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1、精編北師大版數(shù)學(xué)資料
【成才之路】2015-2016學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第4章 3定積分的簡單應(yīng)用課時(shí)作業(yè) 北師大版選修2-2
一、選擇題
1．已知自由下落物體的速度為v＝gt，則物體從t＝0到t＝t0所走過的路程為( )
A．gt B．gt
C.gt D．gt
[答案] C
[解析] gtdt＝gt2|＝gt.
2．如果1 N的力能把彈簧拉長1 cm，為了將彈簧拉長6 cm，所耗費(fèi)的功為( )
A．0.18 J B．0.26 J
C．0.12 J D．0.28 J
[答案] A
[解析] 設(shè)F(x)＝kx.
當(dāng)F＝1 N時(shí)，x＝0.01 m，則k＝100
2、，
所以F(x)＝100x，
所以W＝∫100xdx＝50x2|＝0.18 J.
3．(2014湖北理，6)若函數(shù)f(x)，g(x)滿足f(x)g(x)dx＝0，則稱f(x)，g(x)為區(qū)間[－1,1]上的一組正交函數(shù)，給出三組函數(shù)：
①f(x)＝sinx，g(x)＝cosx；②f(x)＝x＋1，g(x)＝x－1；③f(x)＝x，g(x)＝x2.
其中為區(qū)間[－1,1]上的正交函數(shù)的組數(shù)是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] C
[解析] 由題意，要滿足f(x)，g(x)是區(qū)間[－1,1]上的正交函數(shù)，即需滿足f(x)g(x)dx＝0.
① f(x)g(x
3、)dx＝sinxcosxdx＝sinxdx＝(－cosx)|＝0，故第①組是區(qū)間[－1,1]上的正交函數(shù)；
②f(x)g(x)dx＝－1(x＋1)(x－1)dx＝(－x)|＝－≠0，故第②組不是區(qū)間[－1,1]上的正交函數(shù)；
③f(x)g(x)dx＝xx2dx＝|＝0，故第③組是區(qū)間[－1,1]上的正交函數(shù)．
綜上，其中為區(qū)間[－1,1]上的正交函數(shù)的組數(shù)是2.
4．直線y＝2x，x＝1，x＝2與x軸圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)圓臺(tái)，則該圓臺(tái)的體積為( )
A． B．32π
C． D．3π
[答案] A
[解析] 由V＝π(2x)2dx＝π4x2dx＝4π
4、x2dx＝4πx3|＝(8－1)＝.
5．如圖所示，在邊長為1的正方形OABC中任取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P恰好取自陰影部分的概率為( )
A． B．
C． D．
[答案] C
[解析] 本題考查了定積分的計(jì)算與幾何概型的算法，聯(lián)立∴O(0,0)，B(1,1)，
∴S陰影＝(－x)dx＝(x－)|＝－＝，∴P＝＝＝.
定積分的幾何意義是四邊梯形的面積，幾何概型的概率計(jì)算方法是幾何度量的比值．
二、填空題
6．設(shè)函數(shù)f(x)＝ax2＋c(a≠0)，若 f(x)dx＝f(x0)，0≤x0≤1，則x0的值為________．
[答案]
[解析] 因?yàn)?x3＋cx)′＝
5、ax2＋c，所以 f(x)dx＝(ax2＋c)dx＝(x3＋cx)|＝＋c＝ax＋c，解得x0＝或x0＝－(舍去)．故填.
7．(2015福建理，13)如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,4)，函數(shù)f(x)＝x2.若在矩形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率等于________．
[答案]
[解析] 由已知得陰影部分面積為4－x2dx＝4－＝.所以此點(diǎn)取自陰影部分的概率等于＝.
8．(2014寧波五校聯(lián)考)由曲線y＝2x2，直線y＝－4x－2，直線x＝1圍成的封閉圖形的面積為________．
[答案]
[解析] 聯(lián)立
解得直線與拋物線的交點(diǎn)橫坐標(biāo)
6、為x＝－1，
由題意得，由曲線y＝2x2，直線y＝－4x－2，
直線x＝1圍成的封閉圖形的面積為：
(2x2＋4x＋2)dx
＝(x3＋2x2＋2x) ＝＋2＋2＋－2＋2＝.
三、解答題
9．求由曲線y＝2x－x2，y＝2x2－4x所圍成圖形的面積．
[解析] 由
得x1＝0，x2＝2.
如圖所示，所求圖形的面積
S＝(2x－x2)dx＋|(2x2－4x)dx|
＝(2x－x2)dx－(2x2－4x)dx
＝(x2－x3)|－(x3－2x2)|＝4.
10．求由曲線y＝sinx與x軸在區(qū)間[0,2π]上所圍成的圖形的面積S.
[分析] y＝sinx在[0，
7、π]上的積分為正值，在[π，2π]上的積分為負(fù)值，其面積應(yīng)取絕對(duì)值．
[解析] 如圖所示，所求面積
S＝sinxdx＋|∫sinxdx|＝(－cosx)|－(－cosx)|＝4.
一、選擇題
1．求曲線y＝x2與直線y＝x所圍成圖形的面積，其中正確的是( )
A．S＝(x2－x)dx B．S＝(x－x2)dx
C．S＝(y2－y)dy D．S＝(y－)dy
[答案] B
[解析] 作出圖形，容易判斷應(yīng)選B.
2．由曲線y＝，直線y＝x－2及y軸所圍成的圖形的面積為( )
A． B．4
C. D．6
[答案] C
[解析] 由題意知，所圍成的面
8、積[－(x－2)]dx＝(x－x2＋2x)|＝4－42＋24＝.
[點(diǎn)評(píng)] 本小題重在考查由兩條曲線與y軸所圍成的曲邊形的面積，要注意用函數(shù)值較大的減去函數(shù)值較小函數(shù)的積分值，并注意積分上、下限范圍．
3．(2014廣州模擬)物體A以v＝3t3＋1(m/s)的速度在一直線l上運(yùn)動(dòng)，物體B在直線l上，且在物體A的正前方5 m處，同時(shí)以v＝10t(m/s)的速度與A同向運(yùn)動(dòng)，出發(fā)后物體A追上物體B所用的時(shí)間t(s)為( )
A．3 B．4
C．5 D．6
[答案] C
[解析] 因?yàn)槲矬wA在t秒內(nèi)行駛的路程為(3t2＋1)dt，物體B在t秒內(nèi)行駛的路程為10tdt，所以(3t2＋
9、1－10t)dt＝(t3＋t－5t2)|＝t3＋t－5t2＝5?(t－5)(t2＋1)＝0，即t＝5.
二、填空題
4．由直線y＝x和曲線y＝x3(x≥0)所圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)，求所得旋轉(zhuǎn)體的體積為________．
[答案]
[解析] 由
求得或
所以V＝πx2dx－πx6dx
＝πx2dx－πx6dx
＝π
＝π＝.
5．拋物線y＝x2與直線y＝x所圍成的圖形的面積是________．
[答案]
[解析] 如圖，y＝x2與y＝x的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0)和(，)，所以所求的面積為
S＝ (x－x2)dx＝(x2－x3)
＝[()2－()3]－0＝.
10、
6．曲線y＝ex，直線x＝0，x＝與x軸圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為________．
[答案]
[解析] V＝π(ex)2dx＝πe2xdx＝＝(e－1)＝.
三、解答題
7．計(jì)算(y－1)2＝x＋1及y＝x所圍的平面圖形的面積．
[分析] 首先畫出草圖(如圖所示)，若選x為積分變量，則需將圖形分割，運(yùn)算繁瑣，可選用y作為積分變量，為此求出兩線交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，確定出被積函數(shù)和積分的上、下限．
[解析] 將已知條件改寫為x＝y(tǒng)以及x＝(y－1)2－1，由圖知所求面積為陰影部分的面積．
解方程組得交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為y1＝0及y2＝3，
因此，陰影部分面積
11、S＝{y－[(y－1)2－1]}dy＝(3y－y2)dy＝＝.
[點(diǎn)評(píng)] 解此類問題要注意觀察草圖及被積函數(shù)式子的特點(diǎn)，靈活選用積分變量．
8．求由曲線y＝x2，直線y＝x所圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積．
[解析] 曲線y＝x2與直線y＝x所圍成的圖形如圖中陰影部分．
設(shè)所得旋轉(zhuǎn)體的體積為V，根據(jù)圖像可以看出V等于直線y＝x，x＝1與x軸所圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積(設(shè)為V1)減去曲線y＝x2，直線x＝1與x軸所圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積(設(shè)為V2)．
因?yàn)閂1＝πx2dx＝＝(13－03)＝，
V2＝π(x2)2dx＝πx4dx＝＝，
所以V＝V1－V2＝－＝.
[點(diǎn)評(píng)] 求旋轉(zhuǎn)體的體積時(shí)，要先畫出平面圖形，分析旋轉(zhuǎn)體的形狀，再利用定積分求解，本題中所求的旋轉(zhuǎn)體的體積是由兩個(gè)不同的旋轉(zhuǎn)體的體積作差得到的．
精編高中數(shù)學(xué) 第4章 3定積分的簡單應(yīng)用課時(shí)作業(yè) 北師大版選修22
