高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件北師大版理科： 第8章 平面解析幾何 第8節(jié) 曲線與方程學(xué)案 理 北師大版

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1、 高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5 第八節(jié)　曲線與方程 [考綱傳真]　(教師用書獨(dú)具)1.了解方程的曲線與曲線的方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系.2.了解解析幾何的基本思想和利用坐標(biāo)法研究幾何問題的基本方法.3.能夠根據(jù)所給條件選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ笄€的軌跡方程． (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第146頁) [基礎(chǔ)知識(shí)填充] 1．曲線與方程 一般地，在直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C(看作滿足某種條件的點(diǎn)的集合或軌跡)上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程f(x，y)＝0的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)系： (1)曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解． (2)以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)

2、都是曲線上的點(diǎn)． 那么，這條曲線叫作方程的曲線；這個(gè)方程叫作曲線的方程． 2．求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的一般步驟 (1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)表示曲線上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)． (2)寫出適合條件p的點(diǎn)M的集合P＝{M|p(M)}． (3)用坐標(biāo)表示條件p(M)，列出方程f(x，y)＝0. (4)化方程f(x，y)＝0為最簡形式． (5)說明以化簡后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上． 3．圓錐曲線的共同特征 圓錐曲線上的點(diǎn)到一個(gè)定點(diǎn)的距離與它到一條定直線的距離之比為定值e. (1)當(dāng)0＜e＜1時(shí)，圓錐曲線是橢圓． (2)當(dāng)e＞1時(shí)，圓錐曲線是雙曲線． (3)當(dāng)e＝1時(shí)，

3、圓錐曲線是拋物線． 4．兩曲線的交點(diǎn) 設(shè)曲線C1的方程為f1(x，y)＝0，曲線C2的方程為g(x，y)＝0，則 (1)曲線C1，C2的任意一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)都滿足方程組 (2)反之，上述方程組的任何一組實(shí)數(shù)解都對(duì)應(yīng)著兩條曲線某一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)． [基本能力自測] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)f(x0，y0)＝0是點(diǎn)P(x0，y0)在曲線f(x，y)＝0上的充要條件．(　　) (2)方程x2＋xy＝x的曲線是一個(gè)點(diǎn)和一條直線．(　　) (3)動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程和動(dòng)點(diǎn)的軌跡是一樣的．(　　) (4)方程y＝與x＝y(tǒng)2表示同一曲線

4、．(　　) [解析]　對(duì)于(2)，由方程得x(x＋y－1)＝0，即x＝0或x＋y－1＝0，所以方程表示兩條直線，錯(cuò)誤；對(duì)于(3)，前者表示方程，后者表示曲線，錯(cuò)誤；對(duì)于(4)，曲線y＝是曲線x＝y(tǒng)2的一部分，錯(cuò)誤． [答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2．(教材改編)已知點(diǎn)F，直線l：x＝－，點(diǎn)B是l上的動(dòng)點(diǎn)．若過點(diǎn)B垂直于y軸的直線與線段BF的垂直平分線交于點(diǎn)M，則點(diǎn)M的軌跡是(　　) A．雙曲線　　　 B．橢圓 C．圓 D．拋物線 D　[由已知|MF|＝|MB|，根據(jù)拋物線的定義知，點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)F為焦點(diǎn)，直線l為準(zhǔn)線的拋物線．]

5、 3．已知點(diǎn)F(0,1)，直線l：y＝－1，P為平面上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線l的垂線，垂足為Q，且·＝·，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為(　　) A．x2＝4y B．y2＝3x C．x2＝2y D．y2＝4x A　[設(shè)點(diǎn)P(x，y)，則Q(x，－1)． ∵·＝·， ∴(0，y＋1)·(－x,2)＝(x，y－1)·(x，－2)， 即2(y＋1)＝x2－2(y－1)，整理得x2＝4y， ∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為x2＝4y.故選A．] 4．已知△ABC的頂點(diǎn)B(0,0)，C(5,0)，AB邊上的中線長|CD|＝3，則頂點(diǎn)A的軌跡方程

6、為__________． (x－10)2＋y2＝36(y≠0)　[設(shè)A(x，y)， 則D ∴|CD|＝＝3， 化簡得(x－10)2＋y2＝36，由于A，B，C三點(diǎn)構(gòu)成三角形， ∴A不能落在x軸上，即y≠0.] 5．過橢圓＋＝1(a＞b＞0)上任意一點(diǎn)M作x軸的垂線，垂足為N，則線段MN中點(diǎn)的軌跡方程是________． ＋＝1　[設(shè)MN的中點(diǎn)為P(x，y)，則點(diǎn)M(x,2y)，又點(diǎn)M在橢圓上，∴＋＝1，即所求的軌跡方程為＋＝1.] (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第147頁) 直接法求軌跡方程 　設(shè)F(1,0)，M點(diǎn)在x軸上，P點(diǎn)在y軸上，且＝2，⊥，當(dāng)點(diǎn)P在y軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求

7、點(diǎn)N的軌跡方程. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：79140299】 [解]　設(shè)M(x0,0)，P(0，y0)，N(x，y)， ∵⊥，＝(x0，－y0)，＝(1，－y0)， ∴(x0，－y0)·(1，－y0)＝0，∴x0＋y＝0. 由＝2得(x－x0，y)＝2(－x0，y0)， ∴即 ∴－x＋＝0，即y2＝4x. 故所求的點(diǎn)N的軌跡方程是y2＝4x. [規(guī)律方法]　用直接法求曲線方程的關(guān)鍵是把幾何條件或等量關(guān)系翻譯為代數(shù)方程，但要注意翻譯的等價(jià)性.通常將步驟簡記為建系、設(shè)點(diǎn)、列式、代換、化簡、證明這五個(gè)步驟，但最后的證明可以省略. [跟蹤訓(xùn)練]　(1)設(shè)點(diǎn)A為圓(x－1)2＋y2＝1

8、上的動(dòng)點(diǎn)，PA是圓的切線，且|PA|＝1，則P點(diǎn)的軌跡方程為(　　) A．y2＝2x　　　　 B．(x－1)2＋y2＝4 C．y2＝－2x D．(x－1)2＋y2＝2 (2)已知M(－2,0)，N(2,0)，則以MN為斜邊的直角三角形的直角頂點(diǎn)P的軌跡方程為(　　) A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝4 C．x2＋y2＝2(x≠±2) D．x2＋y2＝4(x≠±2) (1)D　(2)D　[(1)如圖，設(shè)P(x，y)，圓心為M(1,0)．連接MA，PM，則MA⊥PA，且|MA|＝1， 又∵|PA|＝1， ∴|PM|＝＝，即|PM|2＝2， ∴(x－1)

9、2＋y2＝2. (2)設(shè)P(x，y)，∵△MPN為以MN為斜邊的直角三角形， ∴|MP|2＋|NP|2＝|MN|2， ∴(x＋2)2＋y2＋(x－2)2＋y2＝16， 整理得x2＋y2＝4. ∵M(jìn)，N，P不共線，∴x≠±2， ∴軌跡方程為x2＋y2＝4(x≠±2)，故選D．] 定義法求軌跡方程 　如圖8­8­1所示，已知點(diǎn)C為圓(x＋)2＋y2＝4的圓心，點(diǎn)A(，0)．P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q在圓的半徑CP所在的直線上，且·＝0，＝2 .當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)Q的軌跡方程． 圖8­8­1 [

10、解]　由(x＋)2＋y2＝4知圓心C(－，0)，半徑r＝2. ∵·＝0，＝2， ∴MQ⊥AP，點(diǎn)M為AP的中點(diǎn)， 因此QM垂直平分線段AP. 如圖，連接AQ，則|AQ|＝|QP|， ∴||QC|－|QA||＝||QC|－|QP||＝|CP|＝2. 又|AC|＝2>2， 根據(jù)雙曲線的定義，點(diǎn)Q的軌跡是以C(－，0)，A(，0)為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為2的雙曲線． 由c＝，a＝1，得b2＝1， 因此點(diǎn)Q的軌跡方程為x2－y2＝1. 　若將本例中的條件“圓C的方程(x＋)2＋y2＝4”改為“圓C的方程(x＋)2＋y2＝16”，其他條件不變，求點(diǎn)Q的軌跡方程． [

11、解]　由(x＋)2＋y2＝16知圓心C(－，0)，半徑r＝4. ∵·＝0，＝2 ， ∴QM垂直平分AP，連接AQ， 則|AQ|＝|QP|， ∴|QC|＋|QA|＝|QC|＋|QP|＝r＝4. 根據(jù)橢圓定義，點(diǎn)Q的軌跡是以C(－，0)，A(，0)為焦點(diǎn)，長軸長為4的橢圓． 由c＝，a＝2，得b＝. 因此點(diǎn)Q的軌跡方程為＋＝1. [規(guī)律方法]　定義法求軌跡方程的方法、關(guān)鍵及注意點(diǎn) (1)求軌跡方程時(shí)，若動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)、定線間的等量關(guān)系滿足圓、橢圓、雙曲線、拋物線的定義，則可直接根據(jù)定義先確定軌跡類型，再寫出其方程. (2)關(guān)鍵：理解解析幾何中有關(guān)曲線的定義是解題關(guān)鍵.

12、 (3)利用定義法求軌跡方程時(shí)，還要看所求軌跡是否是完整的圓、橢圓、雙曲線、拋物線，如果不是完整的曲線，則應(yīng)對(duì)其中的變量x或y進(jìn)行限制. [跟蹤訓(xùn)練]　(1)若動(dòng)點(diǎn)M(x，y)到點(diǎn)F(4,0)的距離比它到直線x＝－5的距離小1，則點(diǎn)M的軌跡方程是(　　) A．x＝－4 B．x＝4 C．y2＝8x D．y2＝16x (2)已知A(－5,0)，B(5,0)，動(dòng)點(diǎn)P滿足||，||，8成等差數(shù)列，則點(diǎn)P的軌跡方程為________． (1)D　(2)－＝1(x≥4)　[(1)依題意可知點(diǎn)M到點(diǎn)F的距離等于點(diǎn)M到直線x＝－4的距離，因此點(diǎn)M的軌跡是拋物線，且頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸正半軸上，p

13、＝8，所以點(diǎn)M的軌跡的方程為y2＝16x，故選D． (2)由已知得||－||＝8， 所以點(diǎn)P的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支， 且a＝4，b＝3，c＝5， 所以點(diǎn)P的軌跡方程為－＝1(x≥4)．] 相關(guān)點(diǎn)(代入)法求軌跡方程 　(20xx·全國卷Ⅱ)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M在橢圓C：＋y2＝1上，過M作x軸的垂線，垂足為N，點(diǎn)P滿足＝. (1)求點(diǎn)P的軌跡方程； (2)設(shè)點(diǎn)Q在直線x＝－3上，且·＝1.證明：過點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點(diǎn)F. [解]　(1)設(shè)P(x，y)，M(x0，y0)， 則N(x0,0)，＝(x－x0，y)

14、，＝(0，y0)． 由＝得x0＝x，y0＝y(tǒng). 因?yàn)镸(x0，y0)在C上，所以＋＝1. 因此點(diǎn)P的軌跡方程為x2＋y2＝2. (2)證明：由題意知F(－1,0)．設(shè)Q(－3，t)，P(m，n)，則 ＝(－3，t)，＝(－1－m，－n)，·＝3＋3m－tn， ＝(m，n)，＝(－3－m，t－n)． 由·＝1得－3m－m2＋tn－n2＝1， 又由(1)知m2＋n2＝2，故3＋3m－tn＝0. 所以·＝0，即⊥. 又過點(diǎn)P存在唯一直線垂直于OQ，所以過點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點(diǎn)F. [規(guī)律方法]　“相關(guān)點(diǎn)法”求軌跡方程的基本步驟 (1

15、)設(shè)點(diǎn)：設(shè)被動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，主動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為(x1，y1). (2)求關(guān)系式：求出兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系式 (3)代換：將上述關(guān)系式代入已知曲線方程，便可得到所求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程. [跟蹤訓(xùn)練]　(20xx·武漢模擬)P是橢圓＋＝1上的任意一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是它的兩個(gè)焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，有一動(dòng)點(diǎn)Q滿足＝＋，則動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程是__________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：79140300】 ＋＝1　[作P關(guān)于O的對(duì)稱點(diǎn)M，連接F1M，F(xiàn)2M，則四邊形F1PF2M為平行四邊形， 所以＋＝＝－2. 又＝＋， 所以＝－. 設(shè)Q(x，y)，P(x0，y0)，則x0＝－，且y0＝－， 又點(diǎn)P(x0，y0)在橢圓＋＝1上， 則有＋＝1，即＋＝1.]