高考數(shù)學一輪復習學案訓練課件北師大版理科： 第8章 平面解析幾何 第4節(jié) 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系學案 理 北師大版

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1、 高考數(shù)學精品復習資料 2019.5 第四節(jié)　直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系 [考綱傳真]　(教師用書獨具)1.能根據(jù)給定直線、圓的方程判斷直線與圓的位置關(guān)系；能根據(jù)給定兩個圓的方程判斷兩圓的位置關(guān)系.2.能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題.3.初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題的思想． (對應學生用書第136頁) [基礎(chǔ)知識填充] 1．判斷直線與圓的位置關(guān)系常用的兩種方法 (1)幾何法：利用圓心到直線的距離d和圓半徑r的大小關(guān)系． dr?相離． (2)代數(shù)法： 2．圓與圓的位置關(guān)系

2、(兩圓半徑為r1，r2，d＝|O1O2|) 相離 外切 相交 內(nèi)切 內(nèi)含 圖形 量的關(guān)系 d＞r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|＜d＜r1＋r2 d＝|r1－r2|(r1≠r2) d＜|r1－r2|(r1≠r2) [知識拓展] 1．圓的切線方程常用結(jié)論 (1)過圓x2＋y2＝r2上一點P(x0，y0)的圓的切線方程為x0x＋y0y＝r2. (2)過圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一點P(x0，y0)的圓的切線方程為(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. (3)過圓x2＋y2＝r2外一點M(x0，y0)作圓的兩

3、條切線，則兩切點所在直線方程為x0x＋y0y＝r2. 2．圓與圓的位置關(guān)系的常用結(jié)論 (1)兩圓的位置關(guān)系與公切線的條數(shù)：①內(nèi)含：0條；②內(nèi)切：1條；③相交：2條；④外切：3條；⑤相離：4條． (2)當兩圓相交時，兩圓方程(x2，y2項系數(shù)相同)相減便可得公共弦所在直線的方程． [基本能力自測] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“”) (1)“k＝1”是“直線x－y＋k＝0與圓x2＋y2＝1相交”的必要不充分條件．(　　) (2)如果兩個圓的方程組成的方程組只有一組實數(shù)解，則兩圓外切．(　　) (3)如果兩圓的圓心距小于兩半徑之和，則兩圓相交．(　

4、　) (4)若兩圓相交，則兩圓方程相減消去二次項后得到的二元一次方程是公共弦所在直線的方程．(　　) (5)過圓O：x2＋y2＝r2上一點P(x0，y0)的圓的切線方程是x0x＋y0y＝r2.(　　) [答案]　(1)　(2)　(3)　(4)√　(5)√ 2．直線x－y＋1＝0與圓(x＋1)2＋y2＝1的位置關(guān)系是(　　) A．相切　　　　 B．直線過圓心 C．直線不過圓心，但與圓相交 D．相離 B　[依題意知圓心為(－1,0)，到直線x－y＋1＝0的距離d＝＝0，所以直線過圓心．] 3．(教材改編)圓(x＋2)2＋y2＝4與圓(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置關(guān)系為(　　)

5、 A．內(nèi)切　　　　　 B．相交 C．外切 D．相離 B　[兩圓圓心分別為(－2,0)，(2,1)，半徑分別為2和3，圓心距d＝＝. ∵3－2

6、心到直線的距離d＝＝， 所以弦長為2＝2＝.] (對應學生用書第137頁) 直線與圓的位置關(guān)系 　(1)(20xx豫南九校聯(lián)考)直線l：mx－y＋1－m＝0與圓C：x2＋(y－1)2＝5的位置關(guān)系是(　　) A．相交　　　 B．相切 C．相離 D．不確定 (2)(20xx大連雙基測試)圓x2＋y2＝1與直線y＝kx＋2沒有公共點的充要條件是________． (1)A　(2)－＜k＜　[(1)法一：∵圓心(0,1)到直線l的距離d＝<1<. 故直線l與圓相交． 法二：直線l：mx－y＋1－m＝0過定點(1,1)，∵點(1,1)在圓C：x2＋(y－1)2＝5的

7、內(nèi)部，∴直線l與圓C相交． (2)法一：將直線方程代入圓方程，得(k2＋1)x2＋4kx＋3＝0，直線與圓沒有公共點的充要條件是Δ＝16k2－12(k2＋1)＜0，解得－＜k＜. 法二：圓心(0,0)到直線y＝kx＋2的距離d＝，直線與圓沒有公共點的充要條件是d＞1. 即＞1，解得－＜k＜.] [規(guī)律方法]　判斷直線與圓的位置關(guān)系的常見方法 (1)幾何法：利用d與r的關(guān)系. (2)代數(shù)法：聯(lián)立方程之后利用Δ判斷. (3)點與圓的位置關(guān)系法：若直線恒過定點且定點在圓內(nèi)，可判斷直線與圓相交. 上述方法中最常用的是幾何法，點與圓的位置關(guān)系法適用于動直線問題. [跟蹤訓練]　圓(x－

8、3)2＋(y－3)2＝9上到直線3x＋4y－11＝0的距離等于1的點的個數(shù)為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 C　[因為圓心到直線的距離為＝2，又因為圓的半徑為3，所以直線與圓相交，由數(shù)形結(jié)合知， 圓上到直線的距離為1的點有3個．] 圓的切線、弦長問題 ◎角度1　求圓的切線方程(切線長) 　若點P(1,2)在以坐標原點為圓心的圓上，則該圓在點P處的切線方程為________. 【導學號：79140279】 x＋2y－5＝0　[設(shè)圓的方程為x2＋y2＝r2，將P的坐標代入圓的方程，得r2＝5，故圓的方程為x2＋y2＝5. 設(shè)該圓在點P處的切線上的

9、任意一點為M(x，y)，則＝(x－1，y－2)．由⊥(O為坐標原點)，得＝0，即1(x－1)＋2(y－2)＝0，即x＋2y－5＝0.] ◎角度2　求弦長 　(20xx河北張家口期末)已知直線：12x－5y＝3與圓x2＋y2－6x－8y＋16＝0相交于A，B兩點，則|AB|＝________. 4　[把圓的方程化成標準方程為(x－3)2＋(y－4)2＝9，所以圓心坐標為(3,4)，半徑r＝3，所以圓心到直線12x－5y＝3的距離d＝＝1，則|AB|＝2＝4.] ◎角度3　由弦長及切線問題求參數(shù) 　(20xx深圳二調(diào))已知直線l：x＋my－3＝0與圓C：x2＋y2＝4相切，則m＝____

10、____. 　[由于直線與圓相切，則有圓心到直線的距離d＝＝＝2，整理得m2＝，解得m＝.] [規(guī)律方法]　1.圓的切線方程的求法 設(shè)切線方程為y－y0＝k(x－x0)，利用點到直線的距離公式表示出圓心到切線的距離d，然后令d＝r(聯(lián)立方程組用判別式Δ＝0)，求出k. 2.弦長的求法 若弦心距為d，圓的半徑長為r，則弦長l＝2(或聯(lián)立方程組，用根與系數(shù)的關(guān)系，弦長公式求). [跟蹤訓練]　(1)已知直線l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圓C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的對稱軸．過點A(－4，a)作圓C的一條切線，切點為B，則|AB|＝(　　) A．2 B．4 C．6 D．2

11、 (2)(20xx湖南五市十校共同體聯(lián)考)已知直線l：mx＋y＋＝0與圓(x＋1)2＋y2＝2相交，弦長為2，則m＝________. (3)(20xx全國卷Ⅰ)設(shè)直線y＝x＋2a與圓C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B兩點，若|AB|＝2，則圓C的面積為________． (1)C　(2)　(3)4π　[(1)圓C的標準方程為(x－2)2＋(y－1)2＝22，圓心為C(2,1)，半徑r＝2，由直線l是圓C的對稱軸，知直線l過點C，所以2＋a1－1＝0，a＝－1，所以A(－4，－1)，于是|AC|2＝40，所以|AB|＝＝＝6.故選C． (2)由已知可得圓心為(－1,0)，半徑為，

12、圓心到直線l的距離d＝， 所以＋1＝2，解得m＝. (3)圓C：x2＋y2－2ay－2＝0化為標準方程是C：x2＋(y－a)2＝a2＋2，所以圓心C(0，a)，半徑r＝.|AB|＝2，點C到直線y＝x＋2a即x－y＋2a＝0的距離d＝，由勾股定理得＋＝a2＋2，解得a2＝2，所以r＝2，所以圓C的面積為π22＝4π.] 圓與圓的位置關(guān)系 　已知兩圓C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0和C2：x2＋y2－10x－12y＋45＝0. (1)求證：圓C1和圓C2相交； (2)求圓C1和圓C2的公共弦所在直線的方程和公共弦長． [解]　(1)證明：圓C1的圓心為C1(1,

13、3)，半徑r1＝，圓C2的圓心為C2(5,6)，半徑r2＝4，兩圓圓心距d＝|C1C2|＝5，r1＋r2＝＋4，|r1－r2|＝4－， ∴|r1－r2|＜d＜r1＋r2，∴圓C1和C2相交． (2)圓C1和圓C2的方程左、右兩邊分別相減，得4x＋3y－23＝0，∴兩圓的公共弦所在直線的方程為4x＋3y－23＝0. 圓心C2(5,6)到直線4x＋3y－23＝0的距離＝＝3，故公共弦長為2＝2. [規(guī)律方法]　1.判斷兩圓位置關(guān)系的方法 常用幾何法，即用兩圓圓心距與兩圓半徑和及差的絕對值的大小關(guān)系判斷，一般不用代數(shù)法.重視兩圓內(nèi)切的情況，作圖觀察. 2.兩圓相交時，公共弦所在直線方程的

14、求法 兩圓的公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差消去x2，y2項得到. 3.兩圓公共弦長的求法 求兩圓公共弦長，常選其中一圓，由弦心距d，半弦長，半徑r構(gòu)成直角三角形，利用勾股定理求解. [跟蹤訓練]　(1)(20xx山東高考)已知圓M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直線x＋y＝0所得線段的長度是2，則圓M與圓N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置關(guān)系是(　　) A．內(nèi)切 B．相交 C．外切 D．相離 (2)若圓C1：x2＋y2＝1與圓C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，則m＝(　　) 【導學號：79140280】 A．21 B．19 C．9 D．－11

15、(1)B　(2)C　[(1)法一：由得兩交點為(0,0)，(－a，a)．∵圓M截直線所得線段長度為2， ∴＝2.又a>0，∴a＝2. ∴圓M的方程為x2＋y2－4y＝0，即x2＋(y－2)2＝4， 圓心M(0,2)，半徑r1＝2. 又圓N：(x－1)2＋(y－1)2＝1，圓心N(1,1)，半徑r2＝1， ∴|MN|＝＝. ∵r1－r2＝1，r1＋r2＝3,1<|MN|<3，∴兩圓相交． 法二：∵x2＋y2－2ay＝0(a>0)?x2＋(y－a)2＝a2(a>0)， ∴M(0，a)，r1＝a. ∵圓M截直線x＋y＝0所得線段的長度為2，∴圓心M到直線x＋y＝0的距離d＝＝，解得a＝2. 以下同法一． (2)圓C1的圓心為C1(0,0)，半徑r1＝1，因為圓C2的方程可化為(x－3)2＋(y－4)2＝25－m，所以圓C2的圓心為C2(3,4)，半徑r2＝(m＜25)．從而|C1C2|＝＝5.由兩圓外切得|C1C2|＝r1＋r2，即1＋＝5，解得m＝9，故選C．]