《高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí):第九章 :第七節(jié) 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入突破熱點(diǎn)題型》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí):第九章 :第七節(jié) 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入突破熱點(diǎn)題型(4頁珍藏版)》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
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第七節(jié) 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入
考點(diǎn)一
復(fù)數(shù)的有關(guān)概念 [來源:]
[例1] (1)(2013安徽高考)設(shè)i是虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù)a-(a∈R)是純虛數(shù),則a的值為( )
A.-3 B.-1 C.1 D.3
(2)(2013山東高考)復(fù)數(shù)z滿足(z-3)(2-i)=5(i是虛數(shù)單位),則z的共軛復(fù)數(shù)為( )
A.2+i B.2-i
C.5+i D.5-i
[自主解答] (1)∵a-=a-
=(a-3)-i為純虛數(shù),∴a-3=
2、0,即a=3.
(2)由(z-3)(2-i)=5,得z=3+=+3=+3=5+i,
∴=5-i.
[答案] (1)D (2)D
【互動探究】
若將本例(2)中的“z-3”改為“z-i”,則為何值?
解:∵(z-i)(2-i)=5,則z-i=,∴z=i+=i+(2+i)=2+2i,
∴=2-2i.
【方法規(guī)律】
解決復(fù)數(shù)概念問題的方法及注意事項(xiàng)[來源:數(shù)理化網(wǎng)]
(1)復(fù)數(shù)的分類及對應(yīng)點(diǎn)的位置問題都可以轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部應(yīng)該滿足的條件問題,只需把復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式,列出實(shí)部和虛部滿足的方程(不等式)組即可.
(2)解題時(shí)一定要先看復(fù)數(shù)是否為a+bi(a,b∈R)
3、的形式,以確定實(shí)部和虛部.
1.設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)的共軛復(fù)數(shù)為=a-bi,則z-為 ( )
A.實(shí)數(shù) B.純虛數(shù) C.零 D.零或純虛數(shù)[來源:]
解析:選D 由題意知z-=(a+bi)-(a-bi)=2bi,
當(dāng)b=0時(shí),z-為0;當(dāng)b≠0時(shí),z-為純虛數(shù).
2.若復(fù)數(shù)z=1+i(i為虛數(shù)單位),是z的共軛復(fù)數(shù),則z2+2的虛部為( )
A.0 B.-1 C.1 D.-2[來源:
解析:選A ∵z2+2=(1+i)2+(1-i)2=0,∴z2+2的虛部為
4、0.
考點(diǎn)二
復(fù)數(shù)的幾何意義
[例2] (1)(2013江西高考)已知復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)=1+2i(i為虛數(shù)單位),則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
(2)(2013四川高考)如圖,在復(fù)平面內(nèi),點(diǎn)A表示復(fù)數(shù)z,則圖中表示z的共軛復(fù)數(shù)的點(diǎn)是( )
A.A B.B C.C D.D
(3)(2013遼寧高考)復(fù)數(shù)z=的模為( )
A. B. C.
5、 D.2
[自主解答] (1)由共軛復(fù)數(shù)的定義知:z=1-2i,則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,-2),位于第四象限.
(2)設(shè)z=-a+bi(a>0,b>0),則z的共軛復(fù)數(shù)=-a-bi.它對應(yīng)的點(diǎn)為(-a,-b),是第三象限的點(diǎn),即圖中的B點(diǎn).
(3)∵z====--i,
∴|z|= =.
[答案] (1)D (2)B (3)B
【方法規(guī)律】
判斷復(fù)數(shù)在平面內(nèi)的點(diǎn)的位置的方法
首先將復(fù)數(shù)化成a+bi(a,b∈R)的形式,其次根據(jù)實(shí)部a和虛部b的符號來確定點(diǎn)所在的象限.
1.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)6+5i、-2+3i對應(yīng)的點(diǎn)分別為A,B,若C為線段AB的中點(diǎn),則
6、點(diǎn)C對應(yīng)的復(fù)數(shù)是( )
A.4+8i B.8+2i C.2+4i D.4+i
解析:選C 由題意得A(6,5),B(-2,3),所以AB中點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,4),所以點(diǎn)C對應(yīng)的復(fù)數(shù)為2+4i.
2.已知復(fù)數(shù)z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3-2i,它們所對應(yīng)的點(diǎn)分別為A,B,C.O為坐標(biāo)原點(diǎn),若=x+y,則x+y的值是________.
解析:由已知得A(-1,2),B(1,-1),C(3,-2),
∵=x+y,
∴(3,-2)=x(-1,2)+y(1,-1)=(-x+y,2x-y),[來源:]
∴解得故x+y=5.
答案:5
高頻考點(diǎn)
7、
考點(diǎn)三 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算
1.復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算是每年高考的必考內(nèi)容,題型為選擇題或填空題,難度較小,屬容易題.
2.高考對復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算的考查主要有以下幾個(gè)命題角度:
(1)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算;
(2)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算;
(3)利用復(fù)數(shù)相等求參數(shù).
[例3] (1)(2013浙江高考)已知i是虛數(shù)單位,則(2+i)(3+i)=( )
A.5-5i B.7-5i
C.5+5i D.7+5i
(2)(2013新課標(biāo)全國卷Ⅰ)=( )
A.-1-i B.-1+i
C.1+i
8、 D.1-i
(3)(2013廣東高考)若i(x+yi)=3+4i,x,y∈R,則復(fù)數(shù)x+yi的模是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
[自主解答] (1)(2+i)(3+i)=6+5i+i2=5+5i.
(2)====-1+i.
(3)由已知得x+yi==4-3i,
故|x+yi|==5.
[答案] (1)C (2)B (3)D
復(fù)數(shù)代數(shù)形式運(yùn)算問題的常見類型及解題策略
(1)復(fù)數(shù)的乘法.復(fù)數(shù)的乘法類似于多項(xiàng)式的四則運(yùn)算,可將含有虛數(shù)單位i的看作一類同類項(xiàng),不含i的看作另一類同類項(xiàng),分別合并即可.
(2)
9、復(fù)數(shù)的除法.除法的關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù),解題中要注意把i的冪寫成最簡形式.
(3)利用復(fù)數(shù)相等求參數(shù).a(chǎn)+bi=c+di?a=c,b=d(a,b,c,d∈R).
1.若復(fù)數(shù)z滿足z(2-i)=11+7i(i為虛數(shù)單位),則z為( )
A.3+5i B.3-5i
C.-3+5i D.-3-5i
解析:選A 由題意知z====3+5i.
2.i為虛數(shù)單位,則2 014=( )
A.-i B.-1
C.i D.1
解析:選B 2
10、014=i2 014=i2=-1.
3.設(shè)a,b∈R,a+bi=(i為虛數(shù)單位),則a+b的值為________.
解析:∵===5+3i=a+bi,∴a+b=8.
答案:8
———————————[課堂歸納——通法領(lǐng)悟]————————————————
1個(gè)分類——復(fù)數(shù)的分類
對復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R),
當(dāng)b=0時(shí),z為實(shí)數(shù);
當(dāng)b≠0時(shí),z為虛數(shù);
當(dāng)a=0,b≠0時(shí),z為純虛數(shù).
2個(gè)技巧——復(fù)數(shù)的運(yùn)算技巧
(1)設(shè)z=a+bi(a,b∈R),利用復(fù)數(shù)相等和相關(guān)性質(zhì)將復(fù)數(shù)問題實(shí)數(shù)化是解決復(fù)數(shù)問題的常用方法.
(2)在復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算中,加、減、乘運(yùn)算按多項(xiàng)式運(yùn)算法則進(jìn)行,除法則需分母實(shí)數(shù)化.
3個(gè)結(jié)論——復(fù)數(shù)代數(shù)運(yùn)算中常用的三個(gè)結(jié)論
(1)(1i)2=2i;=i;=-i;
(2)-b+ai=i(a+bi);
(3)i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0,n∈N*.
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