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第九節(jié) 函數(shù)模型及其應(yīng)用
高頻考點(diǎn)
考點(diǎn)一 一次函數(shù)、二次函數(shù)模型
1．以二次函數(shù)為模型的應(yīng)用題常出現(xiàn)在高考試題中，既有選擇題、填空題，也有解答題，難度適中，屬中檔題．
2．高考對(duì)一次函數(shù)、二次函數(shù)模型的考查主要有以下兩個(gè)命題角度：
(1)單一考查一次函數(shù)或二次函數(shù)模型的建立及最值問(wèn)題；
(2)以分段函數(shù)的形式考查一次函數(shù)和二次函數(shù)．
[例1] (1)(2013陜西高考)在如圖所示的銳角三角形空地中， 欲建一個(gè)面積最大的內(nèi)接矩形花園(陰影部分), 則其邊長(zhǎng)x為_(kāi)_______m.
(2)(2011湖北高考
2、)提高過(guò)江大橋的車(chē)輛通行能力可改善整個(gè)城市的交通狀況．在一般情況下，大橋上的車(chē)流速度v(單位：千米/時(shí))是車(chē)流密度x(單位：輛/千米)的函數(shù)．當(dāng)橋上的車(chē)流密度達(dá)到200輛/千米時(shí)，造成堵塞，此時(shí)車(chē)流速度為0；當(dāng)車(chē)流密度不超過(guò)20輛/千米時(shí)，車(chē)流速度為60千米/時(shí)．研究表明：當(dāng)20≤x≤200時(shí)，車(chē)流速度v是車(chē)流密度x的一次函數(shù)．
①當(dāng)0≤x≤200時(shí)，求函數(shù)v(x)的表達(dá)式；[來(lái)源:]
②當(dāng)車(chē)流密度x為多大時(shí)，車(chē)流量(單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)橋上某觀測(cè)點(diǎn)的車(chē)輛數(shù)，單位：輛/時(shí))f(x)＝xv(x)可以達(dá)到最大，并求出最大值．(精確到1輛/時(shí))
[自主解答] (1)設(shè)內(nèi)接矩形另一邊長(zhǎng)為y，則由相似三
3、角形性質(zhì)可得＝，解得y＝40－x，所以面積S＝x(40－x)＝－x2＋40x＝－(x－20)2＋400(0
4、間[20,200]上取得最大值.
綜上，當(dāng)x＝100時(shí)，f(x)在區(qū)間[0,200]上取得最大值≈3 333，[來(lái)源:]
即當(dāng)車(chē)流密度為100輛/千米時(shí)，車(chē)流量可以達(dá)到最大，最大值約為3 333輛/時(shí)．
[答案] (1)20
一次函數(shù)、二次函數(shù)模型問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型及解題策略
(1)直接考查一次函數(shù)、二次函數(shù)模型．解決此類(lèi)問(wèn)題應(yīng)注意三點(diǎn)：①二次函數(shù)的最值一般利用配方法與函數(shù)的單調(diào)性解決，但一定要密切注意函數(shù)的定義域，否則極易出錯(cuò)；②確定一次函數(shù)模型時(shí)，一般是借助兩個(gè)點(diǎn)來(lái)確定，常用待定系數(shù)法；③解決函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，最后要還原到實(shí)際問(wèn)題．
(2)以分段函數(shù)的形式考查．解決此類(lèi)問(wèn)題應(yīng)關(guān)注
5、以下三點(diǎn)：①實(shí)際問(wèn)題中有些變量間的關(guān)系不能用同一個(gè)關(guān)系式給出，而是由幾個(gè)不同的關(guān)系式構(gòu)成，如出租車(chē)票價(jià)與路程之間的關(guān)系，應(yīng)構(gòu)建分段函數(shù)模型求解；②構(gòu)造分段函數(shù)時(shí)，要力求準(zhǔn)確、簡(jiǎn)潔，做到分段合理、不重不漏；③分段函數(shù)的最值是各段的最大(或最小)者的最大者(最小者)．
1．(2013上海高考)甲廠以x千克/小時(shí)的速度勻速生產(chǎn)某種產(chǎn)品(生產(chǎn)條件要求1≤x≤10)，每一小時(shí)可獲得的利潤(rùn)是100元．
(1)求證：生產(chǎn)a千克該產(chǎn)品所獲得的利潤(rùn)為100a元；
(2)要使生產(chǎn)900千克該產(chǎn)品獲得的利潤(rùn)最大，問(wèn)：甲廠應(yīng)該選取何種生產(chǎn)速度？并求此最大利潤(rùn)．
解：(1)生產(chǎn)a千克該產(chǎn)品所用的時(shí)間是 小時(shí)
6、，
∵每一小時(shí)可獲得的利潤(rùn)是100 元，[來(lái)源:]
∴獲得的利潤(rùn)為100 元．
因此生產(chǎn)a千克該產(chǎn)品所獲得的利潤(rùn)為100 a元．
(2)生產(chǎn)900千克該產(chǎn)品獲得的利潤(rùn)為90 000元，1≤x≤10.
設(shè)f(x)＝－＋＋5,1≤x≤10.
則f(x)＝－32＋＋5，當(dāng)且僅當(dāng)x＝6取得最大值．
故獲得最大利潤(rùn)為90 000＝457 500元．[來(lái)源:]
因此甲廠應(yīng)以6千克/小時(shí)的速度生產(chǎn)，可獲得最大利潤(rùn)457 500元．
2．據(jù)氣象中心觀察和預(yù)測(cè)：發(fā)生于M地的沙塵暴一直向正南方向移動(dòng)，其移動(dòng)速度v(km/h)與時(shí)間t(h)的函數(shù)圖象如圖所示，過(guò)線(xiàn)段OC上一點(diǎn)T(t,0)作橫軸
7、的垂線(xiàn)l，梯形OABC在直線(xiàn)l左側(cè)部分的面積即為t(h)內(nèi)沙塵暴所經(jīng)過(guò)的路程s(km)．
(1)當(dāng)t＝4時(shí)，求s的值；
(2)將s隨t變化的規(guī)律用數(shù)學(xué)關(guān)系式表示出來(lái)；
(3)若N城位于M地正南方向，且距M地650 km，試判斷
這場(chǎng)沙塵暴是否會(huì)侵襲到N城，如果會(huì)，在沙塵暴發(fā)生后多長(zhǎng)時(shí)間它將侵襲到N城？如果不會(huì)，請(qǐng)說(shuō)明理由．
解：(1)由圖象可知：
當(dāng)t＝4時(shí)，v＝34＝12，
∴s＝412＝24.
(2)當(dāng)0≤t≤10時(shí)，s＝t3t＝t2；
當(dāng)10
8、t－20)2(t－20)＝－t2＋70t－550.
綜上，可知s＝
(3)沙塵暴會(huì)侵襲到N城．
∵t∈[0,10]時(shí)，smax＝102＝150<650，
t∈(10,20]時(shí)，smax＝3020－150＝450<650，
∴當(dāng)t∈(20,35]時(shí)，令－t2＋70t－550＝650.
解得t1＝30，t2＝40.
∵20
9、萬(wàn)元．該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用C(單位：萬(wàn)元)與隔熱層厚度x(單位：cm)滿(mǎn)足關(guān)系C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔熱層，每年能源消耗費(fèi)用為8萬(wàn)元，設(shè)f(x)為隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和．
(1)求k的值及f(x)的表達(dá)式；
(2)隔熱層修建多厚時(shí)，總費(fèi)用f(x)達(dá)到最小，并求最小值．
[自主解答] (1)由已知條件得C(0)＝8，則k＝40，
因此f(x)＝6x＋20C(x)＝6x＋(0≤x≤10)．
(2)f(x)＝6x＋10＋－10
≥2 －10
＝70(萬(wàn)元)，
當(dāng)且僅當(dāng)6x＋10＝，
即x＝5時(shí)等號(hào)成立．
所以當(dāng)隔熱層厚度為5 cm時(shí)，總
10、費(fèi)用f(x)達(dá)到最小值，最小值為70萬(wàn)元．
【方法規(guī)律】
把實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化、建立數(shù)學(xué)模型一定要過(guò)好的三關(guān)
(1)事理關(guān)：通過(guò)閱讀、理解，明確問(wèn)題講的是什么，熟悉實(shí)際背景，為解題找出突破口；
(2)文理關(guān)：將實(shí)際問(wèn)題的文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言，用數(shù)學(xué)式子表達(dá)數(shù)學(xué)關(guān)系；
(3)數(shù)理關(guān)：在構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的過(guò)程中，對(duì)已知數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行檢索，從而認(rèn)定或構(gòu)建相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型．
(2014杭州模擬)某村計(jì)劃建造一個(gè)室內(nèi)面積為800 m2的矩形蔬菜溫室，在溫室內(nèi)，沿左、右兩側(cè)與后側(cè)內(nèi)墻各保留1 m寬的通道，沿前側(cè)內(nèi)墻保留3 m寬的空地，當(dāng)矩形溫室的邊長(zhǎng)各為多少時(shí)，蔬菜的種植面積最大？最大面積是
11、多少？[來(lái)源:]
解：設(shè)溫室的左側(cè)邊長(zhǎng)為x m，
則后側(cè)邊長(zhǎng)為 m.
∴蔬菜種植面積
y＝(x－4)＝808－2(40)．
(1)如果m＝2，求經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間，物體的溫度為5攝氏度；
12、
(2)若物體的溫度總不低于2攝氏度，求m的取值范圍．
[自主解答] (1)若m＝2，
則θ＝22t＋21－t＝2，
當(dāng)θ＝5時(shí)，2t＋＝，
令2t＝x(x≥1)，則x＋＝，
即2x2－5x＋2＝0，
解得x＝2或x＝(舍去)，此時(shí)t＝1.
所以經(jīng)過(guò)1分鐘，物體的溫度為5攝氏度．
(2)物體的溫度總不低于2攝氏度，
即θ≥2恒成立，
亦m2t＋≥2恒成立．
亦即m≥2恒成立．
令＝y(tǒng)，則0
13、)指數(shù)函數(shù)模型，常與增長(zhǎng)率相結(jié)合進(jìn)行考查，在實(shí)際問(wèn)題中有人口增長(zhǎng)、銀行利率、細(xì)胞分裂等增長(zhǎng)問(wèn)題可以利用指數(shù)函數(shù)模型來(lái)解決；
(2)應(yīng)用指數(shù)函數(shù)模型時(shí)，關(guān)鍵是對(duì)模型的判斷，先設(shè)定模型，再將已知有關(guān)數(shù)據(jù)代入驗(yàn)證，確定參數(shù)，從而確定函數(shù)模型；
(3)y＝a(1＋x)n通常利用指數(shù)運(yùn)算與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解．
一個(gè)人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小時(shí)25%的速度減少，為了保障交通安全，某地根據(jù)《道路交通安全法》規(guī)定：駕駛員血液中的酒精含量不得超過(guò)0.09 mg/mL，那么，此人至少經(jīng)過(guò)________小時(shí)才能開(kāi)車(chē)．(精確到1小
14、時(shí))
解析：設(shè)經(jīng)過(guò)x小時(shí)才能開(kāi)車(chē)．
由題意得0.3(1－25%)x≤0.09，
∴0.75x≤0.3，x≥log0.750.3≈5.
答案：5
—————————————[課堂歸納——通法領(lǐng)悟]————————————————
1個(gè)防范——實(shí)際問(wèn)題的定義域
要特別關(guān)注實(shí)際問(wèn)題的自變量的取值范圍，合理確定函數(shù)的定義域．
1個(gè)步驟——解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的一般步驟
(1)審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學(xué)模型；
(2)建模：將自然語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；
(3)求模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論；
(4)還原：將數(shù)學(xué)問(wèn)題還原為實(shí)際問(wèn)題的意義．
以上過(guò)程用框圖表示如下：
答
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