高考數(shù)學文二輪復習教師用書：第1部分 重點強化專題 專題3 突破點8 獨立性檢驗與回歸分析 Word版含答案

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1、 高考數(shù)學精品復習資料 2019.5 突破點8　獨立性檢驗與回歸分析 [核心知識提煉] 提煉1 變量的相關性 (1)正相關：在散點圖中，點散布在從左下角到右上角的區(qū)域． (2)負相關：在散點圖中，點散布在從左上角到右下角的區(qū)域． (3)相關系數(shù)r：當r>0時，兩變量正相關；當r<0時，兩變量負相關；當|r|≤1且|r|越接近于1，相關程度越高，當|r|≤1且|r|越接近于0，相關程度越低． 提煉2 線性回歸方程 方程＝x＋稱為線性回歸方程，其中＝，＝－.回歸直線恒過樣本中心(，)． 提煉3

2、獨立性檢驗 (1)確定分類變量，獲取樣本頻數(shù)，得到2×2列聯(lián)表． (2)求觀測值：k＝. (3)根據(jù)臨界值表，作出正確判斷．如果k≥kα，就推斷“X與Y有關系”，這種推斷犯錯誤的概率不超過α，否則就認為在犯錯誤的概率不超過α的前提下不能推斷“X與Y有關系”． [高考真題回訪] 回訪1　變量的相關性 1．(20xx·全國卷Ⅱ)根據(jù)下面給出的2004年至我國二氧化硫年排放量(單位：萬噸)柱形圖，以下結論中不正確的是(　　) 圖8­1 A．逐年比較，減少二氧化硫排放量的效果最顯著 B．我國治理二氧化硫排放顯現(xiàn)成效 C．以來我國二氧化硫年排放量呈減

3、少趨勢 D．以來我國二氧化硫年排放量與年份正相關 D　[對于A選項，由圖知從到二氧化硫排放量下降得最多，故A正確．對于B選項，由圖知，由到矩形高度明顯下降，因此B正確．對于C選項，由圖知從以后除稍有上升外，其余年份都是逐年下降的，所以C正確．由圖知以來我國二氧化硫年排放量與年份負相關，故選D.] 2．(20xx·全國卷)在一組樣本數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散點圖中，若所有樣本點(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直線y＝x＋1上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關系數(shù)為(　　) A．－1　　　 B．0　　　 C

4、.　　　 D．1 D　[樣本點都在直線上時，其數(shù)據(jù)的估計值與真實值是相等的，即yi＝i，代入相關系數(shù)公式r＝＝1.] 3．(20xx·全國卷Ⅰ)為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗員每隔30 min從該生產(chǎn)線上隨機抽取一個零件，并測量其尺寸(單位：cm)．下面是檢驗員在一天內依次抽取的16個零件的尺寸： 抽取次序 1 2 3 4 5 6 7 8 零件尺寸 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 抽取次序 9 10 11 12 13 14 15 16 零件尺寸

5、 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 (1)求(xi，i)(i＝1,2，…，16)的相關系數(shù)r，并回答是否可以認為這一天生產(chǎn)的零件尺寸不隨生產(chǎn)過程的進行而系統(tǒng)地變大或變小(若|r|<0.25，則可以認為零件的尺寸不隨生產(chǎn)過程的進行而系統(tǒng)地變大或變小)． (2)一天內抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在(－3s，＋3s)之外的零件，就認為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查． (ⅰ)從這一天抽檢的結果看，是否需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查？ (ⅱ)在(－3s，＋3s)之外的數(shù)據(jù)稱為

6、離群值，試剔除離群值，估計這條生產(chǎn)線當天生產(chǎn)的零件尺寸的均值與標準差．(精確到0.01) 附：樣本(xi，yi)(i＝1,2，…，n)的相關系數(shù)r＝ [解] (1)由樣本數(shù)據(jù)得(xi，i)(i＝1,2，…，16)的相關系數(shù) r＝≈≈－0.18． 2分 由于|r|<0.25，因此可以認為這一天生產(chǎn)的零件尺寸不隨生產(chǎn)過程的進行而系統(tǒng)地變大或變小． 4分 (2)(ⅰ)由于＝9.97，s≈0.212，因此由樣本數(shù)據(jù)可以看出抽取的第13個零件的尺寸在(－3s，＋3s)以外，因此需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查． 6分 (ⅱ)剔除離群值，即第13個數(shù)據(jù)，剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為 (

7、16×9.97－9.22)＝10.02， 這條生產(chǎn)線當天生產(chǎn)的零件尺寸的均值的估計值為10.02． 8分 x≈16×0.2122＋16×9.972≈1 591.134， 10分 剔除第13個數(shù)據(jù)，剩下數(shù)據(jù)的樣本方差為 (1 591.134－9.222－15×10.022)≈0.008， 這條生產(chǎn)線當天生產(chǎn)的零件尺寸的標準差的估計值為≈0.09． 12分 回訪2　獨立性檢驗 4．(20xx·全國卷Ⅱ)海水養(yǎng)殖場進行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對比，收獲時各隨機抽取了100個網(wǎng)箱，測量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量(單位：kg)，其頻率

8、分布直方圖如下： 圖8­2 (1)記A表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg”，估計A的概率； (2)填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關； 箱產(chǎn)量＜50 kg 箱產(chǎn)量≥50 kg 舊養(yǎng)殖法 新養(yǎng)殖法 (3)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，對這兩種養(yǎng)殖方法的優(yōu)劣進行比較． 附： P(K2≥k0) 0.050 0.010 0.001 k0 3.841 6.635 10.828 K2＝. [解] (1)舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg的頻率為 (0.012＋0.014＋0.0

9、24＋0.034＋0.040)×5＝0.62. 因此，事件A的概率估計值為0.62. 3分 (2)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖得列聯(lián)表 箱產(chǎn)量<50 kg 箱產(chǎn)量≥50 kg 舊養(yǎng)殖法 62 38 新養(yǎng)殖法 34 66 5分 K2的觀測值k＝≈15.705. 由于15.705＞6.635，故有99%的把握認為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關． 8分 (3)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖表明：新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量平均值(或中位數(shù))在50 kg到55 kg之間，舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量平均值(或中位數(shù))在45 kg到50 kg之間，且新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量分布集中程度較舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量

10、分布集中程度高，因此，可以認為新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量較高且穩(wěn)定，從而新養(yǎng)殖法優(yōu)于舊養(yǎng)殖法． 12分 熱點題型1　回歸分析 題型分析：高考命題常以實際生活為背景，重在考查回歸分析中散點圖的作用、回歸方程的求法和應用，難度中等． 【例1】　在一次抽樣調查中測得樣本的5組數(shù)據(jù)，得到一個變量y關于x的回歸方程模型，其對應的數(shù)值如下表： x 0.25 0.5 1 2 4 y 16 12 5 2 1 (1)試作出散點圖，根據(jù)散點圖判斷，y＝a＋bx與y＝＋m哪一個適宜作為變量y關于x的回歸方程模型？(給出判斷即可，不必說明理由) (2)根據(jù)(1)的判斷結果及表中數(shù)據(jù)，

11、建立變量y關于x的回歸方程； (3)根據(jù)(2)中所求的變量y關于x的回歸方程預測：當x＝3時，對應的y值為多少？(保留四位有效數(shù)字) [解] (1)作出變量y與x之間的散點圖，如圖所示， 2分 由圖可知變量y與x近似地呈反比例函數(shù)關系， 那么y＝＋m適宜作為變量y關于x的回歸方程模型． 4分 (2)由(1)知y＝＋m適宜作為變量y關于x的回歸方程模型，令t＝，則y＝kt＋m，由y與x的數(shù)據(jù)表可得y與t的數(shù)據(jù)表如下： t 4 2 1 0.5 0.25 y 16 12 5 2 1 6分 作出y與t的散點圖，如圖所示． 8分 由圖可知y與t近似地

12、呈線性相關關系． 又＝1.55，＝7.2，iyi＝94.25，＝21.312 5， 所以k＝＝≈4.134 4，m＝－k＝7.2－4.134 4×1.55≈0.8， 所以y＝4.134 4t＋0.8， 所以y關于x的回歸方程為y＝＋0.8． 10分 (3)由(2)得y關于x的回歸方程是y＝＋0.8， 當x＝3時，可得y＝＋0.8≈2.178． 12分 [方法指津] 1．正確理解計算，的公式和準確的計算，是求線性回歸方程的關鍵．其中回歸直線必過樣本中心(，)． 2．在分析兩個變量的相關關系時，可根據(jù)樣本數(shù)據(jù)作出散點圖來確定兩個變量之間是否具有相關關系，若具有線性相

13、關關系，則可通過線性回歸方程估計和預測變量的值． [變式訓練1]　二手車經(jīng)銷商小王對其所經(jīng)營的A型號二手汽車的使用年數(shù)x與銷售價格y(單位：萬元/輛)進行整理，得到如下數(shù)據(jù)： 使用年數(shù)x 2 3 4 5 6 7 售價y 20 12 8 6.4 4.4 3 z＝ln y 3.00 2.48 2.08 1.86 1.48 1.10 下面是z關于x的折線圖： 圖8­3 (1)由折線圖可以看出，可以用線性回歸模型擬合z與x的關系，請用相關系數(shù)加以說明； (2)求y關于x的回歸方程，并預測某輛A型號二手車當使用年數(shù)為9年時售價約為多少；(

14、，小數(shù)點后保留兩位數(shù)字) (3)基于成本的考慮，該型號二手車的售價不得低于7 118元，請根據(jù)(2)求出的回歸方程預測在收購該型號二手車時車輛的使用年數(shù)不得超過多少年． 參考公式：＝＝，＝－ ，r＝. 參考數(shù)據(jù)： xiyi＝187.4，xizi＝47.64，x＝139， ＝4.18， ＝13.96， ＝1.53，ln 1.46≈0.38，ln 0.711 8≈－0.34. 【導學號：04024080】 [解] (1)由題意，知＝×(2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4.5， 1分 ＝×(3.00＋2.48＋2.08＋1.86＋1.48＋1.10)＝2， 2

15、分 又xizi＝47.64， ＝4.18， ＝1.53， ∴r＝ ＝－≈－0.99， ∴z與x的相關系數(shù)大約為－0.99，說明z與x的線性相關程度很高． 4分 (2)＝ ＝－≈－0.36， 5分 ∴＝－ ＝2＋0.36×4.5＝3.62， ∴z與x的線性回歸方程是＝－0.36x＋3.62， 6分 又z＝ln y， ∴y關于x的回歸方程是＝e－0.36x＋3.62. 7分 令x＝9， 得＝e－0.36×9＋3.62＝e0.38，∵ln 1.46≈0.38，∴＝1.46， 即預測某輛A型號二手車當使用年數(shù)為9年時售價約為1.46萬元． 8

16、分 (3)當≥0.711 8， 即e－0.36x＋3.62≥0.711 8＝eln 0.711 8＝e－0.34時， 則有－0.36x＋3.62≥－0.34， 解得x≤11， 因此，預測在收購該型號二手車時車輛的使用年數(shù)不得超過11年． 12分 熱點題型2　獨立性檢驗 題型分析：盡管全國卷Ⅰ在近幾年未在該點命題，但其極易與分層抽樣、古典概型等知識交匯，是潛在的命題點之一，需引起足夠的重視． 【例2】　(20xx·長沙二模)某學校的特長班有50名學生，其中有體育生20名，藝術生30名，在學校組織的一次體檢中，該班所有學生進行了心率測試，心率全部介于50次/分到75次/

17、分之間，現(xiàn)將數(shù)據(jù)分成五組，第一組[50,55)，第二組[55,60)，……，第五組[70,75]，按上述分組方法得到的頻率分布直方圖如圖8­4所示，已知圖中從左到右的前三組的頻率之比為a∶4∶10. 圖8­4 (1)求a的值，并求這50名學生心率的平均值； (2)因為學習專業(yè)的原因，體育生常年進行系統(tǒng)的身體鍛煉，藝術生則很少進行系統(tǒng)的身體鍛煉，若從第一組和第二組的學生中隨機抽取1名，該學生是體育生的概率為0.8，請將下面的列聯(lián)表補充完整，并判斷是否有99.5%的把握認為心率小于60次/分與常年進行系統(tǒng)的身體鍛煉有關？說明你的理由． 心率小于60次/分

18、心率不小于60次/分 合計 體育生 20 藝術生 30 合計 50 參考數(shù)據(jù)： P(K2≥k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 參考公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. [解] (1)因為第二組數(shù)據(jù)的頻率為0.032×5＝0.16， 故第二組的頻數(shù)為0.16×50＝8， 所以第一組的頻數(shù)為2a，第三組的頻數(shù)為20，第四組的頻數(shù)為16，第五組的頻數(shù)為4.

19、所以2a＝50－20－16－8－4＝2，故a＝1. 3分 所以這50名學生的心率平均值為52.5×＋57.5×＋62.5×＋67.5×＋72.5×＝63.7. 5分 (2)由(1)知，第一組和第二組的學生(即心率小于60次/分的學生)共10名，其中體育生有10×0.8＝8(名)，故列聯(lián)表補充如下： 心率小于60次/分 心率不小于60次/分 合計 體育生 8 12 20 藝術生 2 28 30 合計 10 40 50 所以K2＝≈8.333＞7.879， 故有99.5%的把握認為心率小于6

20、0次/分與常年進行系統(tǒng)的身體鍛煉有關． 12分 [方法指津] 求解獨立性檢驗問題時要注意：一是2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)與公式中各個字母的對應，不能混淆；二是注意計算得到K2之后的結論． [變式訓練2]　(20xx·蘭州三模)隨著手機的發(fā)展，“微信”逐漸成為人們交流的一種形式．某機構對“使用微信交流”的態(tài)度進行調查，隨機抽取了50人，他們年齡的頻數(shù)分布及對“使用微信交流”贊成人數(shù)如下表． 年齡 (單位：歲) [15,25) [25,35) [35,45) [45,55) [55,65) [65,75] 頻數(shù) 5 10 15 10 5 5 贊成

21、人數(shù) 5 10 12 7 2 1 (1)若以“年齡45歲為分界點”，由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)完成下面2×2列聯(lián)表，并判斷是否有99%的把握認為“使用微信交流”的態(tài)度與人的年齡有關； 年齡不低于45歲的人數(shù) 年齡低于45歲的人數(shù) 合計 贊成 不贊成 合計 (2)若從年齡在[55,65)的被調查人中隨機選取2人進行追蹤調查，求2人中至少有1人不贊成“使用微信交流”的概率. 參考數(shù)據(jù)： P(K2≥k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072

22、 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. 【導學號：04024081】 [解] (1)2×2列聯(lián)表如下： 年齡不低于45歲的人數(shù) 年齡低于45歲的人數(shù) 合計 贊成 10 27 37 不贊成 10 3 13 合計 20 30 50 K2＝≈9.98＞6.635. 所以有99%的把握認為“使用微信交流”的態(tài)度與人的年齡有關． 6分 (2)設年齡在[55,65)中不贊成“使用微信交流”的人為A，B，C，贊成“使用微信交流”的人為a，b， 則從5人中隨機選取2人有AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共10種結果，其中2人中至少有1人不贊成“使用微信交流”的有AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb、Ca、Cb，共9種結果，所以2人中至少有1人不贊成“使用微信交流”的概率為P＝． 12分