4、(x1)0?[f(x1)－f(x2)](x1－x2)>0；
②f(x)是單調遞減函數?任意x1f(x2)?<0?[f(x1)－f(x2)](x1－x2)<0.
6．函數的奇偶性
判定函數奇偶性，一是用其定義判斷，即先看函數f(x)的定義域是否關于原點對稱，再檢驗f(－x)與f(x)的關系；二是用其圖象判斷，考察函數的圖象是否關于原點或y軸對稱去判斷，但必須注意它是函數這一大前提．
要點一 集合的基本概念
解決集合的概念問題的兩個注意點
(1)研究一個集合，首先要看集合中的代表元素．然后再看元素的限制條件，當集合用描述法表示時，注意弄清元素
5、表示的意義是什么．
(2)對于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意檢驗集合中的元素是否滿足互異性．
【例1】 集合M＝{x|ax2－3x－2＝0，a∈R}中只有一個元素，求a的取值范圍．
解 由題意可知若集合M中只有一個元素，則方程ax2－3x－2＝0只有一個根，當a＝0時，方程為－3x－2＝0，只有一個根x＝－；當a≠0時，Δ＝(－3)2－4a(－2)＝0，得a＝－.綜上所述，a的取值范圍是.
【訓練1】 已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，則m的值為________．
解析 因為3∈A，則m＋2＝3或2m2＋m＝3，當m＋2＝3，即m＝1時，m＋2＝2m2＋m，不符
6、合題意，故舍去；當2m2＋m＝3，即m＝1或m＝－，m＝1不合題意，若m＝－，m＋2≠2m2＋m，滿足題意，故m＝－.
答案?。?
要點二 集合間的基本關系
兩集合間關系的判斷
(1)定義法．
①判斷一個集合A中的任意元素是否屬于另一集合B，若是，則A?B，否則A不是B的子集；
②判斷另一個集合B中的任意元素是否屬于第一個集合A，若是，則B?A，否則B不是A的子集；若既有A?B，又有B?A，則A＝B.
(2)數形結合法．
對于不等式表示的數集，可在數軸上標出集合的元素，直觀地進行判斷，但要注意端點值的取值．
【例2】 已知集合A＝{x|2x－3≥3x＋5}，B＝{x|x≤2m－
7、1}，若A?B，則實數m的取值范圍是________．
解析 解不等式2x－3≥3x＋5得x≤－8，即A＝{x|x≤－8}，因為A?B，所以2m－1≥－8，解得m≥－.
答案 m≥－
【訓練2】 已知集合A＝{x|＝，x∈R}，B＝{1，m}，若A?B，則m的值為( )
A．2 B．－1 C．－1或2 D．2或
解析 由＝，可得解得x＝2，∴A＝{2}，又∵B＝{1，m}，A?B，∴m＝2.
答案 A
考查方向
要點三 集合的基本運算
集合基本運算的方法及注意點
(1)一般來講，集合中的元素若是離散的，則用Venn圖表示；集合中的元素若是連續(xù)的實數，則用數軸表
8、示，此時要注意端點的情況．
(2)進行集合的運算時要看集合的組成，并且要對有的集合進行化簡．
(3)涉及含字母的集合時，要注意該集合是否可能為空集．
方向1 集合的運算
【例3－1】 設全集U＝{x∈N*|x<6}，集合A＝{1,3}，B＝{3,5}，則?U(A∪B)等于( )
A．{1,4} B．{1,5} C．{2,5} D．{2,4}
解析 U＝{1,2,3,4,5}，A∪B＝{1,3,5}，所以?U(A∪B)＝{2,4}．
答案 D
方向2 利用集合運算求參數
【例3－2】 (1)已知集合A＝{1,3，}，B＝{1，m}，A∪B＝A，則m等于( )
9、
A．0或 B．0或3 C．1或 D．1或3
(2)設集合A＝{0,1}，集合B＝{x|x>a}，若A∩B＝?，則實數a的取值范圍是( )
A．a≤1 B．a≥1 C．a≥0 D．a≤0
解析 (1)由A∪B＝A知B?A，所以m＝3或m＝，若m＝3，A＝{1,3，}，B＝{1,3}，滿足A∪B＝A；若m＝，即m＝1或0，當m＝1時，＝1，不合題意，舍去，當m＝0時，A＝{1,3,0}，B＝{1,0}，滿足A∪B＝A，故選B．
(2)因為A∩B＝?，所以0?B，且1?B，所以a≥1.
答案 (1)B (2)B
【訓練3】 (1)已知集合A＝{x∈R||x
10、|≤2}，B＝{x∈R|x≤1}，則A∩B等于( )
A．{x∈R|x≤2} B．{x∈R|1≤x≤2}
C．{x∈R|－2≤x≤2} D．{x∈R|－2≤x≤1}
(2)設集合M＝{x|－3≤x＜7}，N＝{x|2x＋k≤0}，若M∩N≠?，則實數k的取值范圍為________．
解析 (1)A＝{x∈R||x|≤2}＝{x∈R|－2≤x≤2}，∴A∩B＝{x∈R|－2≤x≤2}∩{x∈R|x≤1}＝{x∈R|－2≤x≤1}．
(2)因為N＝{x|2x＋k≤0}＝{x|x≤－}，
且M∩N≠?，所以－≥－3?k≤6.
答案 (1)D (2)k≤6
要點四 求函數的
11、定義域
求函數定義域的類型與方法
(1)已給出函數解析式：函數的定義域是使解析式有意義的自變量的取值集合．
(2)實際問題：求函數的定義域既要考慮解析式有意義，還應考慮使實際問題有意義．
(3)復合函數問題：
①若f(x)的定義域為[a，b]，f(g(x))的定義域應由a≤g(x)≤b解出；
②若f(g(x))的定義域為[a，b]，則f(x)的定義域為g(x)在[a，b]上的值域．
注意：①f(x)中的x與f(g(x))中的g(x)地位相同；
②定義域所指永遠是x的范圍．
【例4】 (1)函數f(x)＝＋(2x－1)0的定義域為( )
A． B．
C． D
12、．∪
(2)已知函數y＝f(x－1)的定義域是[－1,2]，則y＝f(1－3x)的定義域為( )
A． B．
C．[0,1] D．
解析 (1)由題意知解得x<1且x≠，即f(x)的定義域是∪.
(2)由y＝f(x－1)的定義域是[－1,2]，則x－1∈[－2,1]，即f(x)的定義域是[－2,1]，令－2≤1－3x≤1解得0≤x≤1，即y＝f(1－3x)的定義域為[0,1]．
答案 (1)D (2)C
【訓練4】 已知函數f(x)＝－2x＋3的值域為[－5,5]，則它的定義域為( )
A．[－5,5] B．[－7,13] C．[－1,4] D．[－4
13、,1]
解析 可以畫出函數y＝－2x＋3的圖象，再根據圖象來求；還可以運用觀察法來求，當f(x)＝－5時，x＝4；當f(x)＝5時，x＝－1，所以定義域為[－1,4]．
答案 C
要點五 求函數的解析式
求函數解析式的題型與相應的解法
(1)已知形如f(g(x))的解析式求f(x)的解析式，使用換元法或配湊法．
(2)已知函數的類型(往往是一次函數或二次函數，使用待定系數法)．
(3)含f(x)與f(－x)或f(x)與f，使用解方程組法．
(4)已知一個區(qū)間的解析式，求另一個區(qū)間的解析式，可用奇偶性轉移法．
【例5】 (1)已知f(2x－3)＝2x2－3x，則f(x)＝__
14、______.
(2)已知f(x)－3f(－x)＝2x－1，則f(x)＝________.
解析 (1)令2x－3＝t，得x＝(t＋3)，則f(t)＝2(t＋3)2－(t＋3)＝t2＋t，所以f(x)＝x2＋x.
(2)因為f(x)－3f(－x)＝2x－1，以－x代替x得f(－x)－3f(x)＝－2x－1，兩式聯立得f(x)＝x＋.
答案 (1)x2＋x (2)x＋
【訓練5】 已知f(x)是一次函數，且滿足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式．
解 設f(x)＝ax＋b(a≠0)，則3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b＝
15、ax＋5a＋b，即ax＋5a＋b＝2x＋17，不論x為何值都成立，所以解得所以f(x)＝2x＋7.
要點六 函數的概念與性質
函數單調性與奇偶性應用的常見題型
(1)用定義判斷或證明函數的單調性和奇偶性．
(2)利用函數的單調性和奇偶性求單調區(qū)間．
(3)利用函數的單調性和奇偶性比較大小，解不等式．
(4)利用函數的單調性和奇偶性求參數的取值范圍．
【例6】 已知函數f(x)＝是奇函數，且f(2)＝.
(1)求實數m和n的值；
(2)求函數f(x)在區(qū)間[－2，－1]上的最值．
解 (1)∵f(x)是奇函數，
∴f(－x)＝－f(x)，
∴＝－＝.
比較得n＝－n，
16、n＝0.
又f(2)＝，∴＝，解得m＝2.
因此，實數m和n的值分別是2和0.
(2)由(1)知f(x)＝＝＋.
任取x1，x2∈[－2，－1]，且x1＜x2，
則f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)
＝(x1－x2).
∵－2≤x1＜x2≤－1，
∴x1－x2＜0，x1x2＞1，x1x2－1＞0，
∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．
∴函數f(x)在[－2，－1]上為增函數，
∴f(x)max＝f(－1)＝－，f(x)min＝f(－2)＝－.
【訓練6】 設f(x)是定義在R上的函數，且滿足f(－x)＝f(x)，f(x)在(－∞，0)上單調遞增
17、，且f(2a2＋a＋1)0，
2a2－4a＋3＝2(a－1)2＋1>0，
由f(2a2＋a＋1)2a2－4a＋3，
得5a>2，a>.
∴a的取值范圍是a>.
要點七 函數的圖象及應用
作函數圖象的方法
(1)描點法——求定義域；化簡；列表、描點、連線．
(2)變換法——熟知函數的圖象的平移、伸
18、縮、對稱、翻轉．
①平移：y＝f(x) y＝f(xh)；
y＝f(x) y＝f(x)k.(其中h>0，k>0)
②對稱：y＝f(x)y＝f(－x)；
y＝f(x)y＝－f(x)；
y＝f(x) y＝－f(－x)．
特別提醒：要利用單調性、奇偶性、對稱性簡化作圖．
【例7】 已知函數f(x)＝x2－2|x|＋a，其中x∈[－3,3]．
(1)判斷函數f(x)的奇偶性．
(2)若a＝－1，試說明函數f(x)的單調性，并求出函數f(x)的值域．
解 (1)因為定義域[－3,3]關于原點對稱，
f(－x)＝(－x)2－2|－x|＋a
＝x2－2|x|＋a＝f(x)，
即f(－
19、x)＝f(x)，
所以f(x)是偶函數．
(2)當0≤x≤3時，f(x)＝x2－2x－1＝(x－1)2－2；
當－3≤x<0時，f(x)＝x2＋2x－1＝(x＋1)2－2.
即f(x)＝
根據二次函數的作圖方法，可得函數的圖象，如圖所示．
函數f(x)的單調區(qū)間為[－3，－1]，(－1,0)，[0,1]，(1,3]．
f(x)在區(qū)間[－3，－1]，[0,1]上為減函數，在(－1,0)，(1,3]上為增函數．
當0≤x≤3時，函數f(x)＝(x－1)2－2的最小值為f(1)＝－2，最大值為f(3)＝2；
當－3≤x<0時，函數f(x)＝(x＋1)2－2的最小值為f(－1)＝
20、－2，最大值為f(－3)＝2.
故函數f(x)的值域為[－2,2]．
【訓練7】 對于任意x∈R，函數f(x)表示－x＋3，x＋，x2－4x＋3中的較大者，則f(x)的最小值是________．
解析 首先應理解題意，“函數f(x)表示－x＋3，x＋，x2－4x＋3中的較大者”是指對某個區(qū)間而言，函數f(x)表示－x＋3，x＋，x2－4x＋3中最大的一個．
如圖，分別畫出三個函數的圖象，得到三個交點A(0,3)，B(1,2)，C(5,8)．
從圖象觀察可得函數f(x)的表達式：f(x)＝
f(x)的圖象是圖中的實線部分，圖象的最低點是點B(1,2)，所以f(x)的最小值是2.
答案 2
高中數學人教版A版必修一學案：第一單元 章末復習課 Word版含答案
