高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件北師大版文科： 不等式選講 第2節(jié) 不等式的證明學(xué)案 文 北師大版

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1、 高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5 第二節(jié)　不等式的證明 [考綱傳真]　通過(guò)一些簡(jiǎn)單問(wèn)題了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法． (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第166頁(yè)) [基礎(chǔ)知識(shí)填充] 1．不等式證明的方法 (1)比較法： ①求差比較法： 知道a>b?a－b>0，a<b?a－b<0，因此要證明a>b，只要證明a－b＞0即可，這種方法稱(chēng)為求差比較法． ②求商比較法： 由a>b>0?>1且a>0，b>0，因此當(dāng)a>0，b

2、>0時(shí)，要證明a>b，只要證明＞1即可，這種方法稱(chēng)為求商比較法． (2)分析法： 從所要證明的結(jié)論入手向已知條件反推直至達(dá)到已知條件為止．這種證法稱(chēng)為分析法，即“執(zhí)果索因”的證明方法． (3)綜合法： 從已知條件出發(fā)，利用不等式的性質(zhì)(或已知證明過(guò)的不等式)，推出了所要證明的結(jié)論，即“由因?qū)す钡姆椒ǎ@種證明不等式的方法稱(chēng)為綜合法． (4)幾何法：通過(guò)構(gòu)造幾何圖形，利用幾何圖形的性質(zhì)來(lái)證明不等式的解法稱(chēng)為幾何法． (5)放縮法和反證法： 在證明不等式時(shí)，有時(shí)可以通過(guò)縮小(或放大)分式的分母(或分子)，或通過(guò)放大(或縮小)被減式(或減式)來(lái)證明不等式，這

3、種證明不等式的方法稱(chēng)為放縮法． 反證法是常用的證明方法．它是通過(guò)證明命題結(jié)論的否定不能成立，來(lái)肯定命題結(jié)論一定成立．其證明的步驟是：①作出否定結(jié)論的假設(shè)；②進(jìn)行推理，導(dǎo)出矛盾；③否定假設(shè)，肯定結(jié)論． 2．幾個(gè)常用基本不等式 (1)柯西不等式： ①柯西不等式的代數(shù)形式：對(duì)任意實(shí)數(shù)a，b，c，d，有(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2(當(dāng)向量(a，d)與向量(c，d)共線(xiàn)時(shí)．等號(hào)成立)． ②柯西不等式的向量形式：設(shè)α，β是兩個(gè)向量，則|α||β|≥|α·β|，當(dāng)且僅當(dāng)β是零向量，或存在實(shí)數(shù)k，使α＝kβ時(shí)，等號(hào)成立． ③一般形式的柯西不等式 設(shè)a1，a

4、2，…，an與b1，b2，…，bn是兩組實(shí)數(shù)，則有(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，當(dāng)向量(a1，a2，…，an)與向量(b1，b2，…，bn)共線(xiàn)時(shí)，等號(hào)成立． (2)算術(shù)—幾何平均不等式 若a1，a2，…，an為正數(shù)，則≥，當(dāng)且僅當(dāng)a1＝a2＝…＝an時(shí)，等號(hào)成立． [基本能力自測(cè)] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)比較法最終要判斷式子的符號(hào)得出結(jié)論．(　　) (2)綜合法是從原因推導(dǎo)到結(jié)果的思維方法，它是從已知條件出發(fā)，經(jīng)過(guò)逐步推理，最后達(dá)到待證的結(jié)論．(　　) (

5、3)分析法又叫逆推證法或執(zhí)果索因法，是從待證結(jié)論出發(fā)，一步一步地尋求結(jié)論成立的必要條件，最后達(dá)到題設(shè)的已知條件或已被證明的事實(shí)．(　　) (4)使用反證法時(shí)，“反設(shè)”不能作為推理的條件應(yīng)用．(　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．(教材改編)若a＞b＞1，x＝a＋，y＝b＋，則x與y的大小關(guān)系是(　　) A．x＞y　　　 B．x＜y C．x≥y D．x≤y A　[x－y＝a＋－ ＝a－b＋＝. 由a＞b＞1得ab＞1，a－b＞0， 所以＞0，即x－y＞0，所以x＞y.] 3．(教材改編)已知a≥b＞0，M

6、＝2a3－b3，N＝2ab2－a2b，則M，N的大小關(guān)系為_(kāi)_______． M≥N　[2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b)． 因?yàn)閍≥b＞0，所以a－b≥0，a＋b＞0,2a＋b＞0， 從而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，故2a3－b3≥2ab2－a2B．] 4．已知a＞0，b＞0且ln(a＋b)＝0，則＋的最小值是________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：00090380】 4　[由題意得，a＋b＝1，a＞0，b＞0， ∴＋＝(a＋b)＝2＋＋ ≥2＋2＝4， 當(dāng)且

7、僅當(dāng)a＝b＝時(shí)等號(hào)成立．] 5．已知x＞0，y＞0，證明：(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥9xy. [證明]　因?yàn)閤＞0，y＞0， 所以1＋x＋y2≥3＞0,1＋x2＋y≥3＞0， 故(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥3·3＝9xy. (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第167頁(yè)) 比較法證明不等式 　已知a＞0，b＞0，求證：＋≥＋. [證明]　法一：∵－(＋) ＝＋＝＋ ＝＝≥0， ∴＋≥＋. 10分 法二：由于＝ ＝ ＝－1 ≥－1＝1. 8分 又a＞0，b＞0，＞0， ∴＋≥＋. 10分 [規(guī)律方法]　1.在法一中，采用

8、局部通分，優(yōu)化了解題過(guò)程；在法二中，利用不等式的性質(zhì)，把證明a＞b轉(zhuǎn)化為證明＞1(b＞0)． 2．作差(商)證明不等式，關(guān)鍵是對(duì)差(商)式進(jìn)行合理的變形，特別注意作商證明不等式，不等式的兩邊應(yīng)同號(hào)． 提醒：在使用作商比較法時(shí)，要注意說(shuō)明分母的符號(hào)． [變式訓(xùn)練1]　(20xx·長(zhǎng)沙模擬)設(shè)a，b是非負(fù)實(shí)數(shù)， 求證：a2＋b2≥(a＋b)． [證明]　因?yàn)閍2＋b2－(a＋b) ＝(a2－a)＋(b2－b) ＝a(－)＋b(－) ＝(－)(a－b) ＝. 6分 因?yàn)閍≥0，b≥0，所以不論a≥b≥0，還是0≤a≤b，都有a－b與a－b 同號(hào)，所

9、以(a－b)≥0， 所以a2＋b2≥(a＋b). 10分 綜合法證明不等式 　(20xx·長(zhǎng)春模擬)設(shè)a，b，c均為正數(shù)，且a＋b＋c＝1，證明： (1)ab＋bc＋ac≤； (2)＋＋≥1. [證明]　(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca， 得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca， 由題設(shè)得(a＋b＋c)2＝1， 即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1， 所以3(ab＋bc＋ca)≤1， 即ab＋bc＋ca≤. 5分 (2)因?yàn)椋玝≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c， 故＋＋＋(a＋b＋c)≥2

10、(a＋b＋c)， 則＋＋≥a＋b＋c，所以＋＋≥1. 10分 [規(guī)律方法]　1.綜合法證明的實(shí)質(zhì)是由因?qū)Ч?，其證明的邏輯關(guān)系是：A?B1?B2?…?Bn?B(A為已知條件或數(shù)學(xué)定義、定理、公理，B為要證結(jié)論)，它的常見(jiàn)書(shū)面表達(dá)式是“∵，∴”或“?”． 2．綜合法證明不等式，要著力分析已知與求證之間，不等式的左右兩端之間的差異與聯(lián)系．合理進(jìn)行轉(zhuǎn)換，恰當(dāng)選擇已知不等式，這是證明的關(guān)鍵． [變式訓(xùn)練2]　(20xx·石家莊調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝2|x＋1|＋|x－2|. (1)求f(x)的最小值m； (2)若a，b，c均為正實(shí)數(shù)，且滿(mǎn)足a＋b＋c＝m，求證：＋＋≥3

11、. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：00090381】 [解]　(1)當(dāng)x＜－1時(shí)，f(x)＝－2(x＋1)－(x－2)＝－3x＞3； 2分 當(dāng)－1≤x＜2時(shí)，f(x)＝2(x＋1)－(x－2)＝x＋4∈[3,6)； 當(dāng)x≥2時(shí)，f(x)＝2(x＋1)＋(x－2)＝3x≥6. 綜上，f(x)的最小值m＝3. 5分 (2)證明：a，b，c均為正實(shí)數(shù)，且滿(mǎn)足a＋b＋c＝3， 因?yàn)椋?a＋b＋c) ＝＋＋ ≥2＝2(a＋b＋c). 8分 (當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝1時(shí)取“＝”) 所以＋＋≥a＋b＋c， 即＋＋≥3. 10分 分析法證明不等式 　(20xx

12、3;全國(guó)卷Ⅱ)設(shè)a，b，c，d均為正數(shù)，且a＋b＝c＋d，證明： (1)若ab>cd，則＋>＋； (2)＋>＋是|a－b|<|c－d|的充要條件． [證明]　(1)∵a，b，c，d為正數(shù)，且a＋b＝c＋d， 欲證＋＞＋， 只需證明(＋)2＞(＋)2， 也就是證明a＋b＋2＞c＋d＋2， 只需證明＞， 即證ab＞cD． 由于ab＞cd， 因此＋＞＋. 5分 (2)①若|a－b|<|c－d|， 則(a－b)2<(c－d)2， 即(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cD． 因?yàn)閍＋b＝c＋d，所以a

13、b>cD． 由(1)，得＋>＋. 8分 ②若＋>＋， 則(＋)2>(＋)2， 即a＋b＋2>c＋d＋2. 因?yàn)閍＋b＝c＋d，所以ab>cD． 于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd＝(c－d)2. 因此|a－b|<|c－d|. 綜上，＋>＋是|a－b|<|c－d|的充要條件. 10分 [規(guī)律方法]　1.本題將不等式證明與充要條件的判定滲透命題，考查推理論證能力和轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法，由于兩個(gè)不等式兩邊都是正數(shù)，可通過(guò)兩邊平方來(lái)證明． 2．當(dāng)要證的不等式較難發(fā)現(xiàn)條件和結(jié)論之間的關(guān)系時(shí)，可用分析法來(lái)尋找證明途徑，使用分析法證明的關(guān)鍵是推理的每一步必須可逆． 3．分析法證明的思路是“執(zhí)果索因”，其框圖表示為： →→→…→ [變式訓(xùn)練3]　已知a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，求證：＜A． [證明]　要證＜a， 只需證b2－ac＜3a2. ∵a＋b＋c＝0，只需證b2＋a(a＋b)＜3a2， 只需證2a2－ab－b2＞0， 4分 只需證(a－b)(2a＋b)＞0， 只需證(a－b)(a－c)＞0. ∵a＞b＞c，∴a－b＞0，a－c＞0， ∴(a－b)(a－c)＞0顯然成立， 故原不等式成立. 10分