與名師對(duì)話高三數(shù)學(xué)文一輪復(fù)習(xí)課時(shí)跟蹤訓(xùn)練:第七章 不等式 推理與證明 課時(shí)跟蹤訓(xùn)練37 Word版含解析

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1、 高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5 課時(shí)跟蹤訓(xùn)練(三十七) [基礎(chǔ)鞏固] 一、選擇題 1.若a,b∈R,且ab>0,則下列不等式中,恒成立的是(  ) A.a(chǎn)2+b2>2ab B.a(chǎn)+b≥2 C.+> D.+≥2 [解析] ∵a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,∴A錯(cuò)誤.對(duì)于B,C,當(dāng)a<0,b<0時(shí),明顯錯(cuò)誤.對(duì)于D,∵ab>0,∴+≥2=2. [答案] D 2.(20xx福建福州外國(guó)語學(xué)校期中)在下列各函數(shù)中,最小值為2的函數(shù)是(  ) A.y=x+(x≠0) B.y=cosx+ C.y=

2、(x∈R) D.y=ex+-2(x∈R) [解析] 對(duì)于A項(xiàng),當(dāng)x<0時(shí),y=x+≤-2,故A錯(cuò);對(duì)于B項(xiàng),因?yàn)?0,所以y=ex+-2≥2-2=2,當(dāng)且僅當(dāng)ex=2,即x=ln2時(shí)等號(hào)成立.故選D. [答案] D 3.(20xx陜西咸陽質(zhì)檢)已知x+y=3,則2x+2y的最小值是(  ) A.8 B.6 C.3 D.4 [解析] 因?yàn)?x>0,2y>0,x+y=3,所以由基本不等式得2x+2y≥2=2=4,當(dāng)且僅當(dāng)2x=

3、2y,即x=y(tǒng)=時(shí)等號(hào)成立,故選D. [答案] D 4.(20xx湖南衡陽四校聯(lián)考)設(shè)x,y為正實(shí)數(shù),且x+2y=1,則+的最小值為(  ) A.2+2 B.3+2 C.2 D.3 [解析] 因?yàn)閤,y為正實(shí)數(shù),且x+2y=1,所以+=(x+2y)=3++≥3+2=3+2,當(dāng)且僅當(dāng)x=y(tǒng)=-1時(shí)取等號(hào).所以+的最小值為3+2.故選B. [答案] B 5.(20xx江西九江一中期中)已知a>0,b>0,如果不等式+≥恒成立,那么m的最大值等于(  ) A.10 B.7 C.8 D.9 [解析] 不等式+≥恒成立,即不等式m≤(2a+b)恒成立,而(2a+b)=5+

4、+≥5+2 =9,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)“=”成立,所以m≤9,m的最大值等于9,故選D. [答案] D 6.(20xx陜西卷)設(shè)f(x)=lnx,0p D.p=r>q [解析] ∵0,又f(x)=lnx在(0,+∞)上單調(diào)遞增,故f()p,∵r=(f(a)+f(b))=(lna+lnb)=ln=f()=p,∴p=r0,b>0)過點(diǎn)(1

5、,2),則2a+b的最小值為________. [解析] ∵直線+=1(a>0,b>0)過點(diǎn)(1,2), ∴+=1,∴2a+b=(2a+b)=2++2+≥4+2=8(當(dāng)且僅當(dāng)b=2a,即a=2,b=4時(shí)取等號(hào)). [答案] 8 8.設(shè)b>a>0,且a+b=1,則,2ab,a2+b2,b四個(gè)數(shù)中最大的是________. [解析] 根據(jù)基本不等式知a2+b2>2ab(b>a>0),因?yàn)閎>a>0,且a+b=1,所以b>>a.因?yàn)閎-a2-b2=b(a+b)-a2-b2=a(b-a)>0,所以,2ab,a2+b2,b四個(gè)數(shù)中最大的是b. [答案] b 9.(20xx江蘇卷)某公司一年

6、購(gòu)買某種貨物600噸,每次購(gòu)買x噸,運(yùn)費(fèi)為6萬元/次,一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為4x萬元.要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小,則x的值是________. [解析] 本題考查基本不等式及其應(yīng)用. 設(shè)總費(fèi)用為y萬元,則 y=6+4x=4≥240. 當(dāng)且僅當(dāng)x=,即x=30時(shí),等號(hào)成立. [答案] 30 三、解答題 10.(1)已知a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1, 求證:++≥9. (2)設(shè)a、b均為正實(shí)數(shù),求證:++ab≥2. [證明] (1)∵a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1, ∴++=++ =3++++++ =3+++ ≥3+2+2+2=9, 當(dāng)且僅

7、當(dāng)a=b=c=時(shí),取等號(hào). (2)∵+≥2 =, 當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào). 又+ab≥2,當(dāng)且僅當(dāng)ab=時(shí)取等號(hào), ∴++ab≥2,當(dāng)且僅當(dāng) 即a=b=時(shí)取等號(hào). [能力提升] 11.(20xx河北保定一模)司機(jī)甲、乙加油習(xí)慣不同,甲每次加定量的油,乙每次加固定錢數(shù)的油,恰有兩次甲、乙同時(shí)加同單價(jià)的油,但這兩次的油價(jià)不同,則從這兩次加油的均價(jià)角度分析(  ) A.甲合適 B.乙合適 C.油價(jià)先高后低甲合適 D.油價(jià)先低后高甲合適 [解析] 設(shè)甲每次加m升油,乙每次加n元錢的油,第一次加油x元/升,第二次加油y元/升.甲的平均單價(jià)為=,乙的平均單價(jià)為=,因?yàn)閤≠y,所

8、以=>=1,即乙的兩次平均單價(jià)低,乙的方式更合適,故選B. [答案] B 12.(20xx貴州銅仁一中月考)若兩個(gè)正實(shí)數(shù)x,y滿足+=1,且不等式x+4.解得m<-1或m>4.故選C. [答案] C 13.已知正實(shí)數(shù)x,y滿足xy+2x+y=4,則x+y的最小值為________. [解析] 

9、因?yàn)閤y+2x+y=4,所以x=.由x=>0,得-20, 則0

10、≥1時(shí)恒成立,分離參數(shù)得m<-=-.因?yàn)閠+≥2=2(當(dāng)且僅當(dāng)t=時(shí)取等號(hào)),所以m<-. [答案] (-∞,-) 15.(20xx河北唐山一模)已知x,y∈(0,+∞),x2+y2=x+y. (1)求+的最小值. (2)是否存在x,y滿足(x+1)(y+1)=5?并說明理由. [解] (1)因?yàn)椋剑健荩?,當(dāng)且僅當(dāng)x=y(tǒng)=1時(shí),等號(hào)成立,所以+的最小值為2. (2)不存在.理由如下: 因?yàn)閤2+y2≥2xy,所以(x+y)2≤2(x2+y2)=2(x+y). 又x,y∈(0,+∞),所以x+y≤2.從而有(x+1)(y+1)≤2≤4,因此不存在x,y滿足(x+1)(y+1)

11、=5. 16.某品牌電腦體驗(yàn)店預(yù)計(jì)全年可以銷售360臺(tái)電腦,已知該品牌電腦的進(jìn)價(jià)為3000元/臺(tái),為節(jié)約資金,經(jīng)理決定分批購(gòu)入,若每批都購(gòu)入x臺(tái)(x為正整數(shù)),則每批需付運(yùn)費(fèi)300元,儲(chǔ)存購(gòu)入的電腦全年所付保管費(fèi)與每批購(gòu)入電腦的總價(jià)值(不含運(yùn)費(fèi))成正比,且每批購(gòu)入20臺(tái)時(shí),全年需用去運(yùn)費(fèi)和保管費(fèi)7800元. (1)求全年所付運(yùn)費(fèi)和保管費(fèi)之和y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式; (2)若全年只有8000元資金可用于支付運(yùn)費(fèi)和保管費(fèi),則能否恰當(dāng)?shù)匕才琶颗M(jìn)貨的數(shù)量,使資金夠用?如果夠用,求出每批進(jìn)貨的數(shù)量;如果不夠用,最少還需多少? [解] (1)設(shè)儲(chǔ)存購(gòu)入的電腦全年所付保管費(fèi)與每批購(gòu)入電腦總價(jià)值的比例

12、系數(shù)為k,則y=300+k(3000x)=+3000kx.又當(dāng)x=20時(shí),y=7800,代入可得k=0.04.故所求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y=+120x(x∈N*). (2)由(1)知,y=+120x(x∈N*).根據(jù)基本不等式可得,y=+120x≥2=23600=7200,當(dāng)且僅當(dāng)=120x,即x=30時(shí),等號(hào)成立.故當(dāng)每批購(gòu)入30臺(tái)時(shí),支付的運(yùn)費(fèi)和保管費(fèi)最低,為7200元,此時(shí)資金夠用. [延伸拓展]  (20xx內(nèi)蒙古包頭二模)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}滿足a7=a6+2a5,若存在兩項(xiàng)am,an使得 =4a1,則+的最小值為(  ) A. B. C. D. [解

13、析] 解法一(常數(shù)代換法):設(shè)數(shù)列{an}的公比為q(q>0),由各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}滿足a7=a6+2a5,可得a1q6=a1q5+2a1q4,所以q2-q-2=0,所以q=2. 因?yàn)椋?a1,所以qm+n-2=16,所以2m+n-2=24,所以m+n=6, 所以+=(m+n)=≥(5+4)=,當(dāng)且僅當(dāng)=時(shí),等號(hào)成立. 所以+的最小值為,故選A. 解法二(拼湊法):由解法一可得m+n=6,所以n=6-m, 又m,n≥1,所以1≤m≤5. 故+=+=== ==. 由基本不等式可得(m+2)+-10≥2-10=-2(當(dāng)且僅當(dāng)m+2=,即m=2時(shí)等號(hào)成立),易知(m+2)+-10<0, 所以+≥=.故選A. [答案] A

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