高中數(shù)學(xué) 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù)I 2.2 函數(shù)的簡單性質(zhì) 2.2.1 函數(shù)的單調(diào)性2學(xué)案 蘇教版必修1

《高中數(shù)學(xué) 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù)I 2.2 函數(shù)的簡單性質(zhì) 2.2.1 函數(shù)的單調(diào)性2學(xué)案 蘇教版必修1》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué) 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù)I 2.2 函數(shù)的簡單性質(zhì) 2.2.1 函數(shù)的單調(diào)性2學(xué)案 蘇教版必修1（5頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第2課時　函數(shù)的最值 1．理解函數(shù)最值的定義，知道最值是函數(shù)定義域上的一個整體性質(zhì)． 2．會求一些簡單函數(shù)的最值． 3．了解函數(shù)最值與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系． 1．最大值 一般地，設(shè)y＝f(x)的定義域為A． 若存在定值x0∈A，使得對于任意的x∈A，都有f(x)≤f(x0)恒成立，則稱f(x0)為y＝f(x)的最大值，記為ymax＝f(x0)． 【做一做1】函數(shù)y＝－x2＋5的最大值為________． 答案：5 2．最小值 一般地，設(shè)y＝f(x)的定義域為A． 若存在定值x0∈A，使得對于任意的x∈A，都有f(x)≥f(x0)恒成立，則稱f(x0)為y＝f(x)

2、的最小值，記為ymin＝f(x0)． 【做一做2】函數(shù)y＝3x＋1，x∈［1,4］的最小值為________． 答案：4 3．函數(shù)的最大值和最小值統(tǒng)稱為函數(shù)的最值． (1)函數(shù)的值域是指函數(shù)值的集合．函數(shù)最大(小)值一定是值域中的元素．如果值域是一個閉區(qū)間，那么函數(shù)的最大(小)值就是閉區(qū)間右(左)端點的值．(2)函數(shù)的值域和最值既有區(qū)別又有聯(lián)系．一般來講，對于圖象是連續(xù)不斷的函數(shù)，知道函數(shù)在定義域上的最大值和最小值，可知函數(shù)的值域，而知道了函數(shù)的值域，不一定能確定最值． 【做一做3－1】函數(shù)y＝－3x＋1，x∈［－2,3］時的值域是__________． 解析：當(dāng)x∈［－2,3

3、］時，ymax＝－3×(－2)＋1＝7，ymin＝－3×3＋1＝－8． 答案：［－8,7］ 【做一做3－2】函數(shù)y＝－x2－4x＋1，x∈［－3,3］的值域是__________． 解析：y＝－(x＋2)2＋5，當(dāng)x＝－2時，y有最大值5；當(dāng)x＝3時，y有最小值－20． 答案：［－20,5］ 求函數(shù)最值的三種方法 剖析：(1)作出函數(shù)的圖象，從圖象直接觀察可得最值； (2)求出函數(shù)的值域，其邊界值即為最值，此時要注意邊界值能否取到(即是否存在)的問題； (3)由函數(shù)的單調(diào)性求最值． ①最大值：已知函數(shù)y＝f(x)的定義域是［a，b］，a＜c＜b，當(dāng)x∈

4、［a，c］時，f(x)是單調(diào)增函數(shù)；當(dāng)x∈［c，b］時，f(x)是單調(diào)減函數(shù)，則f(x)在x＝c時取得最大值． ②最小值：已知函數(shù)y＝f(x)的定義域是［a，b］，a＜c＜b，當(dāng)x∈［a，c］時，f(x)是單調(diào)減函數(shù)；當(dāng)x∈［c，b］時，f(x)是單調(diào)增函數(shù)，則f(x)在x＝c時取得最小值． 題型一 函數(shù)的最值 【例1】已知一次函數(shù)y＝kx＋b，當(dāng)x∈［－1,3］時，ymax＝5，ymin＝－3．試求函數(shù)解析式． 解：若k＞0， 則由條件得 解得y＝2x－1． 若k＜0， 則由條件得 解得y＝－2x＋3． 反思：因一次函數(shù)y＝kx＋b的單調(diào)性由k來確定，所以當(dāng)x∈［m

5、，n］時，y的最值應(yīng)根據(jù)k來確定，若k＞0，則y∈［km＋b，kn＋b］；若k＜0，則y∈［kn＋b，km＋b］． 【例2】已知函數(shù)f(x)＝x2－2ax＋2，x∈［－1,1］，求函數(shù)f(x)的最小值． 解：函數(shù)f(x)的對稱軸為x＝a，且開口向上，如圖， 當(dāng)a＞1時，f(x)在［－1,1］上單調(diào)遞減，故f(x)min＝f(1)＝3－2a； 當(dāng)－1≤a≤1時，f(x)在［－1,1］上先減后增，故f(x)min＝f(a)＝2－a2； 當(dāng)a＜－1時，f(x)在［－1,1］上單調(diào)遞增，故f(x)min＝f(－1)＝3＋2a． 綜上，可知f(x)的最小值為f(x)min＝ 反思：求二

6、次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的方法：一看開口方向；二看對稱軸與區(qū)間的相對位置，簡稱“兩看法”．只需作出二次函數(shù)相關(guān)部分的簡圖，利用數(shù)形結(jié)合法就可以得到問題的解． 運用這個方法，同樣可以解決對稱軸確定而區(qū)間變化的問題，甚至開口方向、對稱軸、區(qū)間同時都在變化的問題． 題型二 含參不等式恒成立問題 【例3】已知函數(shù)f(x)＝，x∈［1，＋∞)， (1)當(dāng)a＝時，求函數(shù)f(x)的最小值； (2)若對任意x∈［1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，試求實數(shù)a的取值范圍． 分析：問題(1)中，由a＝可確定函數(shù)解析式，由函數(shù)的單調(diào)性可確定最值；問題(2)為恒成立問題，常結(jié)合函數(shù)性質(zhì)，合理構(gòu)建． 解：(1

7、)當(dāng)a＝時，f(x)＝x＋＋2， 設(shè)x1，x2是［1，＋∞)上的任意兩個值，且x1＜x2，f(x2)－f(x1)＝(x2－x1)， 2x1x2＞2,0＜＜，所以1－＞0． 又x2－x1＞0，所以f(x2)－f(x1)＞0， 則f(x1)＜f(x2)．所以f(x)在區(qū)間［1，＋∞)上為增函數(shù)，則f(x)在區(qū)間［1，＋∞)上的最小值為f(1)＝． (2)方法一：在區(qū)間［1，＋∞)上， f(x)＝＞0恒成立， 即x2＋2x＋a＞0恒成立． 設(shè)y＝x2＋2x＋a，x∈［1，＋∞)． 則y＝(x＋1)2＋a－1在區(qū)間［1，＋∞)上遞增， 所以當(dāng)x＝1時，ymin＝3＋a． 于是當(dāng)且

8、僅當(dāng)ymin＝3＋a＞0時， 函數(shù)f(x)＞0恒成立，故a＞－3． 方法二：f(x)＝x＋＋2，x∈［1，＋∞)， 當(dāng)a≥0時，函數(shù)f(x)的值恒為正， 當(dāng)a＜0時，函數(shù)f(x)遞增， 故當(dāng)x＝1時，f(x)min＝3＋a，于是當(dāng)且僅當(dāng)f(x)min＝3＋a＞0時，函數(shù)f(x)＞0恒成立，故a＞－3． 反思：求函數(shù)的最值，先求函數(shù)的定義域．函數(shù)的最值及值域經(jīng)常與函數(shù)的單調(diào)性聯(lián)系在一起，所以有時先求函數(shù)單調(diào)性再根據(jù)單調(diào)性求函數(shù)最值． 不等式f(x)≥a恒成立的條件是f(x)min≥a，f(x)≤a恒成立的條件是f(x)max≤a． 題型三 最值的應(yīng)用 【例4】某工廠擬建造一座

9、平面圖如圖所示為矩形且面積為200平方米的三級污水處理池，由于地形限制，長、寬都不能超過16米．如果池外周壁建造單價為每米400元，中間兩條隔墻建造單價為每米248元，池底建造單價為每平方米80元(池壁的厚度忽略不計，且無池蓋)．求污水處理池的長和寬各為多少米時，總造價最低？并求出最低總造價． 解：設(shè)污水處理池的長為x米，0＜x≤16， 則寬為米，0＜≤16． 根據(jù)題意，總造價為y＝400×2×＋248×2×＋80×200＝800×＋16 000． 由得定義域為［12．5,16］． ∵函數(shù)y＝800×＋16 0

10、00在［12．5,16］上是單調(diào)減函數(shù)，∴當(dāng)x＝16時，y取最小值為45 000． 故當(dāng)污水處理池的長為16米，寬為12．5米時，總造價最低，最低總造價為45 000元． 反思：在利用函數(shù)的單調(diào)性處理有關(guān)實際問題的最值時，一定要注意函數(shù)的定義域要使實際問題有意義． 1函數(shù)f(x)＝3x＋a，x∈［－1,2］的最大值與最小值的差為__________． 解析：由題意知f(x)為增函數(shù)，最大值與最小值的差為f(2)－f(－1)＝3×2＋a－3×(－1)－a＝9． 答案：9 2函數(shù)f(x)＝的值域是__________． 解析：因為1－x(1－x)＝x2－x＋1

11、＝＋≥，從而f(x)max＝． 又f(x)＞0，所以f(x)的值域是． 答案： 3以墻為一邊，用籬笆圍成長方形的場地，并用平行于一邊的籬笆隔開(如圖)，已知籬笆總長為定值L，寫出場地面積y為一邊長x的函數(shù)， 并求出函數(shù)的定義域及面積的最大值． 解：根據(jù)題意，可得y＝(L－3x)x， 由題意知解得0＜x＜． ∴函數(shù)y＝(L－3x)x的定義域為． ∵y＝(L－3x)x＝－3x2＋Lx ＝－3＋． ∴當(dāng)x＝時，ymax＝． 4若不等式|x－2|＋|x＋3|≥a恒成立，求實數(shù)a的取值范圍． 解：由f(x)＝|x－2|＋|x＋3| ＝ 得其圖象如圖所示， 所以f(x)

12、min＝5，從而a∈(－∞，5］． 5已知f(x)＝x2－4x＋3，求函數(shù)在區(qū)間［t，t＋2］上的最值． 解：f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，作出如圖所示的圖象， 圖象的對稱軸為x＝2． ①當(dāng)t＋2＜2，即t＜0時，f(x)在區(qū)間［t，t＋2］上單調(diào)遞減， 所以f(x)max＝f(t)＝t2－4t＋3， f(x)min＝f(t＋2)＝t2－1； ②當(dāng)2≤t＋2＜3，即0≤t＜1時， f(x)max＝f(t)＝t2－4t＋3，f(x)min＝f(2)＝－1． ③當(dāng)3≤t＋2＜4，即1≤t＜2時， 同上可知f(x)min＝f(2)＝－1， f(x)max＝f(t＋2)＝t2－1． ④當(dāng)t＋2≥4，即t≥2時，f(x)在區(qū)間［t，t＋2］上單調(diào)遞增，所以f(x)min＝f(t)＝t2－4t＋3， f(x)max＝f(t＋2)＝t2－1． 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375