高中數(shù)學蘇教版選修22教學案:第1章 章末小結(jié) 知識整合與階段檢測

上傳人:仙*** 文檔編號:42026147 上傳時間:2021-11-24 格式:DOC 頁數(shù):11 大?。?08.50KB
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1、 精品資料 [對應(yīng)學生用書P31] 一、導(dǎo)數(shù)的概念 1.導(dǎo)數(shù) 函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上有定義,x0∈(a,b),當Δx無限趨近于0時,比值=無限趨近于一個常數(shù)A,則稱f(x)在點x=x0處可導(dǎo),稱常數(shù)A為函數(shù)f(x)在點x=x0處的導(dǎo)數(shù),記作f′(x0). 2.導(dǎo)函數(shù) 若f(x)對于區(qū)間(a,b)內(nèi)任一點都可導(dǎo),則f′(x)在各點的導(dǎo)數(shù)中隨著自變量x的變化而變化,因而也是自變量x的函數(shù),該函數(shù)稱為f(x)的導(dǎo)函數(shù).記作f′(x). 二、導(dǎo)數(shù)的幾何意義 1.f′(x0)是函數(shù)y=f(x)在x0處切線的斜率,這

2、是導(dǎo)數(shù)的幾何意義. 2.求切線方程: 常見的類型有兩種: 一是函數(shù)y=f(x)“在點x=x0處的切線方程”,這種類型中(x0,f(x0))是曲線上的點,其切線方程為 y-f(x0)=f′(x0)(x-x0). 二是函數(shù)y=f(x)“過某點的切線方程”,這種類型中,該點不一定為切點,可先設(shè)切點為Q(x1,y1),則切線方程為y-y1=f′(x1)(x-x1),再由切線過點P(x0,y0)得y0-y1=f′(x1)(x0-x1),又y1=f(x1),由上面兩個方程可解得x1,y1的值,即求出了過點P(x0,y0)的切線方程. 三、導(dǎo)數(shù)的運算 1.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù) (1)f(x)=

3、C,則f′(x)=0(C為常數(shù)); (2)f(x)=xα,則f′(x)=αxα-1(α為常數(shù)); (3)f(x)=ax(a>0且a≠1),則f′(x)=axln a; (4)f(x)=logax(a>0,且a≠1),則f′(x)=; (5)f(x)=sin x,則f′(x)=cos x; (6)f(x)=cos x,則f′(x)=-sin x. 2.導(dǎo)數(shù)四則運算法則 (1)[f(x)g(x)]′=f′(x)g′(x); (2)[f(x)g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x); (3)′=(g(x)≠0). 四、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟

4、: (1)求導(dǎo)數(shù)f′(x); (2)解不等式f′(x)>0或f′(x)<0; (3)寫出單調(diào)增區(qū)間或減區(qū)間. 特別注意寫單調(diào)區(qū)間時,區(qū)間之間用“和”或“,”隔開,絕對不能用“∪”連接. 五、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的步驟: (1)確定函數(shù)f(x)的定義域; (2)求方程f′(x)=0的根; (3)檢驗f′(x)=0的根的兩側(cè)的f′(x)的符號,若左正右負,則f(x)在此根處取得極大值. 若左負右正,則f(x)在此根處取得極小值,否則此根不是f(x)的極值點. 六、求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上的最大值、最小值的方法與步驟 (1)求f(x)在(a,b)內(nèi)的

5、極值; (2)將(1)求得的極值與f(a)、f(b)相比較,其中最大的一個值為最大值,最小的一個值為最小值. 特別地,①當f(x)在[a,b]上單調(diào)時,其最小值、最大值在區(qū)間端點取得;②當f(x)在(a,b)內(nèi)只有一個極值點時,若在這一點處f(x)有極大(或極小)值,則可以判斷f(x)在該點處取得最大(或最小)值,這里(a,b)也可以是(-∞,+∞). 七、導(dǎo)數(shù)的實際應(yīng)用 利用導(dǎo)數(shù)求實際問題的最大(小)值時,應(yīng)注意的問題: (1)求實際問題的最大(小)值時,一定要從問題的實際意義去考查,不符合實際意義的值應(yīng)舍去. (2)在實際問題中,由f′(x)=0常常僅解到一個根,若能判斷函數(shù)的

6、最大(小)值在x的變化區(qū)間內(nèi)部得到,則這個根處的函數(shù)值就是所求的最大(小)值. 八.定積分 (1)定積分是一個數(shù)值.定積分的定義體現(xiàn)的基本思想是:先分后合、化曲為直(以不變代變). 定積分的幾何意義是指相應(yīng)直線、曲線所圍曲邊梯形的面積.要注意區(qū)分f(x)dx,|f(x)|dx及三者的不同. (2)微積分基本定理是計算定積分的一般方法,關(guān)鍵是求被積函數(shù)的原函數(shù).而求被積函數(shù)的原函數(shù)和求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)恰好互為逆運算,要注意它們在計算和求解中的不同,避免混淆.   一、填空題(本大題共14個小題,每小題5分,共70分,把答案填在題中橫線上) 1.已知函數(shù)f(x)=ax2+c,且f′(1)

7、=2,則a的值為________. 解析:∵f(x)=ax2+c,∴f′(x)=2ax, ∴f′(1)=2a, 又∵f′(1)=2,∴a=1. 答案:1 2.曲線y=x3-4x在點(1,-3)處的切線的傾斜角為________. 解析:∵y′=3x2-4, ∴當x=1時,y′=-1,即tan α=-1. 又∵α∈(0,π),∴α=π. 答案:π 3.已知函數(shù)f(x)=-x3+ax2-x+18在(-∞,+∞)上是單調(diào)函數(shù),則實數(shù)a的取值范圍是________. 解析:由題意得f′(x)=-3x2+2ax-1≤0在(-∞,+∞)上恒成立,因此Δ=4a2-12≤0?-≤a≤,所

8、以實數(shù)a的取值范圍是[-,]. 答案:[-,] 4.y=2x3-3x2+a的極大值為6,則a=________. 解析:y′=6x2-6x=6x(x-1), 令y′=0,則x=0或x=1. 當x=0時,y=a,當x=1時,y=a-1. 由題意知a=6. 答案:6 5.函數(shù)y=的導(dǎo)數(shù)為________. 解析:y′=′ = =. 答案: 6.若(x-k)dx=,則實數(shù)k的值為________. 解析:(x-k)dx==-k=, 解得k=-1. 答案:-1 7.函數(shù)f(x)=x2-ln x的單調(diào)遞減區(qū)間是________. 解析:∵f′(x)=2x-=. 令f

9、′(x)<0,因為x∈(0,+∞), ∴2x2-1<0,即0

10、x3在第一象限內(nèi)圍成的封閉圖形的面積為==4. 答案:4 10.若f(x)=則f(x)dx=________. 解析:因為f(x)dx=(-x)dx+(x2+3)dx. 因為′=-x,′=x2+3, 所以f(x)dx=-x2+=. 答案: 11.設(shè)曲線y=xn+1(n∈N*)在點(1,1)處的切線與x軸的交點的橫坐標為xn,令an=lg xn,則a1+a2+…+a99=________. 解析:由于y′=n+1,∴曲線在點(1,1)處的切線為y-1=(n+1)(x-1),令y=0,得x=xn=, ∴an=lg,∴原式=lg +lg+…+lg=lg=lg=-2. 答案:-2

11、 12.若函數(shù)f(x)=2x2-ln x在其定義域的一個子區(qū)間(k-1,k+1)內(nèi)不是單調(diào)函數(shù),則實數(shù)k的取值范圍是________. 解析:∵f′(x)=4x-=,x>0,∴當0時,f′(x)>0,f(x)為增函數(shù),依題意得∴1≤k<. 答案: 13.周長為20 cm的矩形,繞一條邊旋轉(zhuǎn)成一個圓柱,則圓柱體積的最大值為________. 解析:設(shè)矩形一邊長為x cm,則鄰邊長為(10-x)cm; 體積V=πx2(10-x)=π(10x2-x3), 由V′=π(20x-3x2)=0得x=0(舍去), x=可以判斷x=時,Vmax=

12、π(cm3). 答案:π cm3 14.已知f(x)定義域為(0,+∞),f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f(x)<-xf′(x),則不等式f(x+1)>(x-1)f(x2-1)的解集是________. 解析:令g(x)=xf(x) 則g′(x)=f(x)+xf′(x)<0. ∴g(x)在(0,+∞)上為減函數(shù). 又∵f(x+1)>(x-1)f(x2-1), ∴(x+1)f(x+1)>(x2-1)f(x2-1), ∴? ∴x>2. 答案:{x|x>2} 二、解答題(本大題共6個小題,共90分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟) 15.(本小題滿分14分)已知

13、函數(shù)f(x)=ax2-ax+b,f(1)=2,f′(1)=1. (1)求f(x)的解析式; (2)求f(x)在(1,2)處的切線方程. 解:(1)f′(x)=2ax-a, 由已知得 解得 所以f(x)=x2-2x+. (2)函數(shù)f(x)在(1,2)處的切線方程為y-2=x-1, 即x-y+1=0. 16.(本小題滿分14分)求下列定積分. (1)(1-t3)dt; (2)(cos x+ex)dx; (3)dx. 解:(1)∵′=1-t3, ∴(1-t3)dt==-(-2-4)=. (2)∵(sin x+ex)′=cos x+ex, ∴(cos x+ex)dx=(s

14、in x+ex) =1-e-π=1-. (3)dx=dx 取F(x)=x2-3x-, 則F′(x)=x-3+, dx=F(4)-F(2) =- =. 17.(本小題滿分14分)已知x=1是函數(shù)f(x)=ax3-x2+(a+1)x+5的一個極值點. (1)求函數(shù)f(x)的解析式; (2)若曲線y=f(x)與直線y=2x+m有三個交點,求實數(shù)m的取值范圍. 解:(1)依題意f′(x)=ax2-3x+a+1, 由f′(1)=0得a=1, ∴函數(shù)f(x)的解析式為f(x)=x3-x2+2x+5. (2)曲線y=f(x)與直線y=2x+m有三個交點, 即x3-x2+2x+5

15、-2x-m=0有三個實數(shù)根, 令g(x)=x3-x2+2x+5-2x-m=x3-x2+5-m,則g(x)有三個零點. 由g′(x)=x2-3x=0得x=0或x=3. 令g′(x)>0得x<0或x>3;令g′(x)<0得0

16、點(1,f(1))處的切線與曲線y=g(x)的公共點個數(shù); (2)當x∈時,若函數(shù)y=f(x)-g(x)有兩個零點,求a的取值范圍. 解:(1)f′(x)=ln x+1,所以斜率k=f′(1)=1. 又f(1)=0,曲線在點(1,0)處的切線方程為y=x-1. 由?x2+(1-a)x+1=0. 由Δ=(1-a)2-4=a2-2a-3可知: 當Δ>0時,即a<-1或a>3時,有兩個公共點; 當Δ=0時,即a=-1或a=3時,有一個公共點; 當Δ<0時,即-1<a<3時,沒有公共點. (2)y=f(x)-g(x)=x2-ax+2+xln x, 由y=0得a=x++ln x.

17、令h(x)=x++ln x, 則h′(x)=. 當x∈,由h′(x)=0得x=1. 所以h(x)在上單調(diào)遞減,在[1,e]上單調(diào)遞增, 故hmin(x)=h(1)=3. 由h=+2e-1,h(e)=e++1, 比較可知h>h(e). 所以,當3<a≤e++1時,函數(shù)y=f(x)-g(x)有兩個零點. 19.(本題滿分16分)某公司將進貨單價為a元(a為常數(shù),3≤a≤6)一件的商品按x元(7≤x≤10)一件銷售,一個月的銷售量為(12-x)2萬件. (1)求該公司經(jīng)銷此種商品一個月的利潤L(x)(萬元)與每件商品的售價x(元)的函數(shù)關(guān)系式; (2)當每件商品的售價為多少元時,

18、L(x)取得最大值?并求L(x)的最大值. 解:(1)L(x)=(x-a)(12-x)2(7≤x≤10). (2)L′(x)=(12-x)2+(x-a)(2x-24) =(12-x)(12+2a-3x). 令L′(x)=0得x=或x=12. 由a∈[3,6]得∈[6,8]. 當∈[6,7],即3≤a≤時, L(x)在[7,10]上是減函數(shù), L(x)的最大值為L(7)=25(7-a); 當∈(7,8],即

19、a); 若

20、 當a<0時,令g(x)=ax2+(2a+2)x+a, 由于Δ=(2a+2)2-4a2=4(2a+1), ①當a=-時,Δ=0, f′(x)=≤0,函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減. ②當a<-時,Δ<0,g(x)<0, f′(x)<0,函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減. ③當-<a<0,Δ>0. 設(shè)x1,x2(x1<x2)是函數(shù)g(x)的兩個零點, 則x1=,x2=. 由x1= =>0, 所以x∈(0,x1)時,g(x)<0,f′(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減, x∈(x1,x2)時,g(x)>0,f′(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增, x∈(x2,+∞)時,g(x)<0,f′(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減, 綜上可得: 當a≥0時,函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增; 當a≤-時,函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減; 當-<a<0時,f(x)在, 上單調(diào)遞減, 在上單調(diào)遞增.

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