高考數(shù)學(xué)理二輪復(fù)習(xí)練習(xí):第2部分 必考補(bǔ)充專題 數(shù)學(xué)文化專項(xiàng)練2 Word版含答案

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1、 高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5 數(shù)學(xué)文化專項(xiàng)練(二) (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第121頁) 1.我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》有“米谷粒分”題:糧倉開倉收糧,有人送來米1 534石,驗(yàn)得米內(nèi)夾谷,抽樣取米一把,數(shù)是254粒內(nèi)夾谷28粒,則這批米內(nèi)夾谷約為(  ) A.134石  B.169石 C.338石 D.1 365石 B [抽樣比是,那么1 534石米夾谷1 534×≈169(石), 故選B.] 2.(20xx·福建4月教學(xué)質(zhì)量檢測)朱世杰是歷史上最偉大的數(shù)學(xué)家之一,他所著的《四元玉鑒》卷中“

2、如像招數(shù)”五問中有如下問題:“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤.只云初日差六十四人,次日轉(zhuǎn)多七人.每人日支米三升,共支米四百三石九斗二升,問筑堤幾日.”其大意為:“官府陸續(xù)派遣1 864人前往修筑堤壩.第一天派出64人,從第二天開始,每天派出的人數(shù)比前一天多7人.修筑堤壩的每人每天分發(fā)大米3升,共發(fā)出大米40 392升,問修筑堤壩多少天.”在這個(gè)問題中,第5天應(yīng)發(fā)大米(  ) A.894升 B.1 170升 C.1 275升 D.1 467升 B [由題意,知每天派出的人數(shù)構(gòu)成首項(xiàng)為64,公差為7的等差數(shù)列,則第5天的總?cè)藬?shù)為5×64+×7=390,所以第5天應(yīng)發(fā)大米

3、390×3=1 170升, 故選B.] 3.《算數(shù)書》竹簡于20世紀(jì)八十年代在湖北省江陵縣張家山出土,這是我國現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學(xué)典籍,其中記載有求“囷蓋”的術(shù):“置如其周,令相乘也.又以高乘之,三十六成一”.該術(shù)相當(dāng)于給出了由圓錐的底面周長L與高h(yuǎn),計(jì)算其體積V的近似公式V≈l2h.它實(shí)際上是將圓錐體積公式中的圓周率π近似取3.那么,近似公式V≈l2h相當(dāng)于將圓錐體積公式中的π近似取為(  ) 【導(dǎo)學(xué)號(hào):07804142】 A. B. C. D. B [設(shè)圓錐的底面圓半徑為r,則圓錐的底面圓周長L=2πr,所以圓錐底面圓的半徑r=,則圓錐的體積為V=Sh=πr2h=π

4、·h=L2h.又V≈L2h,所以L2h≈L2h,解得π≈.] 4.(20xx·福建三明5月質(zhì)檢)“牟合方蓋”是我國古代數(shù)學(xué)家劉徽在研究球的體積的過程中構(gòu)造的一個(gè)和諧優(yōu)美的幾何體,它由完全相同的四個(gè)曲面構(gòu)成,相對(duì)的兩個(gè)曲面在同一圓柱的側(cè)面上,好似兩個(gè)扣合(牟合)在一起的方形傘(方蓋).如圖1,正方形ABCD是為體現(xiàn)其直觀性所作的輔助線,若該幾何體的正視圖與側(cè)視圖都是半徑為r的圓,根據(jù)祖暅原理,可求得該幾何體的體積為(  ) 圖1 A.r3 B.πr3 C.r3 D.πr3 C [由題意,根據(jù)祖暅原理,求得該幾何體的體積與中截面面積為(2r)2=πR2的球的體積相

5、等,所以幾何體的體積為πR3=×4r2×r=r3.] 5.(20xx·四川瀘州四診)《孫子算經(jīng)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著,其中一個(gè)問題的解答可以用如圖2的算法來實(shí)現(xiàn),若輸入的S,T的值分別為40,126,則輸出a,b的值分別為(  ) 圖2 A.17,23 B.21,21 C.19,23 D.20,20 A [依據(jù)流程圖運(yùn)行程序:S=40,T=126,此時(shí)T≥2S成立,(T-2S)÷2=46÷2=23,余數(shù)為0,則b==23,a=S-b=40-23=17,輸出a,b結(jié)束程序運(yùn)行. 綜上可得輸出a,b的值分別為17,23.

6、] 6.(20xx·廣州一模)《九章算術(shù)》中,將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬;將四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑.若三棱錐P­ABC為鱉臑,PA⊥平面ABC,PA=AB=2,AC=4,三棱錐P­ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上,則球O的表面積為(  ) A.8π B.12π C.20π D.24π C [法一:(還原幾何法)將三棱錐P­ABC放入長方體中,如圖,三棱錐P­ABC的外接球就是長方體的外接球.因?yàn)镻A=AB=2,AC=4,△ABC為直角三角形,所以BC==2.設(shè)外接球的半徑為R,依題意可得(2R

7、)2=22+22+(2)2=20,故R2=5,則球O的表面積為4πR2=20π,選C. 法二:(直接法)利用鱉臑的特點(diǎn)求解,如圖,因?yàn)樗膫€(gè)面都是直角三角形,所以PC的中點(diǎn)到每一個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等,即PC的中點(diǎn)為球心O,易得2R=PC=,所以球O的表面積為4πR2=20π,選C.] 7.《九章算術(shù)》是我國古代著名數(shù)學(xué)經(jīng)典,其中對(duì)勾股定理的論術(shù)比西方早一千多年,其中有這樣一個(gè)問題:“今有圓材埋在壁中,不知大?。灰凿忎徶?,深一寸,鋸道長一尺.問徑幾何?”其意為:今有一圓柱形木材,埋在墻壁中,不知其大小,用鋸去鋸該材料,鋸口深1寸,鋸道長1尺.問這塊圓柱形木料的直徑是多少?長為1丈的圓柱形木材部分

8、鑲嵌在墻體中,截面圖如圖3所示(陰影部分為鑲嵌在墻體內(nèi)的部分),已知弦AB=1尺,弓形高CD=1寸,估算該木材鑲嵌在墻中的體積約為(注:1丈=10尺,1尺=10寸,π≈3.14,sin 22.5°≈)(  ) 圖3 A.600立方寸 B.610立方寸 C.620立方寸 D.633立方寸 D [連接OA,OB,OD,設(shè)⊙O的半徑為R,則(R-1)2+52=R2,∴R=13.sin∠AOD==. ∴∠AOD≈22.5°,即∠AOB≈45°.故∠AOB≈.∴S弓形ACB=S扇形OACB-S△OAB=××169-×10×

9、;12≈6.33(平方寸),則V=633(立方寸),故選D.] 8.(20xx·石家莊一模)祖暅?zhǔn)悄媳背瘯r(shí)代的偉大數(shù)學(xué)家,5世紀(jì)末提出體積計(jì)算原理,即祖暅原理:“冪勢既同,則積不容異”.意思是:夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體,被平行于這兩個(gè)平面的任何一個(gè)平面所截,如果截面面積都相等,那么這兩個(gè)幾何體的體積一定相等.現(xiàn)有以下四個(gè)幾何體:圖4①是從圓柱中挖去一個(gè)圓錐所得的幾何體,圖4②、圖4③、圖4④分別是圓錐、圓臺(tái)和半球,則滿足祖暅原理的兩個(gè)幾何體為(  ) 圖4 A.①② B.①③ C.②④ D.①④ D [設(shè)截面與底面的距離為h,則①中截面內(nèi)圓的半徑為h,則截面圓環(huán)

10、的面積為π(R2-h(huán)2);②中截面圓的半徑為R-h(huán),則截面圓的面積為π(R-h(huán))2;③中截面圓的半徑為R-,則截面圓的面積為π2;④中截面圓的半徑為,則截面圓的面積為π(R2-h(huán)2).所以①④中截面的面積相等,故其體積相等,選D.] 9.(20xx·湖北七市聯(lián)考)秦九韶是我國南宋時(shí)期的數(shù)學(xué)家,他在所著的《數(shù)書九章》中提出的多項(xiàng)式求值的秦九韶算法,至今仍是比較先進(jìn)的算法.如圖5所示的程序框圖給出了利用秦九韶算法求某多項(xiàng)式值的一個(gè)實(shí)例,若輸入n,x的值分別為3,4,則輸出的v的值為(  ) 【導(dǎo)學(xué)號(hào):07804143】 圖5 A.6 B.25 C.100 D.400 C 

11、[輸入n=3,x=4,第一步:v=1,i=3-1=2;第二步:v=1×4+2=6,i=2-1=1;第三步:v=6×4+1=25,i=1-1=0;第四步:v=25×4=100,i=0-1=-1<0.程序結(jié)束,輸出的v=100,故選C.] 10.假設(shè)“嫦娥四號(hào)”衛(wèi)星將沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球后,在月球附近一點(diǎn)P變軌進(jìn)入月球球心F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道Ⅰ繞月飛行,之后衛(wèi)星在P點(diǎn)第二次變軌進(jìn)入仍以F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道Ⅱ繞月飛行.若用2c1和2c2分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的焦距,用2a1和2a2分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的長軸長,給出下列式子: 圖6 ①a1+c1=a2+

12、c2;②a1-c1=a2-c2;③<; ④c1a2>a1c2. 其中正確的式子的序號(hào)是(  ) A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ D [①由題圖知2a1>2a2,2c1>2c2;即a1>a2,c1>c2,∴a1+c1>a2+c2,∴①不正確. ②∵a1-c1=|PF|,a2-c2=|PF|,∴a1-c1=a2-c2,∴②正確. ③∵c1a2>a1c2,a1>0,a2>0, ∴>.即>,∴③不正確. ④∵a1>a2>0,c1>c2>0.∴a>a,c>c, 又∵a1-c1=a2-c2.即a1+c2=a2+c1,即a+c+2a1c2=a+c+2a2c1. ∴a-c+c-a+

13、2a1c2=2a2c1,即(a1-c1)(a1+c1)-(a2-c2)(a2+c2)+2a1c2=2a2c1,整理得(a1-c1)(a1-a2+c1-c2)+2a1c2=2a2c1,∵a1>c1,a1>a2,c1>c2, ∴2a1c2<2a2c1. 即c1a2>a1c2,∴④正確.故選D.] 11.(20xx·湖北黃岡3月模擬)關(guān)于圓周率π,數(shù)學(xué)發(fā)展史上出現(xiàn)過許多很有創(chuàng)意的求法,如著名的蒲豐試驗(yàn)和查理斯試驗(yàn).受其啟發(fā),我們也可以通過設(shè)計(jì)下面的試驗(yàn)來估計(jì)π的值:先請(qǐng)200名同學(xué),每人隨機(jī)寫下一個(gè)都小于1的正實(shí)數(shù)對(duì)(x,y),再統(tǒng)計(jì)兩數(shù)能與1構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對(duì)(x,y)的個(gè)數(shù)

14、m;最后再根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)m來估計(jì)π的值,假如統(tǒng)計(jì)結(jié)果是m=56,那么可以估計(jì)π≈________.(用分?jǐn)?shù)表示)  [由題意得,所以=,=π-,π=.] 12.(20xx·江西4月新課程教學(xué)質(zhì)量檢測)我國古代,9是數(shù)字之極,代表尊貴之意,所以中國古代皇家建筑中包含許多與9相關(guān)的設(shè)計(jì).例如,北京天壇圓丘的底面由扇環(huán)形的石板鋪成(如圖7),最高一層是一塊天心石,圍繞它的第一圈有9塊石板,從第二圈開始,每一圈比前一圈多9塊,共有9圈,則前9圈的石板總數(shù)是________. 圖7 405 [前9圈的石板數(shù)依次組成一個(gè)首項(xiàng)為9,公差為9的等差數(shù)列,S9=9×9+×9

15、=405.] 13.(20xx·衡水三模)公元前3世紀(jì),古希臘歐幾里得在《幾何原本》里提出:“球的體積(V)與它的直徑(D)的立方成正比”,此即V=kD3,歐幾里得未給出k的值.17世紀(jì)日本數(shù)學(xué)家們對(duì)求球的體積的方法還不了解,他們將體積公式V=kD3中的常數(shù)k稱為“立圓率”或“玉積率”.類似地,對(duì)于等邊圓柱(軸截面是正方形的圓柱)、正方體也可利用公式V=kD3求體積(在等邊圓柱中,D表示底面圓的直徑;在正方體中,D表示棱長).假設(shè)運(yùn)用次體積公式求得球(直徑為a)、等邊圓柱(底面積的直徑為a)、正方體(棱長為a)的“玉積率”分別為k1,k2,k3,那么k1∶k2∶k3=_______

16、_. ∶∶1 [由題意得,球的體積為V1=πR3=π=a3?k1=; 等邊圓柱的體積為V2=πR2a=πa=a3?k2=; 正方體的體積V3=a3?k3=1,所以k1∶k2∶k3=∶∶1.] 14.在我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法》(1261年)一書中,用如圖8(1)所示的三角形,解釋二項(xiàng)和的乘方規(guī)律.在歐洲直到1623年以后,法國數(shù)學(xué)家布萊士·帕斯卡的著作(1655年)介紹了這個(gè)三角形.近年來國外也逐漸承認(rèn)這項(xiàng)成果屬于中國,所以有些書上稱這是“中國三角形”(Chinese triangle),如圖8(1).17世紀(jì)德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨發(fā)現(xiàn)了“萊布尼茨三角形”如圖8(2).在楊輝三角中相鄰兩行滿足關(guān)系式:C+C=C,其中n是行數(shù),r∈N.請(qǐng)類比上式,在萊布尼茨三角形中相鄰兩行滿足的關(guān)系式是________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):07804144】 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 …… C C…C… CC 圖8(1)                     …  ……  圖8(2) =+ [類比觀察得,將萊布尼茨三角形的每一行都能提出倍數(shù),而相鄰兩項(xiàng)之和是上一行的兩者相拱之?dāng)?shù),所以類比式子C+C=C,有=+.]

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