高中數(shù)學蘇教版必修4學案：第3章 章末分層突破 Word版含解析

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1、 精品資料 章末分層突破 [自我校對] ①C(α＋β) ②C2α ③S(α＋β) ④S2α ⑤T(α－β) ⑥T2α 　 求值問題 三角函數(shù)求值主要有三種類型，即 (1)“給角求值”，一般給出的角都是非特殊角，觀察發(fā)現(xiàn)題中的角與特殊角都有著一定的關系，如和或差為特殊角，必要時運用誘導公式． (2)“給值求值”，即給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些三角函數(shù)的值，這類求值問題關鍵在于結合條件和結論中的角，合理拆、配角，要注意角的范圍． (3)“給值求角”，本質上還是“給值求值”，只不過往往求出的是

2、特殊角的值，在求出角之前還需結合函數(shù)的單調性確定角，必要時還要討論角的范圍． 　已知tan α＝4，cos(α＋β)＝－，α，β均為銳角，求cos β的值． 【精彩點撥】　由tan α求sin α，由cos(α＋β)求sin(α＋β)，再利用cos β＝cos[(α＋β)－α]展開求解． 【規(guī)范解答】　因為α，β均為銳角， 所以0＜α＋β＜π，又cos(α＋β)＝－， 所以＜α＋β＜π， 且sin(α＋β)＝.因為tan α＝4， 所以sin α＝，cos α＝. 所以cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝. [再練

3、一題] 1．已知sinsin＝，α∈，求的值． 【解】　∵sinsin＝， ∴sincos＝， sin＝，即cos 2α＝. 又α∈，2α∈(π，2π)， ∴sin 2α＝－ ＝－＝－. ∴＝ ＝＝－. 化簡與證明 三角函數(shù)式的化簡與證明要遵循“三看”原則 (1)一看“角”，通過看角之間的差別與聯(lián)系，把角進行合理的拆分，從而正確使用公式． (2)二看“函數(shù)名稱”，看函數(shù)名稱之間的差異，從而確定使用的公式，常見的有“切化弦”． (3)三看“結構特征”，分析結構特征，找到變形的方向． 　求證：＝. 【精彩點撥】　先對原式進行等價變形，同時注意應用“二倍角”的正弦

4、、余弦、正切公式． 【規(guī)范解答】　證明原不等式成立，即證明 1＋sin 4θ－cos 4θ＝tan 2θ(1＋sin 4θ＋cos 4θ)成立． ∵tan 2θ(1＋sin 4θ＋cos 4θ) ＝(2cos22θ＋2sin 2θcos 2θ) ＝2sin 2θ(cos 2θ＋sin 2θ) ＝2sin 2θcos 2θ＋2sin22θ ＝sin 4θ＋1－cos 4θ. ∴＝. [再練一題] 2．化簡：. 【解】　原式＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝＝2. 三角恒等變換的綜合應用 1.進行三角恒等變換要抓?。鹤兘?、變函數(shù)名稱、變結構，尤其是角之間的關系；注

5、意公式的逆用和變形使用． 2．把形如y＝asin x＋bcos x化為y＝sin(x＋φ)，可進一步研究函數(shù)的周期、單調性、最值與對稱性． 　設向量a＝(sin x，sin x)，b＝(cos x，sin x)，x∈. (1)若|a|＝|b|，求x的值； (2)設函數(shù)f(x)＝ab，求f(x)的最大值． 【精彩點撥】　分別表示兩向量的模，利用相等求解x的值；利用數(shù)量積運算及輔助角公式化為一個角的一種函數(shù)求解． 【規(guī)范解答】　(1)由|a|2＝(sin x)2＋sin2 x＝4sin2x， |b|2＝cos2x＋sin2x＝1，及|a|＝|b|，得4sin2x＝1. 又x∈，從而

6、sin x＝，所以x＝. (2)f(x)＝ab＝sin xcos x＋sin2x ＝sin 2x－cos 2x＋＝sin＋， 當x＝∈時，sin取最大值1. 所以f(x)的最大值為. [再練一題] 3．已知函數(shù)f(x)＝cos2－sincos－. (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和值域； (2)若f(α)＝，求sin 2α的值． 【解】　(1)f(x)＝cos2－sincos－＝(1＋cos x)－sin x－＝cos. 所以f(x)的最小正周期為2π，值域為. (2)由(1)知f(α)＝cos＝， 所以cos＝. 所以sin 2α＝－cos ＝－cos ＝1－2

7、cos2＝1－＝. 轉化與化歸思想在三角變換中的應用 在三角函數(shù)的化簡、求值中，常常對條件和結論進行合理的變換，通過轉化溝通已知與未知的關系，角的轉化、函數(shù)名稱的轉化、常數(shù)代換、冪的升降變換、結構變化等技巧在解題中經(jīng)常用到，應熟練掌握． 　已知tan α＝，tan β＝－，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值． 【精彩點撥】　先求tan(2α－β)的值，再結合2α－β的范圍求2α－β的值． 【規(guī)范解答】　∵tan α＝＞0， ∴α∈，2α∈(0，π)， ∴tan 2α＝＝＝＞0， ∴2α∈， 又∵tan β＝－＜0，β∈(0，π)， ∴β∈， ∴tan(2α－β)＝

8、 ＝＝1， 又∵2α∈，β∈， ∴2α－β∈(－π，0)，∴2α－β＝－π. [再練一題] 4．已知＜α＜，0＜β＜，cos＝，sin＝，求sin(α＋β)的值． 【解】　∵＜α＜，0＜β＜， ∴－＜－α＜0，＜＋β＜π， ∴sin＝－ ＝－＝－，cos ＝－＝－， ∴sin(α＋β)＝－cos ＝－cos＝ ＝－＝. 1．(2015重慶高考改編)若tan α＝2tan，則＝________. 【解析】　∵cos＝cos＝sin， ∴原式＝＝＝. 又∵tan α＝2tan，∴原式＝＝3. 【答案】　3 2．(2016全國卷Ⅱ改編)若cos＝，則s

9、in 2α＝________. 【解析】　因為cos＝， 所以sin 2α＝cos＝cos 2 ＝2cos2－1＝2－1＝－. 【答案】?。? 3．(2016四川高考)cos2－sin2＝________. 【解析】　cos2－sin2＝cos ＝. 【答案】　 4．(2016浙江高考)已知2cos2x＋sin 2x＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0)，則A＝________，b＝________. 【解析】　∵2cos2x＋sin 2x＝1＋cos 2x＋sin 2x＝1＋sin， ∴1＋sin＝Asin(ωx＋φ)＋b，∴A＝，b＝1. 【答案】　　1 5．(2015

10、江蘇高考)已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝，則tan β的值為________． 【解析】　tan β＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝3. 【答案】　3 6．(2016江蘇高考)在△ABC中，AC＝6，cos B＝，C＝. (1)求AB的長；(2)求cos的值． 【解】　(1)因為cos B＝，0

11、os A＝－＋＝－. 因為0

12、α＝1，sin β＝1.由sin2α＋cos2α＝1得cos α＝0. ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝0＋1＝1. 【答案】　1 3．sin 163sin 223＋sin 253sin 313＝________. 【解析】　原式＝－sin 17cos 47＋cos 17sin 47 ＝sin(47－17) ＝sin 30 ＝ 【答案】　 4．化簡：＝________. 【解析】　原式＝＝tan 2α. 【答案】　tan 2α 5．若α∈，sin α＝，則tan 2α＝________. 【解析】　∵α∈，sin α＝， ∴cos α

13、＝－，∴tan α＝－， ∴tan 2α＝＝－. 【答案】　－ 6．(2016南通高一檢測)化簡： cos2－sin2＝________. 【解析】　原式＝－ ＝ ＝ ＝ ＝cos x. 【答案】　cos x 7．已知sin－cos ＝－，450＜α＜540，則tan＝________. 【解析】　已知等式兩邊平方得sin α＝，450＜α＜540， ∴cos α＝－，∴tan＝＝2. 【答案】　2 8．tan 19＋tan 41＋tan 19tan 41的值為________． 【解析】　tan 19＋tan 41＝tan 60(1－tan 19tan 41)

14、 ＝－tan 19tan 41 ∴原式＝－tan 19tan 41＋tan 19tan 41＝. 【答案】　 9．設a＝sin 14＋cos 14，b＝sin 16＋cos 16，c＝，則a，b，c的大小關系是________． 【解析】　a＝sin 59，b＝sin 61，c＝sin 60， 所以a＜c＜b. 【答案】　a＜c＜b 10．為了得到函數(shù)y＝sin 3x＋cos 3x的圖象，可以將函數(shù)y＝cos 3x的圖象向________平移________個單位． 【解析】　y＝sin 3x＋cos 3x＝cos ＝cos 3 故將y＝cos 3x的圖象向右平移個單位得

15、到y(tǒng)＝sin 3x＋cos 3x的圖象． 【答案】　右　 11．函數(shù)y＝sin xcos x＋cos2x－圖象的對稱軸方程為________． 【解析】　∵y＝sin 2x＋cos 2x＝sin ∴由2x＋＝kπ＋得x＝＋(k∈Z)． 【答案】　x＝＋，k∈Z 12．(2016蘇州高一檢測)已知點Psin π，cos π落在角θ的終邊上，且θ∈[0,2π)，則tan的值為________． 【解析】　由題意知，點P在第四象限，且落在角θ的終邊上，所以tan θ＝－1，所以tan＝＝＝2－. 【答案】　2－ 13．設α，β∈(0，π)，且sin(α＋β)＝，tan ＝，則cos

16、 β的值為________． 【解析】　由tan ＝，得sin α＝＝＝，∵α∈(0，π)，∴cos α＝， 由sin(α＋β)＝

17、【答案】　0 二、解答題(本大題共6小題，共90分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟) 15．(本小題滿分14分)已知sin α＝cos 2α，α∈，求sin 2α. 【解】　∵sin α＝1－2sin2α，即2sin2α＋sin α－1＝0， ∴sin α＝－1或sin α＝. 又∵α∈，∴sin α＝，α＝. ∴cos α＝.∴sin 2α＝2＝. 16．(本小題滿分14分)求－sin 10－tan 5的值． 【解】　原式＝－2sin 10 ＝－2sin 10 ＝－2cos 10＝ ＝＝. 17．(本小題滿分14分)已知向量a＝(cos α，sin α)，b

18、＝(cos β，sin β)，|a－b|＝. (1)求cos(α－β)的值； (2)若0＜α＜，－＜β＜0，且sin β＝－，求sin α的值． 【解】　(1)a－b＝(cos α－cos β，sin α－sin β)， |a－b|2＝(cos α－cos β)2＋(sin α－sin β)2＝2－2cos(α－β)，∴＝2－2cos(α－β)， ∴cos(α－β)＝. (2)由0＜α＜，－＜β＜0且sin β＝－， 可知cos β＝，且0＜α－β＜π， ∵cos(α－β)＝， ∴sin(α－β)＝. ∴sin α＝sin(α－β＋β) ＝sin(α－β)cos β＋co

19、s(α－β)sin β ＝＋ ＝. 18．(本小題滿分16分)已知cos＝－，sin＝且α∈，β∈. 求：(1)cos ；(2)tan(α＋β)． 【解】　(1)∵＜α＜π，0＜β＜， ∴＜α－＜π，－＜－β＜， ∴sin＝＝， cos＝＝. ∴cos＝cos ＝coscos＋sinsin2 ＝＋ ＝. (2)又α＋β∈，∴∈，且cos＜0，故tan＜0，∴tan＝－. ∴tan(α＋β)＝＝. 19．(本小題滿分16分)已知函數(shù)f(x)＝cos x(sin x＋cos x)－. (1)若0＜α＜，且sin α＝，求f(α)的值． (2)求函數(shù)f(x)的最小正

20、周期及單調遞增區(qū)間． 【解】　f(x)＝sin xcos x＋cos2x－ ＝sin 2x＋－ ＝sin 2x＋cos 2x＝sin. (1)∵0＜α＜，sin α＝，∴α＝. 從而f(α)＝sin＝sin＝. (2)T＝＝π. 由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得 kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z. ∴f(x)的單調遞增區(qū)間為，k∈Z. 20．(本小題滿分16分)如圖1，在直徑為1的圓O中，作一關于圓心對稱、鄰邊互相垂直的十字形，其中y＞x＞0. 圖1 (1)將十字形的面積表示成θ的函數(shù)； (2)求十字形的最大面積． 【解】　(1)設S為十字形面積， 則S＝2xy－x2＝2sin θcos θ－cos2θ. (2)S＝2sin θcos θ－cos2θ＝sin 2θ－cos 2θ－ ＝－ ＝sin(2θ－φ)－(設φ為銳角且tan φ＝) 當sin(2θ－φ)＝1，即2θ－φ＝時，S最大． 即當θ＝＋時，十字形取得最大面積－.