2019屆高考數(shù)學全冊精準培優(yōu)專練（打包20套）理.zip

2019屆高考數(shù)學全冊精準培優(yōu)專練（打包20套）理.zip,2019,高考,數(shù)學,精準,培優(yōu)專練,打包,20 培優(yōu)點一 函數(shù)的圖象與性質 1.單調性的判斷 例１：（1）函數(shù)的單調遞增區(qū)間是（ ） A． B． C． D． （2）的單調遞增區(qū)間為________． 【答案】（1）D；（2）， 【解析】（1）因為，在定義域上是減函數(shù)，所以求原函數(shù)的單調遞增區(qū)間， 即求函數(shù)的單調遞減區(qū)間，結合函數(shù)的定義域，可知所求區(qū)間為． （2）由題意知，當時，；當時，，二次函數(shù)的圖象如圖． 由圖象可知，函數(shù)在，上是增函數(shù)． 2．利用單調性求最值 例2：函數(shù)的最小值為________． 【答案】1 【解析】易知函數(shù)在上為增函數(shù)，∴時，． 3．利用單調性比較大小、解抽象函數(shù)不等式 例3：（1）已知函數(shù)的圖象向左平移1個單位后關于軸對稱，當時，恒成立，設，，，則，，的大小關系為 （ ） A． B． C． D． （2）定義在R上的奇函數(shù)在上遞增，且，則滿足的的集合為________________． 【答案】（1）D；（2） 【解析】（1）根據(jù)已知可得函數(shù)的圖象關于直線對稱，且在上是減函數(shù)， 因為，且，所以． （2）由題意知，，由得或 解得或． ４．奇偶性 例４：已知偶函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，則滿足的的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因為是偶函數(shù)，所以其圖象關于軸對稱，又在上單調遞增， ，所以，所以． ５．軸對稱 例５：已知定義域為的函數(shù)在上只有1和3兩個零點，且與都是偶函數(shù)，則函數(shù)在上的零點個數(shù)為（ ） A．404 B．804 C．806 D．402 【答案】C 【解析】，為偶函數(shù)，，關于 ，軸對稱，為周期函數(shù)，且， 將劃分為 關于，軸對稱， ，， 在中只含有四個零點，而共201組 所以；在中，含有零點，共兩個， 所以一共有806個零點 ６．中心對稱 例６：函數(shù)的定義域為，若與都是奇函數(shù)，則（ ） A．是偶函數(shù) B．是奇函數(shù) C． D．是奇函數(shù) 【答案】D 【解析】從已知條件入手可先看的性質，由，為奇函數(shù)分別可得到：，，所以關于，中心對稱，雙對稱出周期可求得，所以C不正確，且由已知條件無法推出一定符合A，B． 對于D選項，因為，所以，進而可推出關于中心對稱， 所以為圖像向左平移3個單位，即關于對稱，所以為奇函數(shù)，D正確． ７．周期性的應用 例７：已知是定義在上的偶函數(shù)，是定義在上的奇函數(shù)，且， 則的值為（ ） A． B．1 C．0 D．無法計算 【答案】C 【解析】由題意，得，∵是定義在上的偶函數(shù)，是定義在上的奇函數(shù)， ∴，，∴， ∴，∴，∴的周期為4， ∴，， 又∵，∴． 對點增分集訓 一、選擇題 1．若函數(shù)的單調遞增區(qū)間是，則的值為（ ） A． B．2 C． D．6 【答案】C 【解析】由圖象易知函數(shù)的單調增區(qū)間是，令，∴． 2．已知函數(shù)在上是增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】要使在上是增函數(shù)，則且，即． 3．設函數(shù)，則是（ ） A．奇函數(shù)，且在內是增函數(shù) B．奇函數(shù)，且在內是減函數(shù) C．偶函數(shù)，且在內是增函數(shù) D．偶函數(shù)，且在內是減函數(shù) 【答案】A 【解析】易知的定義域為，且，則為奇函數(shù)， 又在上是增函數(shù)，所以在上是增函數(shù)． 4．已知函數(shù)的圖象關于對稱，且在上單調遞增，設，， ，則，，的大小關系為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵函數(shù)圖象關于對稱，∴，又在上單調遞增， ∴，即，故選B． 5．已知是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，且，，則等于（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【解析】由已知得，，則有解得，故選B． 6．函數(shù)的圖象可能為（ ） 【答案】D 【解析】因為，且，所以函數(shù)為奇函數(shù)，排除A，B．當時，，排除C，故選D． 7．奇函數(shù)的定義域為，若為偶函數(shù)，且，則的值為（ ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【解析】∵為偶函數(shù)，∴，則， 又為奇函數(shù)，則，且． 從而，的周期為4． ∴，故選A． 8．函數(shù)的圖象向右平移1個單位，所得圖象與曲線關于軸對稱，則的解析式為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】與的圖象關于軸對稱的函數(shù)為．依題意，的圖象向右平移一個單位， 得的圖象．∴的圖象由的圖象向左平移一個單位得到．∴． 9．使成立的的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在同一坐標系內作出，的圖象，知滿足條件的，故選A． 10．已知偶函數(shù)對于任意都有，且在區(qū)間上是單調遞增的， 則，，的大小關系是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得，∴函數(shù)的周期是2． ∵函數(shù)為偶函數(shù)，∴，． ∵在區(qū)間上是單調遞增的，∴，即． 11．對任意的實數(shù)都有，若的圖象關于對稱，且， 則（ ） A．0 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】的圖象關于對稱，則函數(shù)的圖象關于對稱， 即函數(shù)是偶函數(shù)，令，則， ∴，即，則， 即，則函數(shù)的周期是2，又， 則． 12．已知函數(shù)，，若存在，則實數(shù)的取值范圍為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由題可知，， 若，則，即，即， 解得．所以實數(shù)的取值范圍為，故選D． 二、填空題 13．設函數(shù)，，則函數(shù)的遞減區(qū)間是_______． 【答案】 【解析】由題意知，函數(shù)的圖象如圖所示的實線部分， 根據(jù)圖象， 的減區(qū)間是． 14．若函數(shù)是周期為4的奇函數(shù)，且在上的解析式為， 則________． 【答案】 【解析】由于函數(shù)是周期為4的奇函數(shù)，所以． 15．設函數(shù)，，對于任意的，不等式恒成立，則實數(shù)的取 值范圍是________． 【答案】 【解析】如圖作出函數(shù)與的圖象，觀察圖象可知：當且僅當，即時，不等式恒成立，因此的取值范圍是． 16．設定義在上的函數(shù)同時滿足以下條件：①；②；③當時，，則________． 【答案】 【解析】依題意知：函數(shù)f(x)為奇函數(shù)且周期為2， ∴ ． 三、解答題 17．已知函數(shù)，其中是大于0的常數(shù)． （1）求函數(shù)的定義域； （2）當時，求函數(shù)在上的最小值； （3）若對任意恒有，試確定的取值范圍． 【答案】（1）見解析；（2）；（3）． 【解析】（1）由，得， 當時，恒成立，定義域為， 當時，定義域為， 當時，定義域為． （2）設，當，時，∴． 因此在上是增函數(shù)，∴在上是增函數(shù)．則． （3）對任意，恒有．即對恒成立． ∴．令，． 由于在上是減函數(shù)，∴． 故時，恒有．因此實數(shù)的取值范圍為． 18．設是定義域為的周期函數(shù)，最小正周期為2，且，當時，． （1）判定的奇偶性； （2）試求出函數(shù)在區(qū)間上的表達式． 【答案】（1）是偶函數(shù)；（2）． 【解析】（1）∵，∴． 又，∴．又的定義域為，∴是偶函數(shù)． （2）當時，，則； 進而當時，，． 故． 10 培優(yōu)點七 解三角形 1．解三角形中的要素 例1：的內角，，所對的邊分別為，，，若，，，則_____． 【答案】 【解析】（1）由已知，，求可聯(lián)想到使用正弦定理：， 代入可解得：．由可得：，所以． 2．恒等式背景 例2：已知，，分別為三個內角，，的對邊， 且有． （1）求； （2）若，且的面積為，求，． 【答案】（1）；（2）2，2． 【解析】（1） ， 即 ∴或（舍），∴； （2）， ， ∴，可解得． 對點增分集訓 一、單選題 1．在中，，，，則（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由正弦定理可得， 且， 由余弦定理可得：．故選A． 2．在中，三邊長，，，則等于（ ） A．19 B． C．18 D． 【答案】B 【解析】∵三邊長，，， ∴， ．故選B． 3．在中，角，，所對應的邊分別是，，，若，則三角形一定是（ ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等邊三角形 【答案】C 【解析】∵，由正弦定理，，∴， ∵，，為的內角，∴，，， ∴，，整理得， ∴，即．故一定是等腰三角形．故選C． 4．的內角，，的對邊分別為，，，若，，，則的面積為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】已知，，， ∴由余弦定理，可得：， 解得：，，∴．故選A． 5．在中，內角，，的對邊分別為，，，若，，則（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根據(jù)正弦定理由得：， 所以，即， 則， 又，所以．故選A． 6．設的三個內角，，所對的邊分別為，，，如果，且，那么外接圓的半徑為（ ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】A 【解析】因為，所以，化為， 所以，又因為，所以， 由正弦定理可得，所以，故選A． 7．在中，角，，所對的邊分別為，，，且，若， 則的形狀是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【解析】因為，所以， 也就是，所以，從而， 故，為等邊三角形．故選C． 8．的內角，，的對邊分別是，，且滿足，則是（ ） A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【解析】利用正弦定理化簡已知的等式得： ，即， ∵，，為三角形的內角，∴，即， 則為直角三角形，故選B． 9．在中，內角，，所對的邊分別為，，，已知的面積為，，，則的值為（ ） A．8 B．16 C．32 D．64 【答案】A 【解析】因為，所以， 又，∴，解方程組得，， 由余弦定理得，所以．故選A． 10．在中，，，分別為角，，所對的邊．若， 則（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， ∵，可得：， ∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴．故答案為C． 11．在中，內角，，的對邊分別是，，，若，則是（ ） A．直角三角形 B．鈍角三角形 C．等腰直角三角形 D．等邊三角形 【答案】D 【解析】∵，由正弦定理得：，，代入， 得，∴進而可得， ∴，則是等邊三角形．故選D． 12．在中，角，，所對的邊分別為，，，已知，，， 則（ ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【解析】利用正弦定理，同角三角函數(shù)關系，原式可化為：， 去分母移項得：， 所以， 所以．由同角三角函數(shù)得， 由正弦定理，解得所以或（舍）．故選B． 二、填空題 13．在中，角，，的對邊分別為，，，，，則角的最大值為_____； 【答案】 【解析】在中，由角的余弦定理可知 ， 又因為，所以．當且僅當，時等號成立． 14．已知的三邊，，成等比數(shù)列，，，所對的角分別為，，，則的取值范圍是_________． 【答案】 【解析】∵的三邊，，成等比數(shù)列， ∴，得， 又∵，∴，， 可得，故答案為． 15．在中三個內角，，，所對的邊分別是，，，若，且，則面積的最大值是________ 【答案】 【解析】∵， ∴， 則，結合正弦定理得，即， 由余弦定理得，化簡得， 故，，故答案為． 16．在銳角中，角，，所對的邊分別為，，，且，，成等差數(shù)列，， 則面積的取值范圍是__________． 【答案】 【解析】∵中，，成等差數(shù)列，∴． 由正弦定理得，∴，， ∴ ， ∵為銳角三角形，∴，解得． ∴，∴， ∴，故面積的取值范圍是． 三、解答題 17．己知，，分別為三個內角，，的對邊，且． （1）求角的大小； （2）若，且的面積為，求的值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）由正弦定理得，， ∵，∴，即． ∵∴，∴，∴． （2）由可得．∴， ∵，∴由余弦定理得：， ∴． 18．如圖，在中，點在邊上，，，． ． （1）求的面積． （2）若，求的長． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）由題意， 在中，由余弦定理可得 即或（舍）， ∴的面積． （2）在中，由正弦定理得， 代入得，由為銳角，故， 所以， 在中，由正弦定理得， ∴，解得． 9 培優(yōu)點三 含導函數(shù)的抽象函數(shù)的構造 1．對于，可構造 例1：函數(shù)的定義域為，，對任意，，則的解集為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】構造函數(shù)，所以，由于對任意，， 所以恒成立，所以是上的增函數(shù)， 又由于，所以， 即的解集為．故選B． 2．對于，構造；對于，構造 例2：已知函數(shù)的圖象關于軸對稱，且當，成立，，，，則，，的大小關系是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因為函數(shù)關于軸對稱，所以函數(shù)為奇函數(shù)． 因為，所以當時，，函數(shù)單調遞減，當時，函數(shù)單調遞減． 因為，，，所以，所以．故選D． 3．對于，構造；對于或，構造 例3：已知為上的可導函數(shù)，且，均有，則有（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】構造函數(shù)，則， 因為均有并且，所以，故函數(shù)在上單調遞減， 所以，，即，， 也就是，． 4．與，構造 例4：已知函數(shù)對任意的滿足，則（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】提示：構造函數(shù)． 對點增分集訓 一、選擇題 1．若函數(shù)在上可導且滿足不等式恒成立，對任意正數(shù)、，若， 則必有（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知∴構造函數(shù)， 則，從而在上為增函數(shù)。 ∵，∴，即，故選C． 2．已知函數(shù)滿足，且，則的解集為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】構造新函數(shù)，則， ，對任意，有，即函數(shù)在上單調遞減， 所以的解集為，即的解集為，故選D． 3．已知函數(shù)的定義域為，為的導函數(shù)，且，則（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由題得，設，所以函數(shù)在上單調遞增， 因為，所以當時，；當時，． 當時，，，所以． 當時，，，所以． 當時，，所以． 綜上所述，故答案為C． 4．設函數(shù)是函數(shù)的導函數(shù)，已知，且，，則使得成立的的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】設，則，即函數(shù)在上單調遞減， 因為，即導函數(shù)關于直線對稱， 所以函數(shù)是中心對稱圖形，且對稱中心， 由于，即函數(shù)過點， 其關于點的對稱點也在函數(shù)上， 所以有，所以， 而不等式，即，即，所以， 故使得不等式成立的的取值范圍是．故選B． 5．已知函數(shù)的圖象關于點對稱，函數(shù)對于任意的滿足（其中是函數(shù)的導函數(shù)），則下列不等式成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知，為奇函數(shù)，函數(shù)對于任意的滿足， 得，即， 所以在上單調遞增；又因為為偶函數(shù)， 所以在上單調遞減．所以，即． 故選C． 6．定義在上的函數(shù)的導函數(shù)為，若對任意實數(shù)，有，且為奇函數(shù)，則不等式的解集為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】構造函數(shù)，則，所以在上單獨遞減， 因為為奇函數(shù)，所以，∴，． 因此不等式等價于，即，故選B． 7．已知函數(shù)是偶函數(shù)，且當時滿足，則（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】是偶函數(shù)，則的對稱軸為， 構造函數(shù)，則關于對稱， 當時，由，得， 則在上單調遞增，在上也單調遞增， 故，∴．本題選擇A選項． 8．已知定義域為的奇函數(shù)的導函數(shù)為，當時，， 若，，，則，，的大小關系正確的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】定義域為的奇函數(shù)， 設，∴為上的偶函數(shù)，∴， ∵當時，，∴當時，． 當時，，即在單調遞增，在單調遞減． ，，， ∵，∴．即，故選C． 9．已知定義在上的函數(shù)的導函數(shù)為，（為自然對數(shù)的底數(shù)）， 且當時，，則（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，∴， ∵，∴時，，則， ∴，在上單調遞減，∴， 即， ∵，∴， ∴，，故選C． 10．定義在上的函數(shù)的導函數(shù)為，若對任意，都有，則使得成立的的取值范圍為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】構造函數(shù)：，， ∵對任意，都有， ∴， ∴函數(shù)在單調遞減，由化為：， ∴．∴使得成立的的取值范圍為．故選D． 11．已知函數(shù)是定義在區(qū)間上的可導函數(shù)，滿足且（為函數(shù)的導函數(shù)），若且，則下列不等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】構造函數(shù)，，所以是上的減函數(shù)． 令，則，由已知，可得，下面證明，即證明， 令，則，即在上遞減，，即， 所以，若，，則．故選C． 12．定義在上的奇函數(shù)滿足，且當時，不等式恒成立，則函數(shù)的零點的個數(shù)為（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】定義在上的奇函數(shù)滿足： ，且， 又時，，即， ∴，函數(shù)在時是增函數(shù)， 又，∴是偶函數(shù)； ∴時，是減函數(shù)，結合函數(shù)的定義域為，且， 可得函數(shù)與的大致圖象如圖所示， ∴由圖象知，函數(shù)的零點的個數(shù)為3個．故選C． 二、填空題 13．設是上的可導函數(shù)，且，，．則的值為________． 【答案】 【解析】由得，所以，即， 設函數(shù)，則此時有，故，． 14．已知，為奇函數(shù)，，則不等式的解集為_________． 【答案】 【解析】∵為奇函數(shù)，∴，即， 令，，則， 故在遞增，，得， 故，故不等式的解集是，故答案為． 15．已知定義在實數(shù)集的函數(shù)滿足，且導函數(shù)，則不等式的解集為__________． 【答案】 【解析】設，則不等式等價為， 設，則， ∵的導函數(shù)，∴，函數(shù)單調遞減， ∵，∴，則此時，解得， 即的解為，所以，解得， 即不等式的解集為，故答案為． 16．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且．若時，， 則不等式的解集為__________． 【答案】 【解析】設，則，當時，由已知得，為增函數(shù)， 由為奇函數(shù)得，即， ∴當時，， 當時，，，又是奇函數(shù)， ∴當時，，時，． ∴不等式的解集為．故答案為． 10 培優(yōu)點九 線性規(guī)劃 1．簡單的線性規(guī)劃問題應注意取點是否取得到 例1：已知實數(shù)，滿足，則的最小值是（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【解析】不等式組對應的可行域如圖所示： 由當動直線過時，取最小值為6，故選C． 2．目標函數(shù)為二次式 例2：若變量，滿足，則的最大值為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】目標函數(shù)可視為點到原點距離的平方， 所以只需求出可行域里距離原點最遠的點即可，作出可行域， 觀察可得最遠的點為，所以． 3．目標函數(shù)為分式 例3：設變量，滿足約束條件，則的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】所求可視為點與定點連線的斜率． 從而在可行域中尋找斜率的取值范圍即可， 可得在處的斜率最小，即， 在處的斜率最大，為， 結合圖像可得的范圍為．故選D． 4．面積問題 例4：若不等式組所表示的平面區(qū)域被直線分成面積相等的兩部分，則的值為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在坐標系中作出可行域， 如圖所示為一個三角形，動直線為繞定點的一條動直線， 設直線交于，若將三角形分為面積相等的兩部分，則， 觀察可得兩個三角形高相等，所以，即為中點， 聯(lián)立直線方程可求得，，則，代入直線方程可解得． 對點增分集訓 一、單選題 1．若實數(shù)，滿足，則的最大值為（ ） A． B．1 C．0 D． 【答案】B 【解析】由圖可知，可行域為封閉的三角區(qū)域， 由在軸上的截距越小，目標函數(shù)值越大， 所以最優(yōu)解為，所以的最大值為1，故選B． 2．已知實數(shù)，滿足線性約束條件，則其表示的平面區(qū)域的面積為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】滿足約束條件，如圖所示： 可知范圍擴大，實際只有， 其平面區(qū)域表示陰影部分一個三角形，其面積為．故選B． 3．已知實數(shù)，滿足，若只在點處取得最大值，則的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由不等式組作可行域如圖， 聯(lián)立，解得,當時，目標函數(shù)化為， 由圖可知，可行解使取得最大值，符合題意； 當時，由，得，此直線斜率大于0， 當在軸上截距最大時最大， 可行解為使目標函數(shù)的最優(yōu)解，符合題意； 當時，由，得，此直線斜率為負值， 要使可行解為使目標函數(shù)取得最大值的唯一的最優(yōu)解， 則，即． 綜上，實數(shù)的取值范圍是．故選C． 4．已知實數(shù)，滿足約束條件，則的取值范圍為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】畫出不等式表示的可行域，如圖陰影三角形所示， 由題意得，． 由得， 所以可看作點和連線的斜率，記為， 由圖形可得， 又，，所以， 因此或，所以的取值范圍為．故選C． 5．若實數(shù)，滿足約束條件，則的最大值是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由實數(shù)，滿足約束條件作出可行域，如圖： ∵，，∴， 聯(lián)立，解得， 的幾何意義為可行域內動點與原點距離的平方，其最大值． 故選D． 6．已知點，若動點的坐標滿足，則的最小值為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】作出可行域如圖： 觀察圖象可知，最小距離為點到直線的距離， 即，故選C． 7．，滿足約束條件，若取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則實數(shù)的值為（ ） A．或 B．2或 C．2或1 D．2或 【答案】D 【解析】由題意作出約束條件，平面區(qū)域， 將化為，相當于直線的縱截距， 由題意可得，與或與平行， 故或；故選D． 8．若，滿足不等式組，則成立的概率為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所示： 因為表示點與定點連線的斜率， 所以成立的點只能在圖中的內部（含邊界）， 所以由幾何概型得：成立的概率為， 由，得，由，得， 由，得，由，解得， 由，解得，所以，， 所以成立的概率為，故選A． 9．若，滿足不等式組，則的最小值為（ ） A．7 B．6 C． D．4 【答案】C 【解析】畫出可行城如圖所示， 目標函數(shù)可化為，共圖象是對稱軸為的兩條射線， 由得取得最小值時的最優(yōu)解為． 即．故選C． 10．已知平面直角坐標系上的區(qū)域由不等式組給定．若為上動點，點的坐標為．則的最大值為（ ） A． B． C．4 D．3 【答案】C 【解析】如圖所示：，即， 首先做出直線：，將平行移動， 當經過點時在軸上的截距最大，從而最大． 因為，故的最大值為4．故選C． 11．若不等式組所表示的平面區(qū)域內存在點，使成立，則實數(shù)的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】作出不等式，可行域如圖： ∵平面區(qū)域內存在點，滿足， ∴直線與可行域有交點，解方程組得． ∴點在直線下方．可得．解得．故選B． 12．已知圓，平面區(qū)域，若圓心，且圓與軸相切， 則圓心與點連線斜率的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】畫出可行域如圖， 由圓的標準方程可得圓心，半徑為1， 因為圓與軸相切，所以， 直線分別與直線與交于點，， 所以，圓心與點連線斜率為， 當時，；當時； 所以圓心與點連線斜率的取值范圍是，故選A． 二、填空題 13．設，滿足，則的最大值為____________． 【答案】13 【解析】如圖，作出可行域（圖中陰影部分）， 目標函數(shù)在點取得最大值13．故答案為13． 14．若變量，滿足約束條件，則的最小值為_________． 【答案】1 【解析】作可行域，，表示可行域內點到坐標原點距離的平方， 由圖可得最小值為． 15．已知實數(shù)，滿足，則的最小值為______． 【答案】4 【解析】由實數(shù)，滿足，作出可行域如圖， 聯(lián)立，解得，， 其幾何意義為可行域內的動點與定點連線的斜率加2． ∵，∴的最小值為4．故答案為4． 16．某公司計劃明年用不超過6千萬元的資金投資于本地養(yǎng)魚場和遠洋捕撈隊．經過對本地養(yǎng)魚場年利潤率的調研，其結果是：年利潤虧損的概率為，年利潤獲利的概率為，年利潤獲利的概率為，對遠洋捕撈隊的調研結果是：年利潤獲利為的概率為，持平的概率為，年利潤虧損的可能性為．為確保本地的鮮魚供應，市政府要求該公司對遠洋捕撈隊的投資不得高于本地養(yǎng)魚場的投資的2倍．根據(jù)調研數(shù)據(jù)，該公司如何分配投資金額，明年兩個項目的利潤之和最大值為_________千萬． 【答案】 【解析】設本地養(yǎng)魚場平均年利潤，遠洋捕撈隊平均平均年利潤； ，； 設本地養(yǎng)魚場投千萬元，遠洋捕撈隊投千萬元， 則利潤之和，， 如圖，當目標函數(shù)經過點時利潤最大，千萬元． 16 培優(yōu)點二 函數(shù)零點 1．零點的判斷與證明 例1：已知定義在上的函數(shù)， 求證：存在唯一的零點，且零點屬于． 【答案】見解析 【解析】，，，在單調遞增， ，，，，使得 因為單調，所以的零點唯一． 2．零點的個數(shù)問題 例2：已知函數(shù)滿足，當，，若在區(qū)間內， 函數(shù)有三個不同零點，則實數(shù)的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，當時，， 所以，而有三個不同零點與有三個不同交點，如圖所示，可得直線應在圖中兩條虛線之間，所以可解得： 3．零點的性質 例3：已知定義在上的函數(shù)滿足：，且，，則方程在區(qū)間上的所有實根之和為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】先做圖觀察實根的特點，在中，通過作圖可發(fā)現(xiàn)在關于中心對稱， 由可得是周期為2的周期函數(shù)，則在下一個周期中，關于中心對稱，以此類推。 從而做出的圖像（此處要注意區(qū)間端點值在何處取到），再看圖像，，可視為將的圖像向左平移2個單位后再向上平移2個單位， 所以對稱中心移至，剛好與對稱中心重合，如圖所示：可得共有3個交點， 其中，與關于中心對稱，所以有。所以．故選C． 4．復合函數(shù)的零點 例4：已知函數(shù)，若方程恰有七個不相同的實根，則實數(shù)的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】考慮通過圖像變換作出的圖像（如圖），因為最多只能解出2個，若要出七個根，則，，所以，解得：． 對點增分集訓 一、選擇題 1．設，則函數(shù)的零點所在的區(qū)間為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵，，∴， ∵函數(shù)的圖象是連續(xù)的，且為增函數(shù)， ∴的零點所在的區(qū)間是．故選B． 2．已知是函數(shù)的零點，若，則的值滿足（ ） A． B． C． D．的符號不確定 【答案】C 【解析】在上是增函數(shù)，若，則． 3．函數(shù)的一個零點在區(qū)間內，則實數(shù)的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因為在上是增函數(shù)，則由題意得，解得， 故選C． 4．若，則函數(shù)的兩個零點分別位于區(qū)間（ ） A．和內 B．和內 C．和內 D．和內 【答案】A 【解析】∵，∴，，， 由函數(shù)零點存在性定理可知，在區(qū)間，內分別存在零點，又函數(shù)是二次函數(shù)， 最多有兩個零點．因此函數(shù)的兩個零點分別位于區(qū)間，內，故選A． 5．設函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當時，，則的零點個數(shù)為（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】因為函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，所以，即0是函數(shù)的一個零點，當時，令，則，分別畫出函數(shù)和的圖象， 如圖所示，兩函數(shù)圖象有一個交點，所以函數(shù)有一個零點， 根據(jù)對稱性知，當時函數(shù)也有一個零點． 綜上所述，的零點個數(shù)為3．故選C． 6．函數(shù)的零點個數(shù)為（ ） A．3 B．2 C．7 D．0 【答案】B 【解析】方法一：由得或，解得或， 因此函數(shù)共有2個零點． 方法二：函數(shù)的圖象如圖所示，由圖象知函數(shù)共有2個零點． 7．已知函數(shù)，則使方程有解的實數(shù)的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】當時，，即，解得；當時，，即， 解得，即實數(shù)的取值范圍是．故選D． 8．若函數(shù)在區(qū)間內存在一個零點，則的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】當時，與軸無交點，不合題意，所以；函數(shù)在區(qū)間內是單調函數(shù)，所以，即，解得或．故選B． 9．已知函數(shù)，則使函數(shù)有零點的實數(shù)的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函數(shù)的零點就是方程的根，畫出的大致圖象（圖略）．觀察它與直線的交點，得知當或時，有交點，即函數(shù)有零點．故選D． 10．已知是奇函數(shù)且是上的單調函數(shù)，若函數(shù)只有一個零點，則實數(shù) 的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，則，因為是上的單調函數(shù)，所以，只有一個實根，即只有一個實根，則，解得． 11．已知當時，函數(shù)的圖象與的圖象有且只有一個交點，則正實數(shù)的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在同一直角坐標系中，分別作出函數(shù)與的大致圖象．分兩種情形： （1）當時，，如圖①，當時，與的圖象有一個交點，符合題意． （2）當時，，如圖②，要使與的圖象在上只有一個交點， 只需，即，解得或（舍去）． 綜上所述，．故選B． 12．已知函數(shù)和在的圖像如下，給出下列四個命題： （1）方程有且只有6個根 （2）方程有且只有3個根 （3）方程有且只有5個根 （4）方程有且只有4個根 則正確命題的個數(shù)是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】每個方程都可通過圖像先拆掉第一層，找到內層函數(shù)能取得的值，從而統(tǒng)計出的總數(shù)． （1）中可得，，，進而有2個對應的，有2個，有2個，總計6個，（1）正確； （2）中可得，，進而有1個對應的，有3個，總計4個， （2）錯誤； （3）中可得，，，進而有1個對應的，有3個，有1個，總計5個，（3）正確； （4）中可得：，，進而有2個對應的，有2個，共計4個，（4）正確 則綜上所述，正確的命題共有3個． 二、填空題 13．函數(shù)的零點個數(shù)為________． 【答案】2 【解析】由，得，作出函數(shù)和的圖象， 由上圖知兩函數(shù)圖象有2個交點，故函數(shù)有2個零點． 14．設函數(shù)與的圖象的交點為，若，，則所在的區(qū)間是______． 【答案】 【解析】令，則，易知為增函數(shù)，且，，∴所在的區(qū)間是． 15．函數(shù)的零點個數(shù)是________． 【答案】2 【解析】當時，令，解得（正根舍去），所以在上有一個零點； 當時，恒成立，所以在上是增函數(shù)．又因為，，所以在上有一個零點，綜上，函數(shù)的零點個數(shù)為2． 16．已知函數(shù)，，若方程恰有4個互異的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是________________． 【答案】 【解析】設，， 在同一直角坐標系中作出，的圖象如圖所示． 由圖可知有4個互異的實數(shù)根等價于與的圖象有4個不同的交點且4個交點的橫坐標都小于1，所以有兩組不同解， 消去得有兩個不等實根， 所以，即， 解得或．又由圖象得，∴或． 三、解答題 17．關于的二次方程在區(qū)間上有解，求實數(shù)的取值范圍． 【答案】 【解析】顯然不是方程的解， 時，方程可變形為， 又∵在上單調遞減，在上單調遞增， ∴在上的取值范圍是，∴，∴， 故的取值范圍是． 18．設函數(shù)． （1）作出函數(shù)的圖象； （2）當且時，求的值； （3）若方程有兩個不相等的正根，求的取值范圍． 【答案】（1）見解析；（2）2；（3）． 【解析】（1）如圖所示． （2）∵ 故在上是減函數(shù)，而在上是增函數(shù)． 由且，得且，∴． （3）由函數(shù)的圖象可知，當時，方程有兩個不相等的正根． 10 培優(yōu)點二十 幾何概型 1.長度類幾何概型 例1：已知函數(shù)，，在定義域內任取一點，使的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】先解出時的取值范圍：， 從而在數(shù)軸上區(qū)間長度占區(qū)間長度的比例即為事件發(fā)生的概率，∴，故選C． 2．面積類幾何概型 （1）圖形類幾何概型 例2-1：如圖所示，在矩形中，，，圖中陰影部分是以為直徑的半圓，現(xiàn)在向矩形內隨機撒4000粒豆子（豆子的大小忽略不計），根據(jù)你所學的概率統(tǒng)計知識，下列四個選項中最有可能落在陰影部分內的豆子數(shù)目是（ ） A．1000 B．2000 C．3000 D．4000 【答案】C 【解析】在矩形中，，，面積為，半圓的面積為， 故由幾何概型可知，半圓所占比例為，隨機撒4000粒豆子， 落在陰影部分內的豆子數(shù)目大約為3000，故選C． （2）線性規(guī)劃類幾何概型 例2-2：甲乙兩艘輪船都要在某個泊位?？?小時，假定他們在一晝夜的時間段中隨機地到達，試求這兩艘船中至少有一艘在停泊位時必須等待的概率（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】設甲船到達的時間為，乙船到達的時間為， 則所有基本事件構成的區(qū)域Ω滿足， 這兩艘船中至少有一艘在停泊位時必須等待包含的基本事件構成的區(qū)域滿足，作出對應的平面區(qū)域如圖所示： 這兩艘船中至少有一艘在停泊位時必須等待的概率為，故選D． （3）利用積分求面積 例2-3：如圖，圓內的正弦曲線與軸圍成的區(qū)域記為（圖中陰影部分），隨機往圓內投一個點，則點落在區(qū)域內的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】構成試驗的全部區(qū)域為圓內的區(qū)域，面積為， 正弦曲線與軸圍成的區(qū)域記為， 根據(jù)圖形的對稱性得：面積為， 由幾何概率的計算公式可得，隨機往圓內投一個點， 則點落在區(qū)域內的概率，故選B． 3．體積類幾何概型 例3：一個多面體的直觀圖和三視圖所示，是的中點，一只蝴蝶在幾何體內自由飛翔，由它飛入幾何體內的概率為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】所求概率為棱錐的體積與棱柱體積的比值． 由三視圖可得，且，，兩兩垂直， 可得， 棱錐體積，而， ∴．從而．故選D． 對點增分集訓 一、單選題 1．如圖，邊長為2的正方形中有一陰影區(qū)域，在正方形中隨機撒一粒豆子，它落在陰影區(qū)域內的概率為．則陰影區(qū)域的面積約為（ ） A． B． C． D．無法計算 【答案】C 【解析】設陰影區(qū)域的面積為，，∴．故選C． 2．某景區(qū)在開放時間內，每個整點時會有一趟觀光車從景區(qū)入口發(fā)車，某人上午到達景區(qū)入口，準備乘坐觀光車，則他等待時間不多于10分鐘的概率為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由題意，此人在50分到整點之間的10分鐘內到達，等待時間不多于10分鐘， ∴概率．故選B． 3．一只螞蟻在邊長為4的正三角形區(qū)域內隨機爬行，則它在離三個頂點距離都大于2的區(qū)域內的概率為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】滿足條件的正三角形如圖所示： 其中正三角形的面積 滿足到正三角形的頂點，，的距離都小于2的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示， 則，則使取到的點到三個頂點，，的距離都大于2的概率為： ．故選A． 4．在區(qū)間上隨機取兩個數(shù)，，記為事件的概率，則（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如圖所示，，表示的平面區(qū)域為， 平面區(qū)域內滿足的部分為陰影部分的區(qū)域，其中，， 結合幾何概型計算公式可得滿足題意的概率值為，故選D． 5．在區(qū)間上隨機取一個數(shù)，的值介于0到之間的概率為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得，或，∴或， 記的值介于0到之間， 則構成事件的區(qū)域長度為；全部結果的區(qū)域長度為2； ∴，故選A． 6．點在邊長為1的正方形內運動，則動點到定點的距離的概率為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】滿足條件的正方形，如圖所示： 其中滿足動點到定點的距離的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示， 則正方形的面積，陰影部分的面積． 故動點到定點的距離的概率．故選C． 7．如圖所示，在橢圓內任取一個點，則恰好取自橢圓的兩個端點連線與橢圓圍成陰影部分的概率為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】先求橢圓面積的，由知， ∴， 而表示與，圍成的面積，即圓面積的， ∴，∴，∴， ∴概率，故選A． 8．如圖，若在矩形中隨機撒一粒豆子，則豆子落在圖中陰影部分的概率為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，又，∴， ∴豆子落在圖中陰影部分的概率為．故選A． 9．把不超過實數(shù)的最大整數(shù)記為，則函數(shù)稱作取整函數(shù)，又叫高斯函數(shù)，在上任取，則的概率為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】當時，則，滿足； 當時，，，則，滿足； 當時，，，則不滿足； 當時，，，則，不滿足． 綜上，滿足的，則的概率為， 故選D． 10．關于圓周率，數(shù)學發(fā)展史上出現(xiàn)過許多有創(chuàng)意的求法，如著名的普豐實驗和查理斯實驗．受其啟發(fā)，我們也可以通過設計下面的實驗來估計的值：先請120名同學每人隨機寫下一個，都小于1的正實數(shù)對，再統(tǒng)計其中x，y能與1構成鈍角三角形三邊的數(shù)對的個數(shù)，最后根據(jù)統(tǒng)計個數(shù)估計的值．如果統(tǒng)計結果是，那么可以估計的值為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 由題意，120對都小于1的正實數(shù)，滿足，面積為1， 兩個數(shù)能與1構成鈍角三角形的三邊的數(shù)對， 滿足且，面積為， ∵統(tǒng)計兩數(shù)能與1構成鈍角三角形三邊的數(shù)對的個數(shù)為， 則，∴，故選B． 11．為了節(jié)省材料，某市下水道井蓋的形狀如圖1所示，其外圍是由以正三角形的頂點為圓心，正三角形的邊長為半徑的三段圓弧組成的曲邊三角形，這個曲邊三角形稱作“菜洛三角形”．現(xiàn)有一顆質量均勻的彈珠落在如圖2所示的萊洛三角形內，則彈珠恰好落在三角形內的概率為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】彈珠落在萊洛三角形內的每一個位置是等可能的， 由幾何概型的概率計算公式可知所求概率： (為萊洛三角形的面積），故選A． 12．下圖來自古希臘數(shù)學家希波克拉底所研究的幾何圖形．此圖由三個半圓構成，三個半圓的直徑分別為直角三角形的斜邊，直角邊，．的三邊所圍成的區(qū)域記為I，黑色部分記為II，其余部分記為III．在整個圖形中隨機取一點，此點取自I，II，III的概率分別記為，，，則（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】設，，，則有， 從而可以求得的面積為， 黑色部分的面積為 ， 其余部分的面積為，∴有， 根據(jù)面積型幾何概型的概率公式，可以得到，故選A． 二、填空題 13．在區(qū)間內任取一個實數(shù)，則使函數(shù)在上為減函數(shù)的概率是___________． 【答案】 【解析】∵函數(shù)在上為減函數(shù)， ∴，，因此所求概率為． 14．記集合，集合表示的平面區(qū)域分別為，．若在區(qū)域內任取一點，則點落在區(qū)域中的概率為__________． 【答案】 【解析】畫出表示的區(qū)域，即圖中以原點為圓心，半徑為2的圓； 集合表示的區(qū)域，即圖中的陰影部分． 由題意可得，， 根據(jù)幾何概型概率公式可得所求概率為． 15．如圖，曲線把邊長為4的正方形分成黑色部分和白色部分．在正方形內隨機取一點，則此點取自黑色部分的概率是__________． 【答案】 【解析】由題意可知，陰影部分的面積， 正方形的面積：， 由幾何概型計算公式可知此點取自黑色部分的概率：． 16．父親節(jié)小明給爸爸從網上購買了一雙運動鞋，就在父親節(jié)的當天，快遞公司給小明打電話話說鞋子已經到達快遞公司了，馬上可以送到小明家，到達時間為晚上6點到7點之間，小明的爸爸晚上5點下班之后需要坐公共汽車回家，到家的時間在晚上5點半到6點半之間．求小明的爸爸到家之后就能收到鞋子的概率（快遞員把鞋子送到小明家的時候，會把鞋子放在小明家門口的“豐巢”中）為__________． 【答案】 【解析】設爸爸到家時間為，快遞員到達時間為， 以橫坐標表示爸爸到家時間，以縱坐標表示快遞送達時間，建立平面直角坐標系， 爸爸到家之后就能收到鞋子的事件構成區(qū)域如下圖： 根據(jù)題意，所有基本事件構成的平面區(qū)域為，面積， 爸爸到家之后就能收到鞋子的事件，構成的平面區(qū)域為， 直線與直線和交點坐標分別為和， ， 由幾何概型概率公式可得，爸爸到家之后就能收到鞋子的概率：． 故答案為． 11