《人教版高中數(shù)學選修11：1.2 充分條件與必要條件 課時提升作業(yè)五 1.2.2 Word版含解析》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《人教版高中數(shù)學選修11：1.2 充分條件與必要條件 課時提升作業(yè)五 1.2.2 Word版含解析（9頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、（人教版）精品數(shù)學教學資料
課時提升作業(yè)(五)
充要條件的應用
(25分鐘 60分)
一、選擇題(每小題5分,共25分)
1.設α,β∈-π2,π2,那么“α<β”是“tanα<tanβ”的 ( )
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
【解析】選C.在-π2,π2中,函數(shù)y=tanx為增函數(shù),所以設α,β∈-π2,π2,那么“α<β”是“tanα<tanβ”的充要條件.
2.(2015·北京高考)設a,b是非零向量,“a·b=|a||b|”是“a∥b”的 ( )
A.充分而不必
2、要條件 B.必要而不充分條件
C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件
【解析】選A.由a·b=|a||b|得cos<a,b>=1,<a,b>=0,所以a與b同向.而a∥b包括同向與反向兩種情況.
3.設a,b是實數(shù),則“a>b”是“a2>b2”的 ( )
A.充分而不必要條件
B.必要而不充分條件
C.充分必要條件
D.既不充分也不必要條件
【解題指南】利用不等式的性質(zhì)驗證充分性與必要性.
【解析】選D.當ab<0時,由a>b不一定推出a2>b2,反之也不一定成立.
4.(2015·湖
3、北高考)l1,l2表示空間中的兩條直線,若p:l1,l2是異面直線,q:l1,l2不相交,則 ( )
A.p是q的充分條件,但不是q的必要條件
B.p是q的必要條件,但不是q的充分條件
C.p是q的充分必要條件
D.p既不是q的充分條件,也不是q的必要條件
【解析】選A.若p:l1,l2是異面直線,由異面直線的定義知,l1,l2不相交,所以命題q:l1,l2不相交成立,即p是q的充分條件,反過來,若q:l1,l2不相交,則l1,l2可能平行,也可能異面,所以不能推出l1,l2是異面直線,即p不是q的必要條件.
5.(2015·煙臺高二檢測)已知a,b∈R,ab≠0,則“
4、a>0,b>0”是“a+b2≥ab”
的 ( )
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
【解析】選C.當a>0,b>0時由基本不等式可得a+b2≥ab.
當且僅當a=b時取等號.
反之,當a+b2≥ab時,由ab有意義結(jié)合a,b≠0,可得a,b同號,即a>0,b>0或a<0,b<0,而當a<0,b<0時a+b2<0與a+b2≥ab矛盾.
故必有a>0,b>0成立,
故“a>0,b>0”是“a+b2≥ab”的充要條件.
二、填空題(每小題5分
5、,共15分)
6.(2015·鄭州高二檢測)等差數(shù)列{an}的首項為a,公差為d,其前n項和為Sn,則數(shù)列{Sn}為遞增數(shù)列的充要條件是 .
【解題指南】若{Sn}為遞增數(shù)列,則Sn+1>Sn(n∈N*),據(jù)此轉(zhuǎn)化求解.
【解析】由Sn+1>Sn(n∈N*)?(n+1)a+n(n+1)2d>na+n(n-1)2d(n∈N*)?dn+a>0(n∈N*)?d≥0且d+a>0.因此數(shù)列{Sn}為遞增數(shù)列的充要條件是d≥0且d+a>0.
答案:d≥0且d+a>0
7.(2015·三明高二檢測)直線x+y+m=0與圓(x-1
6、)2+(y-1)2=2相切的充要條件是 .
【解析】直線x+y+m=0與圓(x-1)2+(y-1)2=2相切?圓心(1,1)到直線x+y+m=0的距離等于2
?|1+1+m|2=2?|m+2|=2?m=-4或0.
答案:m=-4或0
【補償訓練】“x2-2x>0”的充要條件是 .
【解析】x2-2x>0?x·(x-2)>0?x>2或x<0.
答案:x>2或x<0
8.下列命題:
①“x>2且y>3”是“x+y>5”的充要條件;
②“b2-4ac<0”是“不等式ax2+bx+c<0
7、解集為R”的充要條件;
③“a=2”是“直線ax+2y=0平行于直線x+y=1”的充分不必要條件;
④“xy=1”是“l(fā)gx+lgy=0”的必要而不充分條件.
其中真命題的序號為 .
【解析】①x>2且y>3時,x+y>5成立,反之不一定,如x=0,y=6,所以“x>2且y>3”是“x+y>5”的充分不必要條件;
②不等式解集為R的充要條件是a<0且b2-4ac<0.故②為假命題;
③當a=2時,兩直線平行,反之,兩直線平行,a1=21,所以a=2,
因此,“a=2”是“兩直線平行”的充要條件;
④lgx+lgy=lg(x
8、y)=0,
所以xy=1且x>0,y>0.
所以“l(fā)gx+lgy=0”成立,xy=1必成立,反之不然.
因此“xy=1”是“l(fā)gx+lgy=0”的必要而不充分條件.
綜上可知,真命題是④.
答案:④
三、解答題(每小題10分,共20分)
9.求方程3x2-10x+k=0有兩個同號且不相等的實根的充要條件.
【解析】方程3x2-10x+k=0有兩個同號且不相等的實根等價于Δ=100-12k>0,x1x2=k3>0,解得0<k<253,
所以方程3x2-10x+k=0有兩個同號且不相等的實根的充要條件0<k<253.
10.(20
9、15·南京師大附中高二檢測)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=pn+q(p≠0且p≠1),求證:數(shù)列{an}為等比數(shù)列的充要條件為q=-1.
【證明】充分性:當q=-1時,a1=S1=p-1;
當n≥2時,an=Sn-Sn-1=pn-1(p-1),且n=1時也成立.
于是an+1an=pn·(p-1)pn-1·(p-1)=p(p≠0且p≠1),即{an}為等比數(shù)列.
必要性:當n=1時,a1=S1=p+q;
當n≥2時,an=Sn-Sn-1=pn-1(p-1).
因為p≠0且p≠1,所以當n≥2時,an+1an=pn·(p-1)pn-1
10、3;(p-1)=p,可知等比數(shù)列{an}的公比為p.
故a2a1=p(p-1)p+q=p,即p-1=p+q,解得q=-1.
綜上可知,q=-1是數(shù)列{an}為等比數(shù)列的充要條件.
【誤區(qū)警示】本題易弄錯充分性與必要性而導致錯誤.
(20分鐘 40分)
一、選擇題(每小題5分,共10分)
1.(2014·福建高考)直線l:y=kx+1與圓O:x2+y2=1相交于A,B兩點,則“k=1”是“△OAB的面積為12”的 ( )
A.充分而不必要條件
B.必要而不充分條件
C.充分必要條件
D.既不充分又不必要條件
【解題指南】小集合推出大集合.
【解析】選A.直線過
11、定點(0,1)在圓上,不妨設其為A點,而B點也在圓上,
S△OAB=12OA·OBsin∠AOB=12sin∠AOB,
因此∠AOB必為直角,所以S△OAB=12的等價條件是k=±1.
2.(2015·西安高二檢測)函數(shù)f(x)=a+sinx+3cosx有零點的充要條件
為 ( )
A.a≤2 B.a≥-2
C.-2<a<2 D.-2≤a≤2
【解析】選D.函數(shù)f(x)=a+sinx+3cosx有零點?方程a+sinx+3cosx=0有實數(shù)根?方程-a=sinx+3cosx有實數(shù)根,由于-a=sinx+3cosx=2sin(
12、x+60°),
所以-2≤-a≤2,即-2≤a≤2.
【延伸探究】本題改為函數(shù)沒有零點的充要條件為 .
【解析】函數(shù)f(x)=a+sinx+3cosx有零點?方程a+sinx+3cosx=0有實數(shù)根?方程-a=sinx+3cosx有實數(shù)根.
由于-a=sinx+3cosx=2sin(x+60°),
所以-2≤-a≤2,即-2≤a≤2.
所以函數(shù)f(x)=a+sinx+3cosx沒有零點的充要條件為a<-2或a>2.
答案:a<-2或a>2
二、填空題(每小題5分,共10分)
3.(2015·佛山高二檢測)數(shù)列{an
13、}既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列的充要條件為 .
【解析】依題意,an+1-an=d,且an+1an=q(d,q為常數(shù)),對一切正整數(shù)n都成立,則qan-an=d,所以an(q-1)=d對一切正整數(shù)n都成立,故d=0,q=1,數(shù)列{an}為常數(shù)列.
由于an=0不是等比數(shù)列,所以數(shù)列{an}既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列的充要條件是數(shù)列{an}是非零常數(shù)列.
答案:數(shù)列{an}為非零常數(shù)列
4.(2015·廣州高二檢測)設函數(shù)f(x)=|log2x|,則f(x)在區(qū)間(m-2,2m)內(nèi)有定義,且不是單調(diào)函數(shù)的充要條件是 .
【解析】由題意知函數(shù)f(x)=|log2x|
14、
=log2x,x≥1,-log2x,0<x<1,
要使f(x)在區(qū)間(m-2,2m)內(nèi)有定義且不是單調(diào)函數(shù),
則0≤m-2<1<2m,所以2≤m<3.
答案:[2,3)
三、解答題(每小題10分,共20分)
5.(2015·汕頭高二檢測)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn=(n+1)2+c,探究{an}是等差數(shù)列的充要條件.
【解析】當{an}是等差數(shù)列時,
因為Sn=(n+1)2+c,
所以當n≥2時,Sn-1=n2+c,
所以an=Sn-Sn-1=2n+1,
所以an+1-an=2為常數(shù).
又a1=S1=4+c,
所以a2-
15、a1=5-(4+c)=1-c,
因為{an}是等差數(shù)列,
所以a2-a1=2,所以1-c=2.
所以c=-1,反之,當c=-1時,Sn=n2+2n,
可得an=2n+1(n≥1,n∈N*)為等差數(shù)列,
所以{an}為等差數(shù)列的充要條件是c=-1.
6.(2015·煙臺高二檢測)設a,b,c分別是△ABC的三個內(nèi)角A,B,C所對的邊,證明:“a2=b(b+c)”是“A=2B”的充要條件.
【解題指南】從充分性與必要性兩個方面證明.
【證明】充分性:由a2=b(b+c)=b2+c2-2bccosA可得1+2cosA=cb=sinCsinB.
即sinB+2sinBcos
16、A=sin(A+B).
化簡,得sinB=sin(A-B).
由于sinB>0且在三角形中,
故B=A-B,
即A=2B.
必要性:若A=2B,
則A-B=B,sin(A-B)=sinB,
又sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,
sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB.
所以sin(A+B)=sinB(1+2cosA).
因為A,B,C為△ABC的內(nèi)角,
所以sin(A+B)=sinC,
即sinC=sinB(1+2cosA).
所以sinCsinB=1+2cosA=1+b2+c2-a2bc=b2+c2-a2+bcbc,即cb=b
17、2+c2+bc-a2bc.
化簡得a2=b(b+c).
所以“a2=b(b+c)”是“A=2B”的充要條件.
【補償訓練】已知{an}為等差數(shù)列,且a1+a4=10,a1+a3=8,前n項和為Sn.求證:a1,ak,Sk+2成等比數(shù)列的充要條件是k=6.
【證明】設數(shù)列{an}的公差為d,由題意得2a1+3d=10,2a1+2d=8,解得a1=2,d=2,所以an=2+2(n-1)=2n,
由此得Sn=n(a1+an)2=n(2+2n)2=n(1+n).
充分性:當k=6時,a1=2,ak=a6=12,Sk+2=S6+2=S8=8×9=72,
因為a6a1=122=7212=S8a6,所以a1,a6,S6+2成等比數(shù)列,即a1,ak,Sk+2成等比數(shù)列.
必要性:由a1,ak,Sk+2成等比數(shù)列,得ak2=a1Sk+2,從而(2k)2=2(k+2)(k+3),即k2-5k-6=0,解得k=-1(舍去)或k=6.
綜上可知,k=6是a1,ak,Sk+2成等比數(shù)列的充要條件.
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人教版高中數(shù)學選修11：1.2 充分條件與必要條件 課時提升作業(yè)五 1.2.2 Word版含解析
