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第四節(jié) 合情推理與演繹推理
[全盤(pán)鞏固]
1.已知數(shù)列an:,,,,,,,,,,…,依它的前10項(xiàng)的規(guī)律,則a99+a100的值為( )
A. B. C. D.
解析:選A 通過(guò)將數(shù)列的前10項(xiàng)分組得到第一組有一個(gè)數(shù):,分子、分母之和為2;第二組有兩個(gè)數(shù):,,分子、分母之和為3;第三組有三個(gè)數(shù):,,,分子、分母之和為4;第四組有四個(gè)數(shù),依次類(lèi)推,a99,a100分別是第十四組的第8個(gè)數(shù)和第9個(gè)數(shù),分子、分母之和為15,所以a99=,a100=.故a99+a100=.
2.觀察下式:
1+3=22
2、[來(lái)源:]
1+3+5=32
1+3+5+7=42
1+3+5+7+9=52
…
據(jù)此你可歸納猜想出一般結(jié)論為( )
A.1+3+5+…+(2n-1)=n2(n∈N*)
B.1+3+5+…+(2n+1)=n2(n∈N*)
C.1+3+5+…+(2n-1)=(n+1)2(n∈N*)
D.1+3+5+…+(2n+1)=(n+1)2(n∈N*)
3.(2014·金華模擬)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=-,滿(mǎn)足Sn++2=an(n≥2),則S2 013=( )
A.- B.- C.- D.-[來(lái)源:]
解析:選D 利用歸納推理求解.由Sn++2
3、=an=Sn-Sn-1,得=-Sn-1-2(n≥2),又S1=a1=-,所以S2=-,S3=-,S4=-.由歸納推理可得S2 013=-
解析:選D 觀察可見(jiàn)第n行左邊有n+1個(gè)奇數(shù),右邊是(n+1)2.
4.由代數(shù)式的乘法法則類(lèi)比推導(dǎo)向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則:
①“mn=nm”類(lèi)比得到“a·b=b·a”;
②“(m+n)t=mt+nt”類(lèi)比得到“(a+b)·c=a·c+b·c”;
③“(m·n)t=m(n·t)”類(lèi)比得到“(a·b)·c=a·(b·c)”;
④“t≠0,mt
4、=xt?m=x”類(lèi)比得到“p≠0,a·p=x·p?a=x”;
⑤“|m·n|=|m|·|n|”類(lèi)比得到“|a·b|=|a|·|b|”;
⑥“=”類(lèi)比得到“=”.
以上的式子中,類(lèi)比得到的結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:選B?、佗谡_,③④⑤⑥錯(cuò)誤.
5.觀察下列事實(shí):|x|+|y|=1的不同整數(shù)解(x,y)的個(gè)數(shù)為4,|x|+|y|=2的不同整數(shù)解(x,y)的個(gè)數(shù)為8,|x|+|y|=3的不同整數(shù)解(x,y)的個(gè)數(shù)為12,…,則|x|+|y|=20的不同
5、整數(shù)解(x,y)的個(gè)數(shù)為( )
A.76 B.80 C.86 D.92
解析:選B 通過(guò)觀察可以發(fā)現(xiàn)|x|+|y|的值為1,2,3時(shí),對(duì)應(yīng)的(x,y)的不同整數(shù)解的個(gè)數(shù)為4,8,12,可推出當(dāng)|x|+|y|=n時(shí),對(duì)應(yīng)的不同整數(shù)解(x,y)的個(gè)數(shù)為4n,所以|x|+|y|=20的不同整數(shù)解(x,y)的個(gè)數(shù)為80.
6.設(shè)△ABC的三邊長(zhǎng)分別為a、b、c,△ABC的面積為S,內(nèi)切圓半徑為r,則r=;類(lèi)比這個(gè)結(jié)論可知:四面體S ABC的四個(gè)面的面積分別為S1、S2、S3、S4,內(nèi)切球的半徑為R,四面體S ABC的體積為V,則R=( )
6、
A. B.
C. D.
解析:選C 設(shè)三棱錐的內(nèi)切球球心為O,那么由V=VO ABC+VO SAB+VO SAC+VO SBC,即V=S1R+S2R+S3R+S4R,可得R=.
7.觀察下列幾個(gè)三角恒等式:
①tan 10°tan 20°+tan 20°tan 60°+tan 60°tan 10°=1;
②tan 5°tan 100°+tan 100°tan(-15°
7、)+tan(-15°)tan 5°=1;
③tan 13°tan 35°+tan 35°tan 42°+tan 42°tan 13°=1.
一般地,若tan α,tan β,tan γ都有意義,你從這三個(gè)恒等式中猜想得到的一個(gè)結(jié)論為_(kāi)_______________________________________________________________________.
解析:所給三角恒等式都為tan αtan β+tan βtan γ+tan γtan α=1的結(jié)構(gòu)形式,且α、β、γ之間滿(mǎn)足α+β+γ
8、=90°,所以可猜想當(dāng)α+β+γ=90°時(shí),tan αtan β+tan βtan γ+tan γtan α=1.
答案:當(dāng)α+β+γ=90°時(shí),tan αtan β+tan βtan γ+tan γtan α=1
8.對(duì)大于或等于2的正整數(shù)的冪運(yùn)算有如下分解方式:
22=1+3 32=1+3+5 42=1+3+5+7 …
23=3+5 33=7+9+11 43=13+15+17+19 …[來(lái)源:]
根據(jù)上述分解規(guī)律,若m2=1+3+5+…+11,p3的分解中最小的正整數(shù)是21,則m+p=________.
解析:由22=1+3,32=1+3+5,42
9、=1+3+5+7,…,可知n2=1+3+5+…+(2n-1).由m2=1+3+5+…+11,可知m=6.易知53=21+23+25+27+29,則21是53的分解中最小的正整數(shù),可得p=5.故m+p=11.
答案:11
9.我國(guó)的刺繡有著悠久的歷史,如圖所示中的(1)(2)(3)(4)為刺繡最簡(jiǎn)單的四個(gè)圖案,這些圖案都是由小正方形構(gòu)成,小正方形個(gè)數(shù)越多刺繡越漂亮.現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡(小正方形的擺放規(guī)律相同),設(shè)第n個(gè)圖形包含f(n)個(gè)小正方形.則f(n)的表達(dá)式為_(kāi)_______________.
(1) (2) (3) (4)
解析:我們考慮f(2)-f(1)=
10、4,f(3)-f(2)=8,f(4)-f(3)=12,…,結(jié)合圖形不難得到f(n)-f(n-1)=4(n-1),累加得f(n)-f(1)=2n(n-1)=2n2-2n,故f(n)=2n2-2n+1.
答案:f(n)=2n2-2n+1
10.給出下面的數(shù)表序列:
表1 表2 表3
1 1 3 1 3 5
4 4 8
12
其中表n(n=1,2,3,…)有n行,第1行的n個(gè)數(shù)是1,3,5,…,2n-1,從第2行起,每行
11、中的每個(gè)數(shù)都等于它肩上的兩數(shù)之和.
寫(xiě)出表4,驗(yàn)證表4各行中的數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構(gòu)成等比數(shù)列,并將結(jié)論推廣到表n(n≥3)(不要求證明).
解:表4為
1 3 5 7
4 8 12
12 20
32
它的第1,2,3,4行中的數(shù)的平均數(shù)分別是4,8,16,32,它們構(gòu)成首項(xiàng)為4,公比為2的等比數(shù)列.將這一結(jié)論推廣到表n(n≥3),即表n(n≥3)各行中的數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構(gòu)成首項(xiàng)為n,公比為2的等比數(shù)列.
11.某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn),以下五個(gè)式子的值都等于同一個(gè)常數(shù):
①sin213°+cos217°-sin 13°cos
12、 17°;
②sin215°+cos215°-sin 15°cos 15°;
③sin218°+cos212°-sin 18°cos 12°;
④sin2(-18°)+cos248°-sin(-18°)cos 48°;
⑤sin2(-25°)+cos255°-sin(-25°)cos 55°.
(1)試從上述五個(gè)式子中選擇一個(gè),求出這個(gè)常數(shù);
(2)根據(jù)(1)的計(jì)算結(jié)果,將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式,并證明你的結(jié)
13、論.
解:(1)選擇②式,計(jì)算如下:sin215°+cos215°-sin 15°cos 15°=1-sin 30°=.
(2)歸納三角恒等式sin2α+cos2(30°-α)-sin αcos(30°-α)=.
證明如下:
sin2α+cos2(30°-α)-sin αcos(30°-α)
=+-sin α(cos 30°cos α+sin 30°sin α)
=-cos 2α++(cos 60°cos 2α+sin 60°sin 2α)-sin αc
14、os α-sin2α
=-cos 2α++cos 2α+sin 2α-sin 2α-(1-cos 2α)
=1-cos 2α-+cos 2α=.
12.定義“等和數(shù)列”:在一個(gè)數(shù)列中,如果每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的和都為同一常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列叫做等和數(shù)列,這個(gè)常數(shù)叫做該數(shù)列的公和,已知數(shù)列{an}是等和數(shù)列,且a1=2,公和為5.求:
(1)a18的值;
(2)該數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn.
解:(1)由等和數(shù)列的定義,數(shù)列{an}是等和數(shù)列,且a1=2,公和為5,易知a2n-1=2,a2n=3(n=1,2,…),故a18=3.
(2)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),Sn=a1+a2+…+an=(a1+a3+…
15、+an-1)+(a2+a4+…+an)=n;
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),Sn=Sn-1+an=(n-1)+2=n-.
綜上所述,Sn=
[沖擊名校][來(lái)源:]
1.如圖,一個(gè)粒子在第一象限運(yùn)動(dòng),在第一秒內(nèi)它從原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到(0,1),然后它按圖示在x軸、y軸的平行方向運(yùn)動(dòng),且每秒移動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度,則在第12秒時(shí),這個(gè)粒子所處的位置是( )
A.(2,2) B.(3,2)
C.(3,3) D.(2,3)
解析:選C 第一層有(0,1),(1,1),(1,0)三個(gè)整點(diǎn)(除原點(diǎn)),共用3秒;第二層有五個(gè)整點(diǎn)(2,0),(2,1),(2,2)
16、,(1,2),(0,2),共用5秒;第三層有七個(gè)整點(diǎn)(0,3),(1,3),(2,3),(3,3),(3,2),(3,1),(3,0),共用7秒.則在第12秒時(shí),這個(gè)粒子所處的位置是(3,3).[來(lái)源:]
2.從1開(kāi)始的自然數(shù)按如圖所示的規(guī)則排列,現(xiàn)有一個(gè)三角形框架在圖中上下或左右移動(dòng),使每次恰有九個(gè)數(shù)在此三角形內(nèi),則這九個(gè)數(shù)的和可以為( )
A.2 907 B.2 111
C.2 012 D.2 090
解析:選C 依題意,設(shè)位于三角形內(nèi)的最小數(shù)是n,其中n被8除后的余數(shù)必是3,4,5,6之一,則這九個(gè)數(shù)的和等于n+3(n+8)+5(n+16)=9n+104.令9n+104=2 012,得n=212,且n=212被8除后的余數(shù)是4.
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