《新教材高中數(shù)學(xué)北師大版選修21課時(shí)作業(yè):第2章 習(xí)題課2 Word版含解析》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《新教材高中數(shù)學(xué)北師大版選修21課時(shí)作業(yè):第2章 習(xí)題課2 Word版含解析(8頁珍藏版)》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、(新教材)北師大版精品數(shù)學(xué)資料
習(xí)題課(2)
一、選擇題
1.若A(1,-2,3),B(2,5,6)在直線l上,則直線l的一個(gè)方向向量為( )
A.(1,-2,3) B.(2,5,6)
C.(1,7,3) D.(-1,-7,3)
解析:∵=(1,7,3),
又與平行的非零向量都可作為l的方向向量,
∴(1,7,3)=可作為l的方向向量.
答案:C
2.已知=(2,2,1),=(4,5,3),則平面ABC的一個(gè)單位法向量為( )
A.(-,-,-) B.(-,,-)
C.(-,,) D.(,,)
解析:設(shè)平面ABC的法向量為n=(x,y,z),則有
取
2、x=1,則y=-2,z=2.
所以n=(1,-2,2).因?yàn)閨n|=3,
所以平面ABC的一個(gè)單位法向量可以是
(-,,-).
答案:B
3.已知平面α內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)A(2,-1,2),α的一個(gè)法向量為n=(3,1,2),則下列點(diǎn)P中,在平面α內(nèi)的是( )
A.(1,-1,1) B.(1,3,)
C.(1,-3,) D.(-1,3,-)
解析:∵n為α的一個(gè)法向量,∴n=0,把P點(diǎn)依次代入滿足上式即可.
答案:B
4.如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P分別是棱CC1,BC,A1B1上的點(diǎn),若∠B1MN=90,則∠PMN的大小是( )
A.等于9
3、0 B.小于90
C.大于90 D.不確定
解析:∵A1B1⊥平面BCC1B1,∴A1B1⊥MN,
∵=(+)
=+=0,
∴MP⊥MN,即∠PMN=90.
答案:A
5.[2014遼寧大連一模]長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=1,E為CC1的中點(diǎn),則異面直線BC1與AE所成角的余弦值為( )
A. B.
C. D.
解析:建立坐標(biāo)系如圖,則A(1,0,0),E(0,2,1),B(1,2,0),C1(0,2,2).
=(-1,0,2),=(-1,2,1),
cos〈,〉==.
所以異面直線BC1與AE所成角的余弦值為.
答案:B
4、
6.如右圖所示 ,已知點(diǎn)P為菱形ABCD外一點(diǎn),且PA⊥面ABCD,PA=AD=AC,點(diǎn)F為PC中點(diǎn),則二面角C-BF-D的正切值為( )
A. B.
C. D.
解析:如右圖所示,連接BD,AC∩BD=O,連接OF.以O(shè)為原點(diǎn),OB、OC、OF所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.設(shè)PA=AD=AC=1,則BD=.所以B,F(xiàn),
C,D.
結(jié)合圖形可知,=且為面BOF的一個(gè)法向量,
由=,=,
可求得面BCF的一個(gè)法向量n=(1,,).
所以cos〈n,〉=,sin〈n,〉=,
所以tan〈n,〉=.
答案:D
二、填空題
7.若A(0,2,
5、),B(1,-1,),C(-2,1,)是平面α內(nèi)的三點(diǎn),設(shè)平面α的法向量a=(x,y,z),則x∶y∶z=________.
解析:=(1,-3,-),
=(-2,-1,-),由
得解得
則x∶y∶z=y(tǒng)∶y∶(-y)=2∶3∶(-4).
答案:2∶3∶(-4)
8.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,直線BC1與平面A1BD所成角的余弦值是__________.
解析:建立如右圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
設(shè)棱長為1,則B(1,1,0),C1(0,1,1),A1(1,0,1),D(0,0,0),=(-1,0,1),=(-1,0,-1),=(-1,-1,0),設(shè)平面A1BD的
6、一個(gè)法向量為n=(1,x,y),設(shè)平面A1BD與BC1所成的角為θ,n⊥,n⊥,
所以n=0,n=0,
所以解得
所以n=(1,-1,-1),
則cos〈,n〉==-,
所以sinθ=,
所以cosθ==.
答案:
9.平面α的法向量為(1,0,-1),平面β的法向量為(0,-1,1),則平面α與平面β所成二面角的大小為__________.
解析:設(shè)n1=(1,0,-1),n2=(0,-1,1),
則cos〈n1,n2〉=
=-,
∴〈n1,n2〉=.因平面α與平面β所成的角與〈n1,n2〉相等或互補(bǔ),所以α與β所成的角為或.
答案:或
三、解答題
10.在四
7、棱錐P-ABCD中,四邊形ABCD是正方形,棱PD垂直于底面ABCD,PD=DC,E是PC的中點(diǎn),EF⊥PB于點(diǎn)F.
(1)證明:PA∥平面EDB;
(2)證明:PB⊥平面EFD.
證明:如右圖所示建立空間直角坐標(biāo)系,D是坐標(biāo)原點(diǎn),設(shè)DC=a.
(1)連接AC,AC交BD于G,
連接EG,依題意得D(0,0,0),A(a,0,0),P(0,0,a),E(0,,).
因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形,
所以G是此正方形的中心,
故點(diǎn)G的坐標(biāo)為(,,0),
所以=(,0,-),
又=(a,0,-a),所以=2,
這表明PA∥EG.
而EG?平面EDB,且PA?平面EDB,
所以
8、PA∥平面EDB.
(2)依題意得B(a,a,0),
=(a,a,-a),=(0,,),
所以=0+-=0,
所以PB⊥DE.
由已知EF⊥PB,且EF∩DE=E,
所以PB⊥平面EFD.
11.在如圖所示的幾何體中,四邊形ABCD是等腰梯形,AB∥CD,∠DAB=60,F(xiàn)C⊥平面ABCD,AE⊥BD,CB=CD=CF.
(1)求證:BD⊥平面AED;
(2)求二面角F-BD-C的余弦值.
解:(1)因?yàn)樗倪呅蜛BCD是等腰梯形,AB∥CD,∠DAB=60,所以∠ADC=∠BCD=120.
又CB=CD,所以∠CDB=30,
因此∠ADB=90,AD⊥BD,
又A
9、E⊥BD,
且AE∩AD=A,AE,AD?平面AED.
所以BD⊥平面AED.
(2)連接AC,由(1)知AD⊥BD,所以AC⊥BC.又FC⊥平面ABCD,因此CA,CB,CF兩兩垂直,
以C為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以CA,CB,CF所在的直線為x軸,y軸,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,不妨設(shè)CB=1,
則C(0,0,0),B(0,1,0),D(,-,0),F(xiàn)(0,0,1),
因此=(,-,0),=(0,-1,1).
設(shè)平面BDF的一個(gè)法向量為m=(x,y,z),
則m=0,m=0,
所以x=y(tǒng)=z,
取z=1,則m=(,1,1).
由于=(0,0,1)是平面BDC的一個(gè)法
10、向量,
則cos〈m,〉===,
所以二面角F-BD-C的余弦值為.
12. [2013浙江高考]如圖,在四面體A-BCD中,AD⊥平面BCD,BC⊥CD,AD=2,BD=2.M是AD的中點(diǎn),P是BM的中點(diǎn),點(diǎn)Q在線段AC上,且AQ=3QC.
(1)證明:PQ∥平面BCD;
(2)若二面角C-BM-D的大小為60,求∠BDC的大?。?
解:(1)如圖,取BD的中點(diǎn)O,以O(shè)為原點(diǎn),OD,OP所
在射線為y,z軸的正半軸,建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.
由題意知A(0,,2),
B(0,-,0),D(0,,0).
設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x0,y0,0),因?yàn)椋?,
所以Q(x
11、0,+y0,).
因?yàn)镸為AD的中點(diǎn),故M(0,,1).又P為BM的中點(diǎn),故P(0,0,),所以=(x0,+y0,0).
又平面BCD的一個(gè)法向量為u=(0,0,1),
故u=0.
又PQ?平面BCD,所以PQ∥平面BCD.
(2)設(shè)m=(x,y,z)為平面BMC的一個(gè)法向量.
由=(-x0,-y0,1),=(0,2,1),
知
取y=-1,得m=(,-1,2).
又平面BDM的一個(gè)法向量為n=(1,0,0),于是
|cos〈m,n〉|===,
即2=3. ①
又BC⊥CD,所以=0,
故(-x0,--y0,0)(-x0,-y0,0)=0,
即x+y=2. ②
聯(lián)立①,②,解得(舍去)或
所以tan∠BDC==.
又∠BDC是銳角,所以∠BDC=60.