函數(shù)還具有以下性質(zhì)： (1)兩個(gè)奇函數(shù)的和(差)仍是奇函數(shù)，兩個(gè)偶函數(shù)的和(差)仍是偶函數(shù). (2)奇偶性相同的兩個(gè)函數(shù)的積(商、分母

7、不為零)為偶函數(shù)，奇偶性相反的兩個(gè)函數(shù)的積(商、分母不為零)為奇函數(shù). (3)奇函數(shù)在其定義域的對(duì)稱區(qū)間上單調(diào)性相同，偶函數(shù)在其定義域的對(duì)稱區(qū)間上單調(diào)性相反. (4)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)f(x)可以表示成一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的和，即f(x)=. (5)若f(x)是(-a,a)(a＞0)上的奇函數(shù)，則f(0)=0. 疑難突破 1.怎樣理解函數(shù)的增減性？ 函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù)，是對(duì)定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間而言的.有的函數(shù)在一些區(qū)間上是增函數(shù)，而在另一些區(qū)間上不是增函數(shù).例如函數(shù)y=x2，當(dāng)x∈[0,+∞)時(shí)是增函數(shù)，當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí)是減函數(shù). 2.對(duì)于函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)

8、間，你是怎樣理解的？ 由定義,在單調(diào)區(qū)間上，增函數(shù)的圖象是上升的，減函數(shù)的圖象是下降的. 說明：(1)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是其定義域的子集. (2)應(yīng)是該區(qū)間內(nèi)任意的兩個(gè)實(shí)數(shù)，忽略需要任意取值這個(gè)條件，就不能保證函數(shù)是增函數(shù)(或減函數(shù))，例如，右圖中，在x1、x2那樣的特定位置上，雖然使得f(x1)>f(x2)，但顯然此圖象表示的函數(shù)不是一個(gè)單調(diào)函數(shù). (3)除了嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)外，還有不嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)，它的定義類似上述的定義，只要將上述定義中的“f(x1)f(x2)”改為“f(x1)≤f(x2)或f(x1)≥f(x2)”即可. (4)定義的內(nèi)涵與外

9、延： 內(nèi)涵是用自變量的大小變化來刻畫函數(shù)值的變化情況； 外延:①一般規(guī)律：自變量的變化與函數(shù)值的變化一致時(shí)是單調(diào)遞增，自變量的變化與函數(shù)值的變化相對(duì)應(yīng)時(shí)是單調(diào)遞減. ②幾何特征：在自變量取值區(qū)間上，若單調(diào)函數(shù)的圖象上升，則為增函數(shù)，圖象下降則為減函數(shù). 若f(x)、g(x)都為增函數(shù)(減函數(shù))，則f(x)+g(x)為增函數(shù)(減函數(shù)). 若f(x)為增函數(shù)，g(x)為減函數(shù)，則f(x)-g(x)為增函數(shù)；若f(x)為減函數(shù)，g(x)為增函數(shù)，則f(x)-g(x)為減函數(shù). 奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相同；偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相反. 3.

10、怎樣理解函數(shù)的奇偶性？ 奇函數(shù)或偶函數(shù)都是定義在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱區(qū)間上的函數(shù)，且等式f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)是定義在對(duì)稱區(qū)間上的恒等式，而不是只對(duì)自變量的部分值成立的方程，所以，只要出現(xiàn)以下兩種情況之一，函數(shù)就不是偶函數(shù)或奇函數(shù)： (1)定義域不是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間; (2)f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)不是定義在定義域上的恒等式. 問題探究 問題1 在函數(shù)的單調(diào)性定義中，你認(rèn)為哪些詞語最為關(guān)鍵？ 探究思路：函數(shù)的單調(diào)性定義中有這樣幾個(gè)關(guān)鍵詞語：(1)“對(duì)于‘區(qū)間I’內(nèi)”，這“區(qū)間I”應(yīng)滿足“IA”，即函數(shù)的單調(diào)區(qū)間有時(shí)是函數(shù)定義區(qū)間的某個(gè)子

11、區(qū)間.(2)“如果對(duì)于區(qū)間I內(nèi)的‘任意’兩個(gè)值x1、x2”，這里x1、x2的任意性是非常重要的，這是把區(qū)間上無限多個(gè)函數(shù)的大小問題轉(zhuǎn)化為任意兩個(gè)函數(shù)值大小的關(guān)鍵.(3)“當(dāng)x1＜x2時(shí)，‘都有’f(x1)＜f(x2)”，“都有”的意思是無一例外. 問題2 如果一個(gè)函數(shù)在兩個(gè)區(qū)間上同增減，那么在這兩個(gè)區(qū)間的并集上是不是還符合原來的增減性？ 探究思路：對(duì)某一函數(shù)y=f(x)，它在區(qū)間(a，b)與(c，d)上都是單調(diào)增(減)函數(shù)，不能說y=f(x)在(a，b)∪(c，d)上一定是單調(diào)增(減)函數(shù).比如說，函數(shù)y=在(-∞，0)、(0，+∞)內(nèi)都是減函數(shù)，但在(-∞，0)∪(0，+∞)上不能說

12、是減函數(shù)，這是因?yàn)槿€(gè)特例x1=1，x2=-1，可見y1=1，y2=-1，這時(shí)變成x1＞x2時(shí)，卻有y1＞y2，不再符合減函數(shù)的定義. 問題3 你認(rèn)為函數(shù)奇偶性定義中的哪些詞語最為關(guān)鍵？一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)或偶函數(shù)，你能說出它們的定義域有什么共同的特征嗎？ 探究思路：定義中“定義域內(nèi)的任意一個(gè)x”即x是定義域內(nèi)任意的，不可只對(duì)部分特殊值滿足條件.如f(x)=x2，x∈(-2，2]，f(-1)=f(1)，f(-)=f()，f(2)雖然存在，但f(-2)無定義，故f(-2)=f(2)不成立，所以f(x)是無奇偶性的. 定義中“都有f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)”,即遍布定

13、義域內(nèi)的所有x都滿足f(-x)是否等于f(x). 問題4 函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的區(qū)別是什么? 探究思路：根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的定義我們知道：函數(shù)的單調(diào)性反映函數(shù)值的變化趨勢(shì)，反映在圖象上，是曲線的上升或下降.它通過定義區(qū)間(或子區(qū)間)內(nèi)的任意兩點(diǎn)x1、x2所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值大小的比較，推斷定義區(qū)間(或其子區(qū)間)內(nèi)無限多個(gè)函數(shù)值間的大小關(guān)系；函數(shù)的奇偶性反映函數(shù)的整體性態(tài)，即函數(shù)的奇偶性是函數(shù)圖象對(duì)稱性的代數(shù)描述. 問題5 函數(shù)的奇偶性反映在函數(shù)圖象上表現(xiàn)為圖象的對(duì)稱性，你能說出奇偶性與對(duì)稱性之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系嗎？用定義來判斷函數(shù)的奇偶性的一般步驟是什么？ 探究思路：奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)

14、成中心對(duì)稱圖形，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸成軸對(duì)稱圖形；反之也成立.所以可用函數(shù)圖象的對(duì)稱性來判斷函數(shù)的奇偶性. 判斷函數(shù)奇偶性的一般方法是利用定義，通常是先求函數(shù)的定義域，觀察定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，然后驗(yàn)證f(-x)是否等于f(x)；有時(shí)也可利用定義的變形形式，如驗(yàn)證f(-x)f(x)=0，或=1〔f(x)≠0〕是否成立. 典題精講 例1 證明函數(shù)y=x+在(1，+∞)上為增函數(shù). 思路解析 證明函數(shù)的增減性，先在定義域上取x1＜x2，然后作差f(x1)-f(x2)，判斷這個(gè)差的符號(hào)即可. 證明：設(shè)x1、x2是(1，+∞)上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且x1＜x2，則f(x1)-f(x

15、2)=x1+-(x2+)=x1-x2 +(-)=x1-x2-=(x1-x2)(). ∵x1-x2＜0，x1x2-1＞0，x1x2＞0， ∴f(x1)-f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2). ∴函數(shù)y=x+在(1，+∞)上為增函數(shù). 例2 借助計(jì)算機(jī)作出函數(shù)y=-x2+2|x|+3的圖象并指出它的單調(diào)區(qū)間. 思路解析 計(jì)算機(jī)中有好多程序可以畫圖，但要注意的是，選用最常用的比較方便，如選用《幾何畫板》. 解答：用幾何畫板畫的函數(shù)圖象如下圖，由圖象可知，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為(-∞，-1)、(0，1)；函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為(-1，0)、(1，+∞). 例3 已知函數(shù)f(x)=

16、，x∈[1，+∞). (1)當(dāng)a=時(shí)，求函數(shù)的最小值； (2)若對(duì)任意x∈[1，+∞)，f(x)＞0恒成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 思路解析 先來解決第(1)問，當(dāng)a的值給定時(shí)，函數(shù)變?yōu)閒(x)=x++2，它類似于函數(shù)f(x)=x+，所以可以利用函數(shù)的單調(diào)性來判斷最值. 解答：(1)當(dāng)a=時(shí)，f(x)=x++2. f(x)在[1，+∞)上為增函數(shù)，所以f(x)在[1，+∞)上的最小值為f(1)=. (2)f(x)=x++2，x∈[1，+∞). 當(dāng)a≥0時(shí)，函數(shù)f(x)的值恒為正; 當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)f(x)在[1，+∞)上為增函數(shù)，故當(dāng)x=1時(shí)，f(x)有最小值3+a，于是當(dāng)3

17、+a＞0時(shí)，函數(shù)f(x)＞0恒成立，故0＞a＞-3. 綜上可知，當(dāng)a＞-3時(shí)，f(x)＞0恒成立. 例4 判斷下列函數(shù)的奇偶性. (1)f(x)=；(2)f(x)=x3-2x；(3)f(x)=a(x∈R)；(4)f(x)= 思路解析 按奇函數(shù)或偶函數(shù)的定義或幾何特征進(jìn)行判斷即可. 解答：(1)函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠-1}，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù). (2)函數(shù)的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，f(-x)=(-x)3-2(-x)=2x-x3=-f(x)，所以f(x)是奇函數(shù). (3)函數(shù)的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱， 當(dāng)a=0時(shí)，f(x)既是奇函數(shù)又是偶

18、函數(shù)； 當(dāng)a≠0時(shí)，f(-x)=a=f(x)，即f(x)是偶函數(shù). (4)函數(shù)的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱， 當(dāng)x＞0時(shí)，-x＜0，此時(shí)f(-x)=-x[1+(-x)]=-x(1-x)=-f(x)； 當(dāng)x＜0時(shí)，-x＞0，此時(shí)f(-x)=-x[1-(-x)]=-x(1+x)=-f(x)； 當(dāng)x=0時(shí)，-x=0，此時(shí)f(-x)=0，f(x)=0，即f(-x)=-f(x). 綜上，f(-x)=-f(x)，所以f(x)為奇函數(shù). 例5 已知f(x)是奇函數(shù)，在(-1，1)上是減函數(shù)，且滿足f(1-a)+f(1-a2)＜0，求實(shí)數(shù)a的范圍. 思路解析 要求a的取值范圍，先要列出關(guān)于a

19、的不等式，這需要根據(jù)原條件，然后根據(jù)減函數(shù)的定義由函數(shù)值逆推出自變量的關(guān)系. 解答：由f(1-a)+f(1-a2)＜0，得f(1-a)＜-f(1-a2). ∵f(x)是奇函數(shù)，∴-f(1-a2)=f(a2-1). 于是f(1-a)＜f(a2-1). 又由于f(x)在(-1，1)上是減函數(shù)， 因此，解得0＜a＜1. 例6 對(duì)定義域內(nèi)的任意x1、x2都有f(x1x2)=f(x1)+f(x2)，且當(dāng)x>1時(shí)f(x)>0,f(2)=1， (1)求證：f(x)是偶函數(shù)； (2)證明f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù); (3)解不等式f(2x2-1)<2. 思路解析 這里的函數(shù)f(x

20、)沒有給出具體的解析式，所以需要對(duì)已知條件f(xy)=f(x)+f(y)中的x、y進(jìn)行恰當(dāng)?shù)馁x值. 解答：(1)證明:令x1=x2=1，得 f(1)=2f(1)，∴f(1)=0.令x1=x2=-1，得f(-1)=0， ∴f(-x)=f(-1x)=f(-1)+f(x)=f(x). ∴f(x)是偶函數(shù). (2)證明:設(shè)x2>x1>0，則 f(x2)-f(x1)=f(x1)-f(x1) =f(x1)+f()-f(x1)=f(). ∵x2>x1>0，∴>1. ∴f()>0，即f(x2)-f(x1)>0. ∴f(x2)>f(x1). ∴f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù). (3)解

21、:∵f(2)=1，∴f(4)=f(2)+f(2)=2. ∵f(x)是偶函數(shù),∴不等式f(2x2-1)<2可化為f(|2x2-1|)

22、x)，所以f(x)是偶函數(shù). (3)f(-x)=(-x)3+(-x=-(x3+)=-f(x)，所以f(x)是奇函數(shù). (4)f(x)=x+1中，既沒有f(-x)=f(x)，也沒有f(-x)=-f(x)，所以f(x)為非奇非偶函數(shù). 知識(shí)導(dǎo)學(xué) 1.函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間 函數(shù)的單調(diào)性是對(duì)區(qū)間而言的，它是“局部”性質(zhì)，不同于函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的奇偶性是對(duì)整個(gè)定義域而言的，即是“整體”性質(zhì).對(duì)某一函數(shù)y=f(x)，它在某區(qū)間上可能有單調(diào)性，也可能沒有單調(diào)性；即使是同一個(gè)函數(shù)它在某區(qū)間上可能單調(diào)增，而在另外一區(qū)間上可能單調(diào)減；對(duì)某一函數(shù)y=f(x)，它在區(qū)間(a，b)與(c，d)上都

23、是單調(diào)增(減)函數(shù)，不能說y=f(x)在(a，b)∪(c，d)上一定是單調(diào)增(減)函數(shù),即函數(shù)的單調(diào)性是針對(duì)定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間而言的.例如函數(shù)y=在(-∞，0)上是減函數(shù)，在(0，+∞)上也是減函數(shù)，但不能說它在整個(gè)定義域即(-∞，0)∪(0，+∞)上是減函數(shù)，因?yàn)楫?dāng)取x1=-1，x2=1時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為f(x1) =-1，f(x2)=1，顯然有x1＜x2，但f(x1)＜f(x2)，不滿足減函數(shù)的定義. 有些函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi)具有單調(diào)性.例如函數(shù)y=x就是這樣.有些函數(shù)在定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)，而在另一個(gè)區(qū)間上是減函數(shù).例如函數(shù)y=x2在(-∞，0)上是減函數(shù)，在［０，+∞］上

24、是增函數(shù). 中學(xué)階段我們所討論的函數(shù)，只要它們?cè)趨^(qū)間的端點(diǎn)有定義，那么在考慮單調(diào)區(qū)間時(shí)，包括端點(diǎn)、不包括端點(diǎn)都可以. 函數(shù)的單調(diào)性所刻畫的是當(dāng)自變量變化時(shí)其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的變化趨勢(shì)，是函數(shù)在區(qū)間上的整體性質(zhì)，函數(shù)圖象能直觀地顯示函數(shù)的這個(gè)性質(zhì).在單調(diào)區(qū)間上的增函數(shù)，它的圖象是沿x軸正方向逐漸上升的；在單調(diào)區(qū)間上的減函數(shù)，它的圖象是沿x軸正方向逐漸下降的. 2.奇偶性的判斷 (1)定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)一定不是奇、偶函數(shù)； (2)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)也不一定是奇、偶函數(shù)； (3)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且滿足f(-x)=f(x)或f(-x)= -f(x)的函數(shù)才是偶

25、函數(shù)或奇函數(shù). 3.函數(shù)奇偶性的應(yīng)用 (1)利用奇偶性求有關(guān)函數(shù)值； (2)利用奇偶性求有關(guān)函數(shù)的解析式； (3)利用奇偶性研究函數(shù)的其他性質(zhì). 奇偶性、單調(diào)性等常常與函數(shù)方程、不等式結(jié)合在一起，具有較強(qiáng)的綜合性，這些知識(shí)的綜合與應(yīng)用，一直是高考的熱點(diǎn). 另外,由奇(偶)函數(shù)圖象的特征并結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義不難得到: (1)奇(偶)函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上,具有相同(反)的單調(diào)性; (2)若奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b](0

26、[-b,-a](0

27、數(shù)還是減函數(shù)，是對(duì)定義域內(nèi)的某一個(gè)區(qū)間而言的，有的函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi)是增函數(shù)(減函數(shù))，也有的函數(shù)在定義域的某個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)，而在另外區(qū)間上又是減函數(shù)，也存在一些函數(shù)，根本就沒有單調(diào)區(qū)間,如函數(shù)：f(x)=5x,x∈{1,2,3}.再者，因?yàn)橐粋€(gè)固定點(diǎn)的函數(shù)值不會(huì)發(fā)生變化，所以函數(shù)的單調(diào)性不在某一個(gè)點(diǎn)去討論，即使在定義域內(nèi)，也不可以隨便把單調(diào)區(qū)間寫成閉區(qū)間(比如一些函數(shù)的區(qū)間端點(diǎn)正好是不連續(xù)的點(diǎn)). 2.單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間 (1)在這個(gè)區(qū)間上的x1、x2必須是任意的. (2)增函數(shù)自變量和函數(shù)值的關(guān)系是“大對(duì)大，小對(duì)小”，可以用“榮辱與共”這個(gè)詞形容. (3)說增函數(shù)必須談及區(qū)間，脫離

28、區(qū)間談增函數(shù)是沒有意義的. 增函數(shù)的圖象特征：從左到右下降. 減函數(shù)的圖象特征：從右到左下降. 3.說明 (1)若函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，則對(duì)于定義域內(nèi)任一x都有f(-x)=-f(x)； 若函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，則對(duì)于定義域內(nèi)任一x都有f(-x)=f(x).(加深對(duì)函數(shù)奇偶性的理解，并使學(xué)生明確：作為定義，它具有純粹性、完備性兩個(gè)方面的意義) (2)強(qiáng)調(diào)x的任意性. (3)基本特征：f(x)=f(-x)和g(-x)=-g(x)是否成立,是判斷函數(shù)奇偶性的主要依據(jù). (4)重要特征：若x在函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)，則-x也在函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)，因此函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

29、. 問題導(dǎo)思 不能把一個(gè)完整的單調(diào)區(qū)間隨意分成兩個(gè)區(qū)間，也不能把本來不是一個(gè)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間合起來. 若函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間［a，b］上具有單調(diào)性，則它在這個(gè)區(qū)間上必取得最大值和最小值.當(dāng)f(x)在［a，b］上遞增時(shí)，ymax=f(b)，ymin=f(a)，當(dāng)f(x)在［a，b］上遞減時(shí)，ymax=f(a)，ymin=f(b). 函數(shù)的單調(diào)性是針對(duì)定義域的某個(gè)區(qū)域而言的,是函數(shù)的“局部”性質(zhì). 一個(gè)函數(shù)具有奇偶性的前提條件是它的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)為偶(或奇)函數(shù)的必要條件，這是奇、偶函數(shù)的本質(zhì)屬性之一. 奇函數(shù)在

30、其定義域的對(duì)稱區(qū)間上單調(diào)性相同，偶函數(shù)在其定義域的對(duì)稱區(qū)間上單調(diào)性相反. 函數(shù)奇偶性的幾個(gè)性質(zhì)： (1)對(duì)稱性：奇偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱； (2)整體性：奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)，對(duì)定義域內(nèi)任意一個(gè)x都必須成立； (3)可逆性：f(-x)=f(x)f(x)是偶函數(shù)，f(-x)=-f(x)f(x)是奇函數(shù)； (4)等價(jià)性：f(-x)=f(x)f(x)-f(-x)=0,f(-x)=-f(x) f(x)+f(-x)=0； (5)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱； (6)可分性：根據(jù)奇偶性可將函數(shù)分為四類：奇函數(shù)，偶函數(shù)，既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，非奇非偶函數(shù).

31、 典題導(dǎo)考 黑色陷阱 作差時(shí)，在不能明顯確定正、負(fù)符號(hào)的式子中判斷符號(hào)，也許以為這是投機(jī)取巧的想法，但這在應(yīng)試中是要吃虧的.因?yàn)閿?shù)學(xué)思維講究縝密性.比如本題中，直接說(x1-x2)()＜0是不可以的. 典題變式 判斷f(x)=在x∈(1，+∞)上的單調(diào)性. 答案:任取x1、x2∈(1，+∞)且x1＜x2，則 f(x1)-f(x2)=-=. ∵x2-1＞0，x1-1＞0，∴f(x1)-f(x2)＞0， 即f(x1)＞f(x2). ∴f(x)在(1，+∞)上是減函數(shù). 綠色通道 在應(yīng)用《幾何畫板》時(shí)，要注意使用其中的“圖表”中的“新建函數(shù)(N)”功能，要用到其中的“a

32、bs”即“絕對(duì)值函數(shù)”. 典題變式 下圖是定義在閉區(qū)間[-5，5]上的函數(shù)y=f(x)的圖象，根據(jù)圖象說出y=f(x)的單調(diào)區(qū)間，以及在每一單調(diào)區(qū)間上，函數(shù)y=f(x)是增函數(shù)還是減函數(shù). 答案:函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間有[-5，-2)，[-2，1)，[1，3)，[3，5]，其中y=f(x)在區(qū)間[-5，-2)，[1，3)上是減函數(shù)，在區(qū)間[-2，1)，[3，5]上是增函數(shù) 綠色通道 如果一個(gè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)，那么根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性就可以判斷出函數(shù)的極值，并結(jié)合函數(shù)的自變量在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值判斷出函數(shù)的最值. 黑色陷阱 容易對(duì)a的分類不全面，造成解題失誤.有時(shí)不考慮在區(qū)

33、間端點(diǎn)的值，也會(huì)造成解題錯(cuò)誤. 典題變式 函數(shù)f(x)=ax2-2ax+2+b(a≠0)在［2，3］上有最大值5和最小值2，求a、b的值. 解答：由f(x)=ax2-2ax+2+b的對(duì)稱軸為x=1知， 無論f(x)的單調(diào)性怎樣，f(x)在［2，3］上存在最值的情況有兩種： 解得 綠色通道 根據(jù)奇函數(shù)以及偶函數(shù)的定義，判斷是不是有關(guān)系f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)，前者是偶函數(shù)，后者是奇函數(shù)；如果這兩個(gè)都不成立，則是非奇非偶函數(shù). 對(duì)于一個(gè)命題,若是假命題，只要舉一反例來說明即可.比如，說一個(gè)函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，只要說明它的定義域不合要求即可，而

34、不必套用作差法進(jìn)行檢驗(yàn). 有時(shí)根據(jù)函數(shù)圖象的對(duì)稱性進(jìn)行判斷也是捷徑之一. 黑色陷阱 要注意的是，有的函數(shù)既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)，解題中容易忽視這一點(diǎn). 典題變式 判斷下列函數(shù)的奇偶性： (1)f(x)=; (2)f(x)=(x-1). 解答：(1)f(x)的定義域?yàn)镽.因?yàn)閒(-x)=｜-x+1｜-｜-x-1｜=｜x-1｜-｜x+1｜=-f(x), 所以f(x)為奇函數(shù). (2)f(x)的定義域?yàn)椋鹸｜-1≤x＜1｝，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,所以f(x)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù). 黑色陷阱 容易遺漏對(duì)每個(gè)函數(shù)定義域的限定條件的討論，從而導(dǎo)致解題失誤. 典題

35、變式 若f(x)是偶函數(shù)，當(dāng)x∈［0，+∞］時(shí)，f(x)=x-1，則f(x-1)＜0的解集是____________. 解答：偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，可先作出f(x)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法. 畫圖可知f(x)＜0的解集為｛x｜-1＜x＜1｝， ∴f(x-1)＜0的解集為｛x｜0＜x＜2}. 答案:{x|0

36、R+上是單調(diào)遞減函數(shù),且滿足f(xy)=f(x)+f(y),f()=1. 求f(1)及f(). 解答:令x=,y=1,得f(1)=0. ∵f()=1,∴f()=2. 黑色陷阱 利用賦值法解題時(shí)，特殊值一定要取準(zhǔn).否則將導(dǎo)致解題失敗. 綠色通道 (1)兩個(gè)偶函數(shù)之和為偶函數(shù)，兩個(gè)偶函數(shù)之積為偶函數(shù)； (2)兩個(gè)奇函數(shù)之和為奇函數(shù)，兩個(gè)奇函數(shù)之積為偶函數(shù)； (3)一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)之積為奇函數(shù). 典題變式 判斷下列函數(shù)的奇偶性. (1)f(x)=； (2)f(x)= 解答：(1)x2=1， ∴x=1，f(x)=0. ∴f(x)是既奇又偶函數(shù). (2)f(-x)==f(x). ∴f(x)是偶函數(shù). 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375