高三理科數(shù)學新課標二輪復習專題整合高頻突破習題：第三部分 題型指導考前提分 題型練7 Word版含答案

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1、 高考數(shù)學精品復習資料 2019.5 題型練7　大題專項(五) 解析幾何綜合問題 1. 如圖,橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率e=35,左焦點為F,A,B,C為其三個頂點,直線CF與AB交于點D,若△ADC的面積為15. (1)求橢圓C的方程. (2)是否存在分別以AD,AC為弦的兩個相外切的等圓?若存在,求出這兩個圓的圓心坐標;若不存在,請說明理由. 2.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)經(jīng)過點1,3

2、2,離心率為32. (1)求橢圓C的方程; (2)不垂直于坐標軸的直線l與橢圓C交于A,B兩點,以AB為直徑的圓過原點,且線段AB的垂直平分線交y軸于點P0,-32,求直線l的方程. 3.設橢圓x2a2+y23=1(a>3)的右焦點為F,右頂點為A.已知1|OF|+1|OA|=3e|FA|,其中O為原點,e為橢圓的離心率. (1)求橢圓的方程; (2)設過點A的直線l與橢圓交于點B(B不在x軸上),垂直于l的直線與l交于點M,與y軸交于點H.若BF⊥HF,且∠MOA≤∠MAO,求直線l的斜率的取值范圍.

3、 4.已知拋物線C:y2=2px(p>0),過焦點且斜率為1的直線m交拋物線C于A,B兩點,以線段AB為直徑的圓在y軸上截得的弦長為27. (1)求拋物線C的方程. (2)過點P(0,2)的直線l交拋物線C于F,G兩點,交x軸于點D,設PF=λ1FD,PG=λ2GD,試問λ1+λ2是否為定值?若是,求出該定值;若不是,請說明理由. 5.已知拋物線C:y2=2x的焦點為F,平行于x軸的兩條直線l1,l2分別交C于A,B兩點,交C的準線于P,Q兩點. (1)若F在線段

4、AB上,R是PQ的中點,證明AR∥FQ; (2)若△PQF的面積是△ABF的面積的兩倍,求AB中點的軌跡方程. 6.(20xx江蘇,17) 如圖,在平面直角坐標系xOy中,橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,離心率為12,兩準線之間的距離為8.點P在橢圓E上,且位于第一象限,過點F1作直線PF1的垂線l1,過點F2作直線PF2的垂線l2. (1)求橢圓E的標準方程; (2)若直線l1,l2的交點Q在橢圓E上,求點P的坐標.

5、 參考答案 題型練7　大題專項(五) 解析幾何綜合問題 1.解(1)設左焦點F的坐標為(-c,0),其中c=a2-b2,∵e=ca=35,∴a=53c,b=43c. ∴A0,43c,B-53c,0,C0,-43c, ∴直線AB的方程為-3x5c+3y4c=1,直線CF的方程為-xc-3y4c=1, 聯(lián)立解得點D的坐標為-54c,13c. ∵△ADC的面積為15,∴12|xD|·|AC|=15, 即12·54c·2·43c

6、=15, 解得c=3,∴a=5,b=4, ∴橢圓C的方程為x225+y216=1. (2)由(1)知,點A的坐標為(0,4),點D的坐標為-154,1. 假設存在這樣的兩個圓M與圓N,其中AD是圓M的弦,AC是圓N的弦, 則點M在線段AD的垂直平分線上,點N在線段AC的垂直平分線y=0上. 當圓M和圓N是兩個相外切的等圓時,一定有A,M,N在一條直線上,且|AM|=|AN|. ∴M,N關于點A對稱.設M(x1,y1), 則N(-x1,8-y1), 根據(jù)點N在直線y=0上,∴y1=8. ∴M(x1,8),N(-x1,0), 而點M在線段AD的垂直平分線y-52=-54x+1

7、58上,可求得x1=-25140. 故存在這樣的兩個等圓,且這兩個圓的圓心坐標分別為M-25140,8,N25140,0. 2.解(1)由題意得ca=32,1a2+34b2=1,a2=b2+c2,解得a=2,b=1. 故橢圓C的方程是x24+y2=1. (2)設直線l的方程為y=kx+t,設A(x1,y1),B(x2,y2), 聯(lián)立y=kx+t,x24+y2=1,消去y,得(1+4k2)x2+8ktx+4t2-4=0,則有x1+x2=-8kt1+4k2,x1x2=4t2-41+4k2. Δ>0?4k2+1>t2, y1+y2=kx1+t+kx2+t=k(x1+x2)+

8、2t=2t1+4k2, y1y2=(kx1+t)(kx2+t)=k2x1x2+kt(x1+x2)+t2 =k24t2-41+4k2+kt-8kt1+4k2+t2=t2-4k21+4k2. 因為以AB為直徑的圓過坐標原點,所以OA⊥OB,x1x2+y1y2=0. 因為x1x2+y1y2=4t2-41+4k2+t2-4k21+4k2=0, 所以5t2=4+4k2.因為Δ>0,所以4k2+1>t2,解得t<-32或t>32. 又設A,B的中點為D(m,n),則m=x1+x22=-4kt1+4k2,n=y1+y22=t1+4k2. 因為直線PD與直線l垂直, 所

9、以kPD=-1k=-32-n-m,得t1+4k2=12. 由t1+4k2=12,5t2=4+4k2,解得t1=1,t2=-35. 當t=-35時,Δ>0不成立.當t=1時,k=±12, 所以直線l的方程為y=12x+1或y=-12x+1. 3.解(1)設F(c,0),由1|OF|+1|OA|=3e|FA|, 即1c+1a=3ca(a-c),可得a2-c2=3c2, 又a2-c2=b2=3,所以c2=1,因此a2=4. 所以,橢圓的方程為x24+y23=1. (2)設直線l的斜率為k(k≠0), 則直線l的方程為y=k(x-2). 設B(xB,yB),由方程組

10、x24+y23=1,y=k(x-2) 消去y,整理得(4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0. 解得x=2,或x=8k2-64k2+3, 由題意得xB=8k2-64k2+3,從而yB=-12k4k2+3. 由(1)知,F(1,0),設H(0,yH),有FH=(-1,yH),BF=9-4k24k2+3,12k4k2+3. 由BF⊥HF,得BF·FH=0,所以4k2-94k2+3+12kyH4k2+3=0,解得yH=9-4k212k. 因此直線MH的方程為y=-1kx+9-4k212k. 設M(xM,yM),由方程組y=k(x-2),y=-1kx+9-4k212k

11、消去y, 解得xM=20k2+912(k2+1). 在△MAO中,∠MOA≤∠MAO?|MA|≤|MO|, 即(xM-2)2+yM2≤xM2+yM2,化簡得xM≥1,即20k2+912(k2+1)≥1,解得k≤-64,或k≥64. 所以,直線l的斜率的取值范圍為-∞,-64∪64,+∞. 4.解(1)由已知:直線m的方程為y=x-p2,代入y2=2px,得x2-3px+p24=0. 設A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=3p,|AB|=x1+x2+p=4p,且線段AB的中點為32p,p, 由已知(7)2+32p2=(2p)2, 解得p=2或p=-2(舍去), 所

12、以拋物線C的方程為y2=4x. (2)設直線l:y=kx+2(k≠0),則D-2k,0, 聯(lián)立y=kx+2,y2=4x,得k2x2+4(k-1)x+4=0. 由Δ>0得k<12.設F(x3,y3),G(x4,y4), 則x3+x4=4-4kk2,x3x4=4k2. PF=λ1FD?(x3,y3-2)=λ1-2k-x3,-y3, PG=λ2GD?(x4,y4-2)=λ2-2k-x4,-y4, 所以λ1=x3-2k-x3=-kx3kx3+2,λ2=-kx4kx4+2. 則λ1+λ2=-kx3kx3+2-kx4kx4+2 =-2k2x3x4+2k(x3+x4)k2x3x

13、4+2k(x3+x4)+4. 將x3+x4=4-4kk2,x3x4=4k2代入上式得λ1+λ2=-1. 即λ1+λ2為定值-1. 5.解由題知F12,0. 設l1:y=a,l2:y=b,則ab≠0, 且Aa22,a,Bb22,b,P-12,a,Q-12,b,R-12,a+b2. 記過A,B兩點的直線為l, 則l的方程為2x-(a+b)y+ab=0. (1)證明由于F在線段AB上,故1+ab=0. 記AR的斜率為k1,FQ的斜率為k2, 則k1=a-b1+a2=a-ba2-ab=1a=-aba=-b=k2. 所以AR∥FQ. (2)設l與x軸的交點為D(x1,0), 則

14、S△ABF=12|b-a||FD|=12|b-a|x1-12,S△PQF=|a-b|2. 由題設可得2×12|b-a|x1-12=|a-b|2, 所以x1=0(舍去),x1=1. 設滿足條件的AB的中點為E(x,y). 當AB與x軸不垂直時,由kAB=kDE可得2a+b=yx-1(x≠1). 而a+b2=y,所以y2=x-1(x≠1). 當AB與x軸垂直時,E與D重合. 所以,所求軌跡方程為y2=x-1. 6.解(1)設橢圓的半焦距為c. 因為橢圓E的離心率為12,兩準線之間的距離為8, 所以ca=12,2a2c=8,解得a=2,c=1,于是b=a2-c2=3,因

15、此橢圓E的標準方程是x24+y23=1. (2)由(1)知,F1(-1,0),F2(1,0). 設P(x0,y0),因為P為第一象限的點,故x0>0,y0>0. 當x0=1時,l2與l1相交于F1,與題設不符. 當x0≠1時,直線PF1的斜率為y0x0+1,直線PF2的斜率為y0x0-1. 因為l1⊥PF1,l2⊥PF2,所以直線l1的斜率為-x0+1y0,直線l2的斜率為-x0-1y0, 從而直線l1的方程:y=-x0+1y0(x+1), ① 直線l2的方程:y=-x0-1y0(x-1). ② 由①②,解得x=-x0,y=x02-1y0, 所以Q-x0,x02-1y0. 因為點Q在橢圓上,由對稱性,得x02-1y0=±y0,即x02-y02=1或x02+y02=1. 又P在橢圓E上,故x024+y023=1. 由x02-y02=1,x024+y023=1,解得x0=477,y0=377;x02+y02=1,x024+y023=1,無解. 因此點P的坐標為477,377.