第2篇 第3節(jié) 函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用

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1、第二篇　第3節(jié) 1．(2013年高考北京卷)下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞減的是(　　) A．y＝ B．y＝e－x C．y＝－x2＋1 D．y＝lg |x| 解析：y＝是奇函數(shù)，選項(xiàng)A錯；y＝e－x是指數(shù)函數(shù)，非奇非偶，選項(xiàng)B錯；y＝lg|x|是偶函數(shù)，但在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，選項(xiàng)D錯；只有選項(xiàng)C是偶函數(shù)且在(0，＋∞)上單調(diào)遞減．故選C. 答案：C 2．已知周期為2的偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上是增函數(shù)，則f(－6.5)，f(－1)，f(0)的大小關(guān)系是(　　) A．f(－6.5)<f(0)<f(－1) B．f(0)<f

2、(－6.5)<f(－1) C．f(－1)<f(－6.5)<f(0) D．f(－1)<f(0)<f(－6.5) 解析：由條件得f(－6.5)＝f(6.5)＝f(6＋0.5)＝f(0.5)，f(－1)＝f(1)，又f(x)在區(qū)間[0,1]上是增函數(shù)，所以f(0)<f(0.5)<f(1)，故f(0)<f(－6.5)<f(－1)．故選B. 答案：B 3．(2014陜西師大附中一模)已知函數(shù)f(x)對任意x∈R都有f(x＋4)－f(x)＝2f(2)，若y＝f(x－1)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，且f(1)＝2，則f(2014)等于(　　) A

3、．2 B．3 C．4 D．0 解析：由于y＝f(x－1)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，所以y＝f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，即函數(shù)y＝f(x)是偶函數(shù)．在等式f(x＋4)－f(x)＝2f(2)中令x＝－2得f(2)－f(－2)＝2f(2)，由此可得f(2)＝0，故f(x＋4)＝f(x)，所以4是函數(shù)y＝f(x)的一個周期．f(2014)＝f(1)＝2.故選A. 答案：A 4．(2014廣東潮州質(zhì)檢)定義域?yàn)镽的奇函數(shù)f(x)，當(dāng)x∈(－∞，0)時f(x)＋xf′(x)<0恒成立，若a＝3f(3)，b＝f(1)，c＝－2f(－2)，則(　　) A．a(chǎn)>c>b B．c&

4、gt;b>a C．c>a>b D．a(chǎn)>b>c 解析：設(shè)g(x)＝xf(x)，依題意得g(x)是偶函數(shù)，當(dāng)x∈(－∞，0)時f(x)＋xf′(x)<0，即g′(x)<0恒成立，故g(x)在x∈(－∞，0)上單調(diào)遞減，則g(x)在(0，＋∞)上遞增，a＝3f(3)＝g(3)，b＝f(1)＝g(1)，c＝－2f(－2)＝g(－2)＝g(2)，故a>c>b.故選A. 答案：A 5．(2014江西南昌模擬)已知定義在R上的函數(shù)y＝f(x)滿足下列三個條件：①對任意的x∈R都有f(x＋2)＝－f(x)，②對于任意的0≤x1<x2≤2，都

5、有f(x1)<f(x2)，③y＝f(x＋2)的圖象關(guān)于y軸對稱，則下列結(jié)論中，正確的是(　　) A．f(4.5)<f(6.5)<f(7) B．f(4.5)<f(7)<f(6.5) C．f(7)<f(4.5)<f(6.5) D．f(7)<f(6.5)<f(4.5) 解析：由f(x＋2)＝－f(x)，得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即4是函數(shù)y＝f(x)的一個周期，根據(jù)②知函數(shù)y＝f(x)在[0,2]上單調(diào)遞增，根據(jù)③知函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱．f(4.5)＝f(0.5)，f(6.5)＝f(2.5)＝f(1.5)

6、，f(7)＝f(3)＝f(1)，則f(4.5)<f(7)<f(6.5)．故選B. 答案：B 6．(2014福建福州期末質(zhì)檢)能夠把圓O：x2＋y2＝9的周長和面積同時分為相等的兩部分的函數(shù)稱為圓O的“和諧函數(shù)”，下列函數(shù)不是圓O的“和諧函數(shù)”的是(　　) A．f(x)＝4x3＋x B．f(x)＝ln C．f(x)＝tan D．f(x)＝ex＋e－x 解析：選項(xiàng)A、B、C中的函數(shù)在(－3,3)上都是單調(diào)的奇函數(shù)，都能把圓的周長和面積分為相等的兩部分，只有選項(xiàng)D中的函數(shù)不是奇函數(shù)，故選D. 答案：D 二、填空題 7．(2012年高考浙江卷)設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R

7、上的周期為2的偶函數(shù)，當(dāng)x∈[0,1]時，f(x)＝x＋1，則f＝________. 解析：f＝f－＝f＝. 答案： 8．已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，函數(shù)f(x＋1)為偶函數(shù)，f(1)＝1，則f(3)＝______. 解析：法一　根據(jù)條件可得f(3)＝f(2＋1)＝f(－2＋1)＝f(－1)＝－f(1)＝－1. 法二　使用特例法，尋求函數(shù)模型，令f(x)＝sin x，則f(x＋1)＝sinx＋＝cos x，滿足以上條件，所以f(3)＝sin ＝－1. 答案：－1 9．(2014浙江溫州一模)已知函數(shù)f(x)在R上是單調(diào)函數(shù)，且滿足對任意x∈R，都有f[f(x)－2x]＝3，則f(3

8、)的值是________． 解析：根據(jù)函數(shù)f(x)的單調(diào)性，存在唯一的m，使得f(m)＝3，故f(x)－2x＝m，即f(x)＝2x＋m，令x＝m，則f(m)＝2m＋m，即3＝2m＋m，解得m＝1，所以f(x)＝2x＋1，所以f(3)＝9. 答案：9 10．(2014陜西延安一模)已知定義在R上的函數(shù)y＝f(x)滿足條件fx＋＝－f(x)，且函數(shù)y＝fx－為奇函數(shù)，給出以下四個命題： (1)函數(shù)f(x)是周期函數(shù)； (2)函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)－，0對稱； (3)函數(shù)f(x)為R上的偶函數(shù)； (4)函數(shù)f(x)為R上的單調(diào)函數(shù)． 其中真命題的序號為________．(寫出所有真

9、命題的序號) 解析：由fx＋＝－f(x)可得f(x)＝f(x＋3)?f(x)為周期函數(shù)，且T＝3，(1)為真命題； 又y＝fx－關(guān)于(0,0)對稱，y＝fx－向左平移個單位得y＝f(x)的圖象，則y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)－，0對稱，(2)為真命題； 又y＝fx－為奇函數(shù)， 所以fx－＝－f－x－， fx－－＝－f－x－＝－f(－x)， ∴fx－＝－f(－x)， f(x)＝f(x－3)＝－fx－＝f(－x)， ∴f(x)為偶函數(shù)，不可能為R上的單調(diào)函數(shù)，(3)為真命題；(4)為假命題，故真命題為(1)(2)(3)． 答案：(1)(2)(3) 三、解答題 11．設(shè)f(x)是定

10、義在R上的奇函數(shù)，且對任意實(shí)數(shù)x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．當(dāng)x∈[0,2]時，f(x)＝2x－x2. (1)求證：f(x)是周期函數(shù)； (2)當(dāng)x∈[2,4]時，求f(x)的解析式； (3)計(jì)算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2014)． (1)證明：∵f(x＋2)＝－f(x)， ∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)． ∴f(x)是周期為4的周期函數(shù)． (2)解：∵x∈[2,4]，∴－x∈[－4，－2]， ∴4－x∈[0,2]， ∴f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x－8， 又f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)， ∴－f(x)＝－x2＋

11、6x－8， 即f(x)＝x2－6x＋8，x∈[2,4]． (3)解：∵f(0)＝0，f(2)＝0，f(1)＝1，f(3)＝－1. 又f(x)是周期為4的周期函數(shù)， ∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7) ＝…＝f(2008)＋f(2009)＋f(2010)＋f(2011)＝0. ∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2012)＋f(2014)＝f(0)＋f(1)＝1. 12．已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且它的圖象關(guān)于直線x＝1對稱． (1)求證：f(x)是周期為4的周期函數(shù)； (2)若f(x)＝(0<x≤1)，求x∈

12、[－5，－4]時，函數(shù)f(x)的解析式． (1)證明：由函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，有f(x＋1)＝f(1－x)． 即有f(－x)＝f(x＋2)． 又函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)， 故有f(－x)＝－f(x)． 故f(x＋2)＝－f(x)． 從而f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)， 即f(x)是周期為4的周期函數(shù)． (2)解：由函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，有f(0)＝0. x∈[－1,0)時，－x∈(0,1]， f(x)＝－f(－x)＝－. 故x∈[－1,0]時，f(x)＝－. x∈[－5，－4]時，x＋4∈[－1,0]， f(x)＝f(x＋4)＝－. 從而，x∈[－5，－4]時， 函數(shù)f(x)＝－.