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1、 精品資料
[對應(yīng)學生用書P31]
一、導(dǎo)數(shù)的概念
1.導(dǎo)數(shù)
函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上有定義,x0∈(a,b),當Δx無限趨近于0時,比值=無限趨近于一個常數(shù)A,則稱f(x)在點x=x0處可導(dǎo),稱常數(shù)A為函數(shù)f(x)在點x=x0處的導(dǎo)數(shù),記作f′(x0).
2.導(dǎo)函數(shù)
若f(x)對于區(qū)間(a,b)內(nèi)任一點都可導(dǎo),則f′(x)在各點的導(dǎo)數(shù)中隨著自變量x的變化而變化,因而也是自變量x的函數(shù),該函數(shù)稱為f(x)的導(dǎo)函數(shù).記作f′(x).
二、導(dǎo)數(shù)的幾何意義
1.f′(x0)是函數(shù)y=f(x)在x0處切線的斜率,這
2、是導(dǎo)數(shù)的幾何意義.
2.求切線方程:
常見的類型有兩種:
一是函數(shù)y=f(x)“在點x=x0處的切線方程”,這種類型中(x0,f(x0))是曲線上的點,其切線方程為
y-f(x0)=f′(x0)(x-x0).
二是函數(shù)y=f(x)“過某點的切線方程”,這種類型中,該點不一定為切點,可先設(shè)切點為Q(x1,y1),則切線方程為y-y1=f′(x1)(x-x1),再由切線過點P(x0,y0)得y0-y1=f′(x1)(x0-x1),又y1=f(x1),由上面兩個方程可解得x1,y1的值,即求出了過點P(x0,y0)的切線方程.
三、導(dǎo)數(shù)的運算
1.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
(1)f(x)=
3、C,則f′(x)=0(C為常數(shù));
(2)f(x)=xα,則f′(x)=αxα-1(α為常數(shù));
(3)f(x)=ax(a>0且a≠1),則f′(x)=axln a;
(4)f(x)=logax(a>0,且a≠1),則f′(x)=;
(5)f(x)=sin x,則f′(x)=cos x;
(6)f(x)=cos x,則f′(x)=-sin x.
2.導(dǎo)數(shù)四則運算法則
(1)[f(x)g(x)]′=f′(x)g′(x);
(2)[f(x)g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x);
(3)′=(g(x)≠0).
四、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性
利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟
4、:
(1)求導(dǎo)數(shù)f′(x);
(2)解不等式f′(x)>0或f′(x)<0;
(3)寫出單調(diào)增區(qū)間或減區(qū)間.
特別注意寫單調(diào)區(qū)間時,區(qū)間之間用“和”或“,”隔開,絕對不能用“∪”連接.
五、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值
利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的步驟:
(1)確定函數(shù)f(x)的定義域;
(2)求方程f′(x)=0的根;
(3)檢驗f′(x)=0的根的兩側(cè)的f′(x)的符號,若左正右負,則f(x)在此根處取得極大值.
若左負右正,則f(x)在此根處取得極小值,否則此根不是f(x)的極值點.
六、求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上的最大值、最小值的方法與步驟
(1)求f(x)在(a,b)內(nèi)的
5、極值;
(2)將(1)求得的極值與f(a)、f(b)相比較,其中最大的一個值為最大值,最小的一個值為最小值.
特別地,①當f(x)在[a,b]上單調(diào)時,其最小值、最大值在區(qū)間端點取得;②當f(x)在(a,b)內(nèi)只有一個極值點時,若在這一點處f(x)有極大(或極小)值,則可以判斷f(x)在該點處取得最大(或最小)值,這里(a,b)也可以是(-∞,+∞).
七、導(dǎo)數(shù)的實際應(yīng)用
利用導(dǎo)數(shù)求實際問題的最大(小)值時,應(yīng)注意的問題:
(1)求實際問題的最大(小)值時,一定要從問題的實際意義去考查,不符合實際意義的值應(yīng)舍去.
(2)在實際問題中,由f′(x)=0常常僅解到一個根,若能判斷函數(shù)的
6、最大(小)值在x的變化區(qū)間內(nèi)部得到,則這個根處的函數(shù)值就是所求的最大(小)值.
八.定積分
(1)定積分是一個數(shù)值.定積分的定義體現(xiàn)的基本思想是:先分后合、化曲為直(以不變代變).
定積分的幾何意義是指相應(yīng)直線、曲線所圍曲邊梯形的面積.要注意區(qū)分f(x)dx,|f(x)|dx及三者的不同.
(2)微積分基本定理是計算定積分的一般方法,關(guān)鍵是求被積函數(shù)的原函數(shù).而求被積函數(shù)的原函數(shù)和求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)恰好互為逆運算,要注意它們在計算和求解中的不同,避免混淆.
一、填空題(本大題共14個小題,每小題5分,共70分,把答案填在題中橫線上)
1.已知函數(shù)f(x)=ax2+c,且f′(1)
7、=2,則a的值為________.
解析:∵f(x)=ax2+c,∴f′(x)=2ax,
∴f′(1)=2a,
又∵f′(1)=2,∴a=1.
答案:1
2.曲線y=x3-4x在點(1,-3)處的切線的傾斜角為________.
解析:∵y′=3x2-4,
∴當x=1時,y′=-1,即tan α=-1.
又∵α∈(0,π),∴α=π.
答案:π
3.已知函數(shù)f(x)=-x3+ax2-x+18在(-∞,+∞)上是單調(diào)函數(shù),則實數(shù)a的取值范圍是________.
解析:由題意得f′(x)=-3x2+2ax-1≤0在(-∞,+∞)上恒成立,因此Δ=4a2-12≤0?-≤a≤,所
8、以實數(shù)a的取值范圍是[-,].
答案:[-,]
4.y=2x3-3x2+a的極大值為6,則a=________.
解析:y′=6x2-6x=6x(x-1),
令y′=0,則x=0或x=1.
當x=0時,y=a,當x=1時,y=a-1.
由題意知a=6.
答案:6
5.函數(shù)y=的導(dǎo)數(shù)為________.
解析:y′=′
=
=.
答案:
6.若(x-k)dx=,則實數(shù)k的值為________.
解析:(x-k)dx==-k=,
解得k=-1.
答案:-1
7.函數(shù)f(x)=x2-ln x的單調(diào)遞減區(qū)間是________.
解析:∵f′(x)=2x-=.
令f
9、′(x)<0,因為x∈(0,+∞),
∴2x2-1<0,即0
10、x3在第一象限內(nèi)圍成的封閉圖形的面積為==4.
答案:4
10.若f(x)=則f(x)dx=________.
解析:因為f(x)dx=(-x)dx+(x2+3)dx.
因為′=-x,′=x2+3,
所以f(x)dx=-x2+=.
答案:
11.設(shè)曲線y=xn+1(n∈N*)在點(1,1)處的切線與x軸的交點的橫坐標為xn,令an=lg xn,則a1+a2+…+a99=________.
解析:由于y′=n+1,∴曲線在點(1,1)處的切線為y-1=(n+1)(x-1),令y=0,得x=xn=,
∴an=lg,∴原式=lg +lg+…+lg=lg=lg=-2.
答案:-2
11、
12.若函數(shù)f(x)=2x2-ln x在其定義域的一個子區(qū)間(k-1,k+1)內(nèi)不是單調(diào)函數(shù),則實數(shù)k的取值范圍是________.
解析:∵f′(x)=4x-=,x>0,∴當0時,f′(x)>0,f(x)為增函數(shù),依題意得∴1≤k<.
答案:
13.周長為20 cm的矩形,繞一條邊旋轉(zhuǎn)成一個圓柱,則圓柱體積的最大值為________.
解析:設(shè)矩形一邊長為x cm,則鄰邊長為(10-x)cm;
體積V=πx2(10-x)=π(10x2-x3),
由V′=π(20x-3x2)=0得x=0(舍去),
x=可以判斷x=時,Vmax=
12、π(cm3).
答案:π cm3
14.已知f(x)定義域為(0,+∞),f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f(x)<-xf′(x),則不等式f(x+1)>(x-1)f(x2-1)的解集是________.
解析:令g(x)=xf(x)
則g′(x)=f(x)+xf′(x)<0.
∴g(x)在(0,+∞)上為減函數(shù).
又∵f(x+1)>(x-1)f(x2-1),
∴(x+1)f(x+1)>(x2-1)f(x2-1),
∴?
∴x>2.
答案:{x|x>2}
二、解答題(本大題共6個小題,共90分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
15.(本小題滿分14分)已知
13、函數(shù)f(x)=ax2-ax+b,f(1)=2,f′(1)=1.
(1)求f(x)的解析式;
(2)求f(x)在(1,2)處的切線方程.
解:(1)f′(x)=2ax-a,
由已知得 解得
所以f(x)=x2-2x+.
(2)函數(shù)f(x)在(1,2)處的切線方程為y-2=x-1,
即x-y+1=0.
16.(本小題滿分14分)求下列定積分.
(1)(1-t3)dt;
(2)(cos x+ex)dx;
(3)dx.
解:(1)∵′=1-t3,
∴(1-t3)dt==-(-2-4)=.
(2)∵(sin x+ex)′=cos x+ex,
∴(cos x+ex)dx=(s
14、in x+ex)
=1-e-π=1-.
(3)dx=dx
取F(x)=x2-3x-,
則F′(x)=x-3+,
dx=F(4)-F(2)
=-
=.
17.(本小題滿分14分)已知x=1是函數(shù)f(x)=ax3-x2+(a+1)x+5的一個極值點.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)若曲線y=f(x)與直線y=2x+m有三個交點,求實數(shù)m的取值范圍.
解:(1)依題意f′(x)=ax2-3x+a+1,
由f′(1)=0得a=1,
∴函數(shù)f(x)的解析式為f(x)=x3-x2+2x+5.
(2)曲線y=f(x)與直線y=2x+m有三個交點,
即x3-x2+2x+5
15、-2x-m=0有三個實數(shù)根,
令g(x)=x3-x2+2x+5-2x-m=x3-x2+5-m,則g(x)有三個零點.
由g′(x)=x2-3x=0得x=0或x=3.
令g′(x)>0得x<0或x>3;令g′(x)<0得0
16、點(1,f(1))處的切線與曲線y=g(x)的公共點個數(shù);
(2)當x∈時,若函數(shù)y=f(x)-g(x)有兩個零點,求a的取值范圍.
解:(1)f′(x)=ln x+1,所以斜率k=f′(1)=1.
又f(1)=0,曲線在點(1,0)處的切線方程為y=x-1.
由?x2+(1-a)x+1=0.
由Δ=(1-a)2-4=a2-2a-3可知:
當Δ>0時,即a<-1或a>3時,有兩個公共點;
當Δ=0時,即a=-1或a=3時,有一個公共點;
當Δ<0時,即-1<a<3時,沒有公共點.
(2)y=f(x)-g(x)=x2-ax+2+xln x,
由y=0得a=x++ln x.
17、令h(x)=x++ln x,
則h′(x)=.
當x∈,由h′(x)=0得x=1.
所以h(x)在上單調(diào)遞減,在[1,e]上單調(diào)遞增,
故hmin(x)=h(1)=3.
由h=+2e-1,h(e)=e++1,
比較可知h>h(e).
所以,當3<a≤e++1時,函數(shù)y=f(x)-g(x)有兩個零點.
19.(本題滿分16分)某公司將進貨單價為a元(a為常數(shù),3≤a≤6)一件的商品按x元(7≤x≤10)一件銷售,一個月的銷售量為(12-x)2萬件.
(1)求該公司經(jīng)銷此種商品一個月的利潤L(x)(萬元)與每件商品的售價x(元)的函數(shù)關(guān)系式;
(2)當每件商品的售價為多少元時,
18、L(x)取得最大值?并求L(x)的最大值.
解:(1)L(x)=(x-a)(12-x)2(7≤x≤10).
(2)L′(x)=(12-x)2+(x-a)(2x-24)
=(12-x)(12+2a-3x).
令L′(x)=0得x=或x=12.
由a∈[3,6]得∈[6,8].
當∈[6,7],即3≤a≤時,
L(x)在[7,10]上是減函數(shù),
L(x)的最大值為L(7)=25(7-a);
當∈(7,8],即
19、a);
若
20、
當a<0時,令g(x)=ax2+(2a+2)x+a,
由于Δ=(2a+2)2-4a2=4(2a+1),
①當a=-時,Δ=0,
f′(x)=≤0,函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減.
②當a<-時,Δ<0,g(x)<0,
f′(x)<0,函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減.
③當-<a<0,Δ>0.
設(shè)x1,x2(x1<x2)是函數(shù)g(x)的兩個零點,
則x1=,x2=.
由x1=
=>0,
所以x∈(0,x1)時,g(x)<0,f′(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減,
x∈(x1,x2)時,g(x)>0,f′(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,
x∈(x2,+∞)時,g(x)<0,f′(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減,
綜上可得:
當a≥0時,函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增;
當a≤-時,函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減;
當-<a<0時,f(x)在,
上單調(diào)遞減,
在上單調(diào)遞增.