高考數(shù)學一輪復習學案訓練課件北師大版理科： 第3章 三角函數(shù)、解三角形 第4節(jié) 函數(shù)y＝Asinωx＋φ的圖像及應用學案 理 北師大版

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1、 高考數(shù)學精品復習資料 2019.5 第四節(jié)　函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖像及應用 [考綱傳真]　(教師用書獨具)1.了解函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的物理意義；能畫出函數(shù)的圖像，了解參數(shù)A，ω，φ對函數(shù)圖像變化的影響.2.會用三角函數(shù)解決一些簡單實際問題，體會三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型． (對應學生用書第54頁) [基礎知識填充] 1．y＝Asin (ωx＋φ)的有關概念 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x≥0)，表示一個振動量時 振幅 周期 頻率 相位 初相 A T＝

2、 f＝＝ ωx＋φ φ 2.用五點法畫y＝Asin(ωx＋φ)一個周期內的簡圖時，要找五個關鍵點，如下表所示 x － ωx＋φ 0 π 2π y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 3.由y＝sin x的圖像變換得到y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0)的圖像 圖341 [知識拓展] 1．由y＝sin ωx到y(tǒng)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，φ＞0)的變換：向左平移個單位長度而非φ個單位長度． 2．函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的對稱軸由ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z確定；對稱中心由ωx＋φ＝kπ，k∈Z確定其橫坐標．

3、 [基本能力自測] 1．(思考辨析)判斷下列結論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“”) (1)利用圖像變換作圖時“先平移，后伸縮”與“先伸縮，后平移”中平移的單位長度一致．(　　) (2)將y＝3sin 2x的圖像左移個單位后所得圖像的解析式是y＝3sin.(　　) (3)y＝sin的圖像是由y＝sin的圖像向右平移個單位得到的．(　　) (4)函數(shù)y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期為T，那么函數(shù)圖像的兩個相鄰對稱中心之間的距離為.(　　) [答案]　(1)　(2)　(3)√　(4)√ 2．(教材改編)y＝2sin的振幅，頻率和初相分別為(　　) A．2,4π，　　

4、　　 B．2，， C．2，，－ D．2,4π，－ C　[由題意知A＝2，f＝＝＝，初相為－.] 3．為了得到函數(shù)y＝sin的圖像，只需把函數(shù)y＝sin x的圖像上所有的點(　　) A．向左平行移動個單位長度 B．向右平行移動個單位長度 C．向上平行移動個單位長度 D．向下平行移動個單位長度 A　[把函數(shù)y＝sin x的圖像上所有的點向左平行移動個單位長度就得到函數(shù)y＝sin的圖像．] 4．用五點法作函數(shù)y＝sin在一個周期內的圖像時，主要確定的五個點是________、________、________、________、________. ；；；；　[分別令x－＝0，，π

5、，π，2π，即可得五個點的橫坐標(縱坐標分別為0,1,0，－1,0)．] 5．已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)的圖像如圖342所示，則ω＝________. 圖342 　[由題圖可知，＝－＝， 即T＝，所以＝，故ω＝.] (對應學生用書第55頁) 函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖像及變換 　已知函數(shù)f(x)＝3sin，x∈R. (1)畫出函數(shù)f(x)在一個周期的閉區(qū)間上的簡圖； (2)將函數(shù)y＝sin x的圖像作怎樣的變換可得到f(x)的圖像？ 【導學號：79140116】 [解]　(1)列表取值： x π π π π

6、x－ 0 π π 2π f(x) 0 3 0 －3 0 描出五個關鍵點并用光滑曲線連接，得到一個周期的簡圖． (2)先把y＝sin x的圖像向右平移個單位，然后把所有點的橫坐標擴大為原來的2倍，再把所有點的縱坐標擴大為原來的3倍，得到f(x)的圖像． [規(guī)律方法]　函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的圖像的作法,(1)五點法：用“五點法”作y＝Asin(ωx＋φ)的簡圖，主要是通過變量代換，令z＝ωx＋φ，由z取0，，π，π，2π來求出相應的x，通過列表得出五點坐標，描點，連線后得出圖像.,(2)圖像變換法：由函數(shù)y＝sin x的圖像通過變換得到y(tǒng)

7、＝Asin(ωx＋φ)的圖像有兩種途徑：“先平移后伸縮”與“先伸縮后平移”，對于后者可利用ωx＋φ＝ω確定平移單位. [跟蹤訓練]　(1)(20xx全國卷Ⅰ)已知曲線C1：y＝cos x，C2：y＝sin，則下面結論正確的是(　　) A．把C1上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線C2 B．把C1上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線C2 C．把C1上各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線C2 D．把C1上各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，

8、再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線C2 (2)(20xx呼和浩特一調)設函數(shù)f(x)＝sin(2x＋φ)向左平移個單位長度后得到的函數(shù)是一個偶函數(shù)，則φ＝________. (1)D　(2)－　[(1)因為y＝sin＝cos＝cos，所以曲線C1：y＝cos x上各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，得到曲線y＝cos 2x，再把得到的曲線y＝cos 2x向左平移個單位長度，得到曲線y＝cos 2＝cos.故選D． (2)由題意得y＝sin是一個偶函數(shù)，因此＋φ＝＋kπ(k∈Z)，即φ＝－＋kπ(k∈Z)．因為|φ|＜，所以φ＝－.] 求函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的

9、解析式 　(1)(20xx全國卷Ⅱ)函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的部分圖像如圖343所示，則(　　) 圖343 A．y＝2sin B．y＝2sin C．y＝2sin D．y＝2sin (2)已知函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的最大值為4，最小值為0，最小正周期為，直線x＝是其圖像的一條對稱軸，則下面各式中符合條件的解析式為(　　) A．y＝4sin B．y＝2sin＋2 C．y＝2sin＋2 D．y＝2sin＋2 (1)A　(2)D　[(1)由圖像知＝－＝，故T＝π，因此ω＝＝2.又圖像的一個最高點坐標為，所以A＝2，且2＋φ＝2kπ＋(k∈

10、Z)，故φ＝2kπ－(k∈Z)，結合選項可知y＝2sin.故選A． (2)由函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋b的最大值為4，最小值為0，可知b＝2，A＝2.由函數(shù)的最小正周期為，可知＝，得ω＝4.由直線x＝是其圖像的一條對稱軸，可知4＋φ＝kπ＋，k∈Z，從而φ＝kπ－，k∈Z，故滿足題意的是y＝2sin＋2.] [規(guī)律方法]　確定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的步驟和方法,(1)求A，b：確定函數(shù)的最大值M和最小值m，則A＝，b＝.,(2)求ω：確定函數(shù)的周期T，則可得ω＝.,(3)求φ：常用的方法有：,①代入法：把圖像上的一個已知點代入(此時A，ω，b已知)或代入圖像與

11、直線y＝b的交點求解(此時要注意交點在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上).,②五點法：確定φ值時，往往以尋找“五點法”中的某一個點為突破口.“第一點”(即圖像上升時與x軸的交點)時ωx＋φ＝0；“第二點”(即圖像的“峰點”)時ωx＋φ＝；“第三點”(即圖像下降時與x軸的交點)時ωx＋φ＝π；“第四點”(即圖像的“谷點”)時ωx＋φ＝；“第五點”時ωx＋φ＝2π. [跟蹤訓練]　(20xx石家莊一模)函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分圖像如圖344所示，則f的值為(　　) 圖344 A．－　 B．－　　　C．－　　　D．－1 D　[由圖像可得A＝，最小正周期T＝

12、4＝π，則ω＝＝2.又f＝sin＝－，解得φ＝－＋2kπ(k∈Z)，即k＝1，φ＝，則f(x)＝sin，f＝sin＝sin＝－1，故選D．] 函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)圖像與性質的應用 　(20xx合肥二檢)已知函數(shù)f(x)＝sin ωx－cos ωx(ω＞0)的最小正周期為π. (1)求函數(shù)y＝f(x)的圖像的對稱軸方程； (2)討論函數(shù)f(x)在上的單調性． [解]　(1)∵f(x)＝sin ωx－cos ωx＝sin， 且T＝π，∴ω＝＝2. 于是f(x)＝sin. 令2x－＝kπ＋(k∈Z)， 得x＝＋(k∈Z)， 即函數(shù)f(x)的圖像的對稱軸方程為x＝＋

13、(k∈Z)． (2)令2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)， 得函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間為(k∈Z)． 因為x∈，令k＝0， 得函數(shù)f(x)在上的單調遞增區(qū)間為； 同理其單調遞減區(qū)間為. [規(guī)律方法]　三角函數(shù)圖像與性質應用問題的求解思路,先將y＝f(x)化為y＝Asin(ωx＋φ)＋b的形式，再借助y＝Asin(ωx＋φ)的圖像和性質(如定義域、值域、最值、周期性、對稱性、單調性等)解決相關問題. [跟蹤訓練]　設函數(shù)f(x)＝－sin2ωx－sin ωxcos ωx(ω＞0)，且y＝f(x)圖像的一個對稱中心到最近的對稱軸的距離為. (1)求ω的值； (2)求f(x)在

14、區(qū)間上的最大值和最小值． [解]　(1)f(x)＝－sin2ωx－sin ωxcos ωx ＝－－sin 2ωx ＝cos 2ωx－sin 2ωx＝－sin. 因為圖像的一個對稱中心到最近的對稱軸的距離為，又ω＞0，所以＝4，因此ω＝1. (2)由(1)知f(x)＝－sin. 當π≤x≤時，≤2x－≤， 所以－≤sin≤1，則－1≤f(x)≤. 故f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值分別為，－1. 三角函數(shù)模型的簡單應用 　某實驗室一天的溫度(單位：℃)隨時間t(單位：h)的變化近似滿足函數(shù)關系：f(t)＝10－cost－sint，t∈[0,24)． (1)求實驗室這

15、一天的最大溫差； (2)若要求實驗室溫度不高于11 ℃，則在哪段時間實驗室需要降溫？ 【導學號：79140117】 [解]　(1)因為f(t)＝10－2＝10－2sin， 又0≤t＜24， 所以≤t＋＜，－1≤sin≤1. 當t＝2時，sin＝1； 當t＝14時，sin＝－1. 于是f(t)在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8. 故實驗室這一天最高溫度為12 ℃，最低溫度為8 ℃，最大溫差為4 ℃. (2)依題意，當f(t)＞11時實驗室需要降溫． 由(1)得f(t)＝10－2sin， 故有10－2sin＞11， 即sin＜－. 又0≤t＜24，因此＜t＋

16、＜，即10＜t＜18. 故在10時至18時實驗室需要降溫． [規(guī)律方法]　三角函數(shù)模型的實際應用類型及解題關鍵 (1)已知函數(shù)解析式，利用三角函數(shù)的有關性質解決問題，其關鍵是準確理解自變量的意義及函數(shù)的對應關系. (2)函數(shù)解析式未知時，需把實際問題抽象轉化成數(shù)學問題，建立三角函數(shù)模型，再利用三角函數(shù)的有關知識解決問題，其關鍵是建模. [跟蹤訓練]　如圖345，某港口一天6時到18時的水深變化曲線近似滿足函數(shù)y＝3sin＋k.據(jù)此函數(shù)可知，這段時間水深(單位：m)的最大值為(　　) 圖345 A．5　　 B．6　　　　C．8　　　　D．10 C　[根據(jù)圖像得函數(shù)的最小值為2，有－3＋k＝2，k＝5，最大值為3＋k＝8.]