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第三節(jié) 空間點、線、面之間的位置關(guān)系
[全盤鞏固]
1.若空間三條直線a,b,c滿足a⊥b,b⊥c,則直線a與c( )
A.一定平行 B.一定相交
C.一定是異面直線 D.平行、相交或異面都有可能
解析:選D 當a,b,c共面時,a∥c;當a,b,c不共面時,a與c可能異面也可能相交.[來源:]
2.以下四個命題中,
①不共面的四點中,其中任意三點不共線;
②若點A、B、C、D共面,點A、B、C、E共面,則A、B、C、D、E共面;
2、③若直線a、b共面,直線a、c共面,則直線b、c共面;
④依次首尾相接的四條線段必共面.
其中正確命題的個數(shù)是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
解析:選B?、僦校僭O(shè)存在三點共線,則這四點必共面,與題設(shè)矛盾,故①正確;
②中,若A、B、C三點共線,則A、B、C、D、E有可能不共面,故②錯誤;
③中,如圖所示正方體的棱中,a、b共面,a、c共面,而b、c異面,故③錯誤;
④中,空間四邊形的四條線段不共面,故④錯誤,故選B.
3.l1,l2,l3是空間三條不同的直線,則下列命題正確的是( )
A.l1⊥l2,l2⊥l3?l1⊥
3、l3
B.l1⊥l2,l2∥l3?l1⊥l3
C.l1∥l2∥l3?l1,l2,l3共面
D.l1,l2,l3共點?l1,l2,l3共面
解析:選B A選項,l1⊥l2,l2⊥l3,則l1與l3的位置關(guān)系可能是相交、平行或異面;B選項正確;C選項,l1∥l2∥l3,則l1、l2、l3既可能共面,也可能異面;D選項,如長方體共頂點的三條棱為l1、l2、l3,但這三條直線不共面.
4.在平行六面體ABCDA1B1C1D1中,既與AB共面又與CC1共面的棱的條數(shù)為( )
A.3 B.4
C.5 D.6
解析:選
4、C 由條件知,與AB和CC1都相交的棱有BC;與AB相交且與CC1平行的棱有AA1,BB1;與AB平行且與CC1相交的棱有CD,C1D1,故符合條件的棱共有5條.
5.已知直線a和平面α,β,α∩β=l,a?α,a?β,且a在α、β內(nèi)的射影分別為直線b和c,則直線b和c的位置關(guān)系是( )
A.相交或平行 B.相交或異面[來源:]
C.平行或異面 D.相交、平行或異面
解析:選D 依題意,直線b和c的位置關(guān)系可能是相交、平行或異面.
6.(2014杭州模擬)如圖,平面α與平面β交于直線l,A,C是平面α內(nèi)不同的兩點,B,D是平面β內(nèi)不同的兩點,且A,B
5、,C,D不在直線l上,M,N分別是線段AB,CD的中點.下列判斷正確的是( )
A.若AB與CD相交,且直線AC平行于l時,則直線BD與l可能平行也有可能相交
B.若AB,CD是異面直線,則直線MN可能與l平行
C.若存在異于AB,CD的直線同時與直線AC,MN,BD都相交,則AB,CD不可能是異面直線
D.M,N兩點可能重合,但此時直線AC與l不可能相交
解析:選D A錯誤,若AB與CD相交,則AB,CD共面,當AC∥l時,則AC∥平面β,經(jīng)過AC的平面ABCD與平面β的交線為BD,則AC∥BD,又AC∥l,故BD∥l;B錯誤,采用反證法,假定直線MN∥l,連接AD,取AD的
6、中點G,連接MG,NG,由于MG∥BD,又MN∥l,由面面平行的推論可證得平面MGN∥平面β,故l∥平面β,易推理AC∥平面β,因為直線AC與l共面且平行同一平面MGN,故AC∥l,又MN∥l,故AC∥MN,此時易證A,B,C,D四點共面,與AB與CD異面不符合,故MN與直線l不可能平行;C錯誤,存在,如經(jīng)過點N的直線可與AB與CD相交,此時AB,CD可以為異面直線;D正確,若M,N兩點重合,即AC與BD交于一點且相互平分,故四邊形ABCD為平行四邊形,即AC∥BD,易證得直線AC∥平面β,又直線l?β,故AC與直線l必無公共點,即兩直線不可能相交,故選D.
7.對于空間三條直線,有下列四個
7、條件:
①三條直線兩兩相交且不共點;
②三條直線兩兩平行;
③三條直線共點;
④有兩條直線平行,第三條直線和這兩條直線都相交.
其中使三條直線共面的充分條件有________.
解析:易知①中的三條直線一定共面;三棱柱三側(cè)棱兩兩平行,但不共面,故②錯;三棱錐三側(cè)棱交于一點,但不共面,故③錯;④中兩條直線平行可確定一個平面,第三條直線和這兩條直線相交于兩點,則第三條直線也在這個平面內(nèi),故三條直線共面.
答案:①④
8.已知a,b為不垂直的異面直線,α是一個平面,則a,b在α上的射影可能是:
①兩條平行直線;
②兩條互相垂直的直線;
③同一條直線;
④一條直線及其外一點.
8、
在上面結(jié)論中,正確的是________(寫出所有正確結(jié)論的序號).
解析:只有當a∥b時,a,b在α上的射影才可能是同一條直線,故③錯,其余都有可能.
答案:①②④
9.設(shè)a,b,c是空間中的三條直線,下面給出五個命題:
①若a∥b,b∥c,則a∥c;
②若a⊥b,b⊥c,則a∥c;
③若a與b相交,b與c相交,則a與c相交;[來源:]
④若a?平面α,b?平面β,則a,b一定是異面直線;
⑤若a,b與c成等角,則a∥b.
其中正確的命題是________(只填序號).[來源:數(shù)理化網(wǎng)]
解析:由公理4知①正確;
當a⊥b,b⊥c時,a與c可以相交、平行,也可以異面,故
9、②不正確;
當a與b相交,b與c相交時,a與c可以相交、平行,也可以異面,故③不正確;
a?α,b?β,并不能說明a與b“不同在任何一個平面內(nèi)”,故④不正確;
當a,b與c成等角時,a與b可以相交、平行,也可以異面,故⑤不正確.
答案:①
10.已知正方體ABCDA1B1C1D1中,E、F分別為D1C1、C1B1的中點,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q.求證:
(1)D,B,F(xiàn),E四點共面;
(2)若A1C交平面DBFE于R點,則P,Q,R三點共線.
證明:
(1)如圖所示.[來源:]
因為E,F(xiàn)分別為D1C1,C1B1的中點,
所以EF是△D1B1C1的中位線,
10、
所以EF∥B1D1.
在正方體ABCDA1B1C1D1中,B1D1∥BD,
所以EF∥BD.
所以EF,BD確定一個平面,
即D、B、F、E四點共面.
(2)在正方體ABCDA1B1C1D1中,設(shè)A1A與CC1確定的平面為α,又設(shè)平面BDEF為β.
因為Q∈A1C1,所以Q∈α.
又Q∈EF,所以Q∈β,則Q是α與β的公共點,
同理,P點也是α與β的公共點,所以α∩β=PQ.
又A1C∩β=R,所以R∈A1C,R∈α且R∈β,
則R∈PQ,故P、Q、R三點共線.
11.已知長方體ABCD A′B′C′D′中,AB=4,BC=3,AA′=5,求異面直線D′B與AC所成角的
11、余弦值.
解:法一:(平移法)如圖,在長方體ABCD A′B′C′D′中,連接BD交AC于點E,取DD′的中點F,連接EF,AF,
則EF∥D′B,EF=D′B,
∴∠FEA是D′B與AC所成的角,
∵AE==,
EF==,
AF= =,
∴在△FEA中,cos∠FEA==.
法二:(補形法)如圖,在長方體的一旁補一個全等的長方體,
則BE∥AC,BE=AC.
∴∠D′BE(或其補角)是D′B與AC所成的角,
∵D′B=5,BE=5,D′E=,
∴在△D′BE中,
cos∠D′BE=-,
∴D′B與AC所成角的余弦值為.
12.如圖所示,正方形ADEF所在
12、平面和等腰梯形ABCD所在平面垂直,已知BC=2AD=4,∠ABC=60,BF⊥AC.
(1)求證:AC⊥平面ABF;
(2)求異面直線BE與AF所成的角;
(3)求該幾何體的表面積.
解:(1)證明:因為平面ADEF⊥平面ABCD,且交線為AD,AF⊥AD,AF?平面ADEF,
所以AF⊥平面ABCD.
又AC?平面ABCD,故AF⊥AC,
又BF⊥AC,AF∩BF=F,AF,BF?平面ABF,
所以AC⊥平面ABF.
(2)因為ADEF為正方形,所以DE∥AF,
所以DE與BE所成的角即為異面直線BE與AF所成的角.
連接BD,由(1)易知DE⊥BD.
在R
13、t△BDE中,DE=2,BD=2,
所以tan∠BED==,
所以∠BED=60,
即異面直線BE與AF所成的角為60.
(3)由(1)知AF⊥平面ABCD,所以AF⊥AB,
所以AB=BCcos 60=2,
所以△ABF的面積S1=|AF||AB|=2.
同理△CDE的面積S2=2.
等腰梯形BCEF的上底長為2,下底長為4,兩腰長均為2,則它的高為,
所以其面積S3=(2+4)=3.
等腰梯形ABCD的上底長為2,下底長為4,兩腰長均為2,則它的高為,
所以其面積S4=(2+4)=3.
故該幾何體的表面積
S=S1+S2+S3+S4+4=3+3+8.
[沖擊名校
14、]
1.設(shè)四面體的六條棱的長分別為1,1,1,1,和a,且長為a的棱與長為的棱異面,則a的取值范圍是( )
A.(0, ) B.(0, )
C.(1, ) D.(1, )
解析:
選A 如圖所示,AB=,CD=a,設(shè)點E為AB的中點,則ED⊥AB,EC⊥AB,則ED==,同理EC=.由構(gòu)成三角形的條件知0
15、 B.9 C.10 D.11
解析:選A 如圖所示,∵CE?平面ABPQ,CE∥平面A1B1P1Q1,
∴CE與正方體的其余四個面所在平面均相交,m=4;
∵EF∥平面BPP1B1,且EF∥平面AQQ1A1,
∴EF與正方體的其余四個面所在平面均相交,n=4,故m+n=8.
[高頻滾動]
1.如圖是底面為正方形、一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐的三視圖,那么該四棱錐的直觀圖是下列各圖中的( )
解析:選D 根據(jù)正視圖為直角三角形及直角三角形的形狀,可排除A、B;根據(jù)側(cè)視圖的直角三角形形狀,可排除C;可驗證D符合題意.
2.一個幾何體的三視圖如圖所示,則它的體積為( )
A. B. C.20 D.40
解析:選B 該空間幾何體是一個四棱錐,其直觀圖如圖所示.
故其體積為(1+4)44=.
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