新教材高中數(shù)學(xué)北師大版選修21課時(shí)作業(yè):第2章 習(xí)題課2 Word版含解析

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1、(新教材)北師大版精品數(shù)學(xué)資料 習(xí)題課(2) 一、選擇題 1.若A(1,-2,3),B(2,5,6)在直線l上,則直線l的一個(gè)方向向量為(  ) A.(1,-2,3) B.(2,5,6) C.(1,7,3) D.(-1,-7,3) 解析:∵=(1,7,3), 又與平行的非零向量都可作為l的方向向量, ∴(1,7,3)=可作為l的方向向量. 答案:C 2.已知=(2,2,1),=(4,5,3),則平面ABC的一個(gè)單位法向量為(  ) A.(-,-,-) B.(-,,-) C.(-,,) D.(,,) 解析:設(shè)平面ABC的法向量為n=(x,y,z),則有 取

2、x=1,則y=-2,z=2. 所以n=(1,-2,2).因?yàn)閨n|=3, 所以平面ABC的一個(gè)單位法向量可以是 (-,,-). 答案:B 3.已知平面α內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)A(2,-1,2),α的一個(gè)法向量為n=(3,1,2),則下列點(diǎn)P中,在平面α內(nèi)的是(  ) A.(1,-1,1) B.(1,3,) C.(1,-3,) D.(-1,3,-) 解析:∵n為α的一個(gè)法向量,∴n=0,把P點(diǎn)依次代入滿足上式即可. 答案:B 4.如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P分別是棱CC1,BC,A1B1上的點(diǎn),若∠B1MN=90,則∠PMN的大小是(  ) A.等于9

3、0 B.小于90 C.大于90 D.不確定 解析:∵A1B1⊥平面BCC1B1,∴A1B1⊥MN, ∵=(+) =+=0, ∴MP⊥MN,即∠PMN=90. 答案:A 5.[2014遼寧大連一模]長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=1,E為CC1的中點(diǎn),則異面直線BC1與AE所成角的余弦值為(  ) A. B. C. D. 解析:建立坐標(biāo)系如圖,則A(1,0,0),E(0,2,1),B(1,2,0),C1(0,2,2). =(-1,0,2),=(-1,2,1), cos〈,〉==. 所以異面直線BC1與AE所成角的余弦值為. 答案:B

4、 6.如右圖所示 ,已知點(diǎn)P為菱形ABCD外一點(diǎn),且PA⊥面ABCD,PA=AD=AC,點(diǎn)F為PC中點(diǎn),則二面角C-BF-D的正切值為(  ) A. B. C. D. 解析:如右圖所示,連接BD,AC∩BD=O,連接OF.以O(shè)為原點(diǎn),OB、OC、OF所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.設(shè)PA=AD=AC=1,則BD=.所以B,F(xiàn), C,D. 結(jié)合圖形可知,=且為面BOF的一個(gè)法向量, 由=,=, 可求得面BCF的一個(gè)法向量n=(1,,). 所以cos〈n,〉=,sin〈n,〉=, 所以tan〈n,〉=. 答案:D 二、填空題 7.若A(0,2,

5、),B(1,-1,),C(-2,1,)是平面α內(nèi)的三點(diǎn),設(shè)平面α的法向量a=(x,y,z),則x∶y∶z=________. 解析:=(1,-3,-), =(-2,-1,-),由 得解得 則x∶y∶z=y(tǒng)∶y∶(-y)=2∶3∶(-4). 答案:2∶3∶(-4) 8.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,直線BC1與平面A1BD所成角的余弦值是__________. 解析:建立如右圖所示的空間直角坐標(biāo)系, 設(shè)棱長為1,則B(1,1,0),C1(0,1,1),A1(1,0,1),D(0,0,0),=(-1,0,1),=(-1,0,-1),=(-1,-1,0),設(shè)平面A1BD的

6、一個(gè)法向量為n=(1,x,y),設(shè)平面A1BD與BC1所成的角為θ,n⊥,n⊥, 所以n=0,n=0, 所以解得 所以n=(1,-1,-1), 則cos〈,n〉==-, 所以sinθ=, 所以cosθ==. 答案: 9.平面α的法向量為(1,0,-1),平面β的法向量為(0,-1,1),則平面α與平面β所成二面角的大小為__________. 解析:設(shè)n1=(1,0,-1),n2=(0,-1,1), 則cos〈n1,n2〉= =-, ∴〈n1,n2〉=.因平面α與平面β所成的角與〈n1,n2〉相等或互補(bǔ),所以α與β所成的角為或. 答案:或 三、解答題 10.在四

7、棱錐P-ABCD中,四邊形ABCD是正方形,棱PD垂直于底面ABCD,PD=DC,E是PC的中點(diǎn),EF⊥PB于點(diǎn)F. (1)證明:PA∥平面EDB; (2)證明:PB⊥平面EFD. 證明:如右圖所示建立空間直角坐標(biāo)系,D是坐標(biāo)原點(diǎn),設(shè)DC=a. (1)連接AC,AC交BD于G, 連接EG,依題意得D(0,0,0),A(a,0,0),P(0,0,a),E(0,,). 因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形, 所以G是此正方形的中心, 故點(diǎn)G的坐標(biāo)為(,,0), 所以=(,0,-), 又=(a,0,-a),所以=2, 這表明PA∥EG. 而EG?平面EDB,且PA?平面EDB, 所以

8、PA∥平面EDB. (2)依題意得B(a,a,0), =(a,a,-a),=(0,,), 所以=0+-=0, 所以PB⊥DE. 由已知EF⊥PB,且EF∩DE=E, 所以PB⊥平面EFD. 11.在如圖所示的幾何體中,四邊形ABCD是等腰梯形,AB∥CD,∠DAB=60,F(xiàn)C⊥平面ABCD,AE⊥BD,CB=CD=CF. (1)求證:BD⊥平面AED; (2)求二面角F-BD-C的余弦值. 解:(1)因?yàn)樗倪呅蜛BCD是等腰梯形,AB∥CD,∠DAB=60,所以∠ADC=∠BCD=120. 又CB=CD,所以∠CDB=30, 因此∠ADB=90,AD⊥BD, 又A

9、E⊥BD, 且AE∩AD=A,AE,AD?平面AED. 所以BD⊥平面AED. (2)連接AC,由(1)知AD⊥BD,所以AC⊥BC.又FC⊥平面ABCD,因此CA,CB,CF兩兩垂直, 以C為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以CA,CB,CF所在的直線為x軸,y軸,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,不妨設(shè)CB=1, 則C(0,0,0),B(0,1,0),D(,-,0),F(xiàn)(0,0,1), 因此=(,-,0),=(0,-1,1). 設(shè)平面BDF的一個(gè)法向量為m=(x,y,z), 則m=0,m=0, 所以x=y(tǒng)=z, 取z=1,則m=(,1,1). 由于=(0,0,1)是平面BDC的一個(gè)法

10、向量, 則cos〈m,〉===, 所以二面角F-BD-C的余弦值為. 12. [2013浙江高考]如圖,在四面體A-BCD中,AD⊥平面BCD,BC⊥CD,AD=2,BD=2.M是AD的中點(diǎn),P是BM的中點(diǎn),點(diǎn)Q在線段AC上,且AQ=3QC. (1)證明:PQ∥平面BCD; (2)若二面角C-BM-D的大小為60,求∠BDC的大?。? 解:(1)如圖,取BD的中點(diǎn)O,以O(shè)為原點(diǎn),OD,OP所 在射線為y,z軸的正半軸,建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz. 由題意知A(0,,2), B(0,-,0),D(0,,0). 設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x0,y0,0),因?yàn)椋?, 所以Q(x

11、0,+y0,). 因?yàn)镸為AD的中點(diǎn),故M(0,,1).又P為BM的中點(diǎn),故P(0,0,),所以=(x0,+y0,0). 又平面BCD的一個(gè)法向量為u=(0,0,1), 故u=0. 又PQ?平面BCD,所以PQ∥平面BCD. (2)設(shè)m=(x,y,z)為平面BMC的一個(gè)法向量. 由=(-x0,-y0,1),=(0,2,1), 知 取y=-1,得m=(,-1,2). 又平面BDM的一個(gè)法向量為n=(1,0,0),于是 |cos〈m,n〉|===, 即2=3.  ① 又BC⊥CD,所以=0, 故(-x0,--y0,0)(-x0,-y0,0)=0, 即x+y=2.  ② 聯(lián)立①,②,解得(舍去)或 所以tan∠BDC==. 又∠BDC是銳角,所以∠BDC=60.

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