2020高中數(shù)學(xué)北師大版必修五達(dá)標(biāo)練習(xí)：第2章 167;3 解三角形的實際應(yīng)用舉例 Word版含解析

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1、北師大版2019-2020學(xué)年數(shù)學(xué)精品資料 　　　 [A　基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)] 1．如圖，設(shè)A、B兩點在河的兩岸，一測量者在A所在的同側(cè)河岸邊選定一點C，測出AC的距離為50 m，∠ACB＝45，∠CAB＝105后，就可以計算出A、B兩點間的距離為(　　) A．50 m　　　　　　　 B．50 m C．25 m D． m 解析：選A.由正弦定理得＝.又∠CBA＝180－45－105＝30，故AB＝＝＝50 (m)． 2.如圖，測量河對岸的塔的高度AB時，可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個觀測點C與D，測得∠BCD＝15，∠BDC＝30，CD＝30米，并在C測得塔頂A的仰角為60，則塔A

2、B的高度為(　　) A．15米 B．15米 C．15(＋1)米 D．15米 解析：選D.在△BCD中，由正弦定理得BC＝＝15(米)．在Rt△ABC中，AB＝BCtan 60＝15(米)．故選D. 3．某艦艇在A處測得遇險漁船在北偏東45方向且距離為10海里的C處，此時得知，該漁船沿北偏東105方向，以每小時9海里的速度向一小島靠近，艦艇時速為21海里，則艦艇與漁船相遇的最短時間為(　　) A．20分鐘 B．40分鐘 C．60分鐘 D．80分鐘 解析：選B.如圖，設(shè)它們在D處相遇，用時為t小時，則AD＝21t，CD＝9t，∠ACD＝120，由余弦定理，得cos 120＝，

3、解得t＝(負(fù)值舍去)，小時＝40分種，即艦艇與漁船相遇的最短時間為40分鐘． 4．渡輪以15 km/h的速度沿與水流方向成120角的方向行駛，水流速度為4 km/h，則渡輪實際航行的速度約為(精確到0.1 km/h)(　　) A．14.5 km/h B．15.6 km/h C．13.5 km/h D．11.3 km/h 解析：選C.由物理學(xué)知識， 畫出示意圖，AB＝15， AD＝4，∠BAD＝120. 在?ABCD中，D＝60， 在△ADC中，由余弦定理得 AC＝ ＝＝ ≈13.5. 5．已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站C的北偏東40，

4、燈塔B在觀察站C的南偏東60，則燈塔A在燈塔B的(　　) A．北偏東40 B．北偏西10 C．南偏東10 D．南偏西10 解析：選B.如圖所示，∠ECA＝40，∠FCB＝60，∠ACB＝180－40－60＝80，因為AC＝BC，所以∠A＝∠ABC＝＝50，所以∠ABG＝180－∠CBH－∠CBA＝180－120－50＝10.故選B. 6．如圖所示為一角槽，已知AB⊥AD，AB⊥BE，并測量得AC＝3 mm，BC＝2 mm，AB＝ mm，則∠ACB＝________． 解析：在△ABC中，由余弦定理得 cos∠ACB＝＝－. 因為∠ACB∈(0，π)，所以∠ACB＝.

5、 答案： 7．一個大型噴水池的中央有一個強(qiáng)力噴水柱，為了測量噴水柱噴出的水柱的高度，某人在噴水柱正西方向的點A測得水柱頂端的仰角為45，沿點A向北偏東30前進(jìn)100 m到達(dá)點B，在B點測得水柱頂端的仰角為30，則水柱的高度是__________ m. 解析：設(shè)水柱的高度是h m，水柱底端為C，則在△ABC中，A＝60，AC＝h，AB＝100，BC＝ h，根據(jù)余弦定理，得(h)2＝h2＋1002－2h100cos 60，即h2＋50h－5 000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，解得h＝50，故水柱的高度是50 m. 答案：50 8．一蜘蛛沿東北方向爬行x cm捕捉到一只小蟲，然后

6、向右轉(zhuǎn)105，爬行10 cm捕捉到另一只小蟲，這時它向右轉(zhuǎn)135爬行回它的出發(fā)點，那么x＝________． 解析：如圖所示，設(shè)蜘蛛原來在O點，先爬行到A點，再爬行到B點，易知在△AOB中，AB＝10 cm，∠OAB＝75，∠ABO＝45， 則∠AOB＝60，由正弦定理知： x＝＝＝. 答案： 9．如圖，某軍艦艇位于島嶼A的正西方C處，且與島嶼A相距120海里．經(jīng)過偵察發(fā)現(xiàn)，國際海盜船以100海里/小時的速度從島嶼A出發(fā)沿北偏東30方向逃竄，同時，該軍艦艇從C處出發(fā)沿北偏東90－α的方向勻速追趕國際海盜船，恰好用2小時追上． (1)求該軍艦艇的速度． (2)求sin α的

7、值． 解：(1)依題意知，∠CAB＝120，AB＝1002＝200， AC＝120，∠ACB＝α， 在△ABC中， 由余弦定理，得 BC2＝AB2＋AC2－2ABACcos∠CAB ＝2002＋1202－2200120cos 120 ＝78 400，解得BC＝280. 所以該軍艦艇的速度為＝140海里/小時． (2)在△ABC中，由正弦定理， 得＝，即 sin α＝＝＝. 10.如圖，一人在C地看到建筑物A在正北方向，另一建筑物B在北偏西45方向，此人向北偏西75方向前進(jìn) km到達(dá)D處，看到A在他的北偏東45方向，B在北偏東75方向，試求這兩座建筑物之間的距離． 解：依

8、題意得，CD＝ km，∠ADB＝∠BCD＝30＝∠BDC，∠DBC＝120，∠ADC＝60， ∠DAC＝45.在△BDC中， 由正弦定理得 BC＝＝＝(km)． 在△ADC中，由正弦定理得 AC＝＝ ＝3(km)． 在△ABC中，由余弦定理得 AB2＝AC2＋BC2－2ACBCcos∠ACB ＝(3)2＋()2－23cos 45＝25. 所以AB＝5(km)， 即這兩座建筑物之間的距離為5 km. [B　能力提升] 11．如圖，某山上原有一條筆直的山路BC，現(xiàn)在又新架設(shè)了一條索道AC，小李在山腳B處看索道AC，發(fā)現(xiàn)張角∠ABC＝120，從B處攀登400米后到達(dá)D處，再

9、看索道AC，發(fā)現(xiàn)張角∠ADC＝150，從D處再攀登800米方到達(dá)C處，則索道AC的長為______米． 解析：在△ABD中，BD＝400，∠ABD＝120， 因為∠ADB＝180－∠ADC＝30，所以∠DAB＝30，所以AB＝BD＝400，AD＝ ＝400.在△ADC中，DC＝800，∠ADC＝150，AC2＝AD2＋DC2－2ADDCcos∠ADC＝(400)2＋8002－2400800cos 150＝400213，所以AC＝400，故索道AC的長為400米． 答案：400 12.如圖，在山底測得山頂仰角∠CAB＝45，沿傾斜角為30的斜坡走1 000 m至S點，又測得山頂仰角

10、∠DSB＝75，則山高BC為______m. 解析：如圖，∠SAB＝45－30＝15， 又∠SBD＝15， 所以∠ABS＝30. AS＝1 000，由正弦定理知＝，所以BS＝2 000sin 15. 所以BD＝BSsin 75 ＝2 000sin 15cos 15＝1 000sin 30＝500， 且DC＝ST＝1 000sin 30＝500， 從而BC＝DC＋DB＝1 000 m. 答案：1 000 13.某氣象儀器研究所按以下方案測試一種“彈射型”氣象觀測儀器的垂直彈射高度，如圖，在C處進(jìn)行該儀器的垂直彈射，觀測點A，B兩地相距100 m，∠BAC＝60，在A地聽到

11、彈射聲音的時間比B地晚 s．A地測得該儀器在C處時的俯角為15，A地測得該儀器在最高點H時的仰角為30，求該儀器的垂直彈射高度CH.(聲音在空氣中的傳播速度為340 m/s) 解：由題意，設(shè)AC＝x m， 則BC＝x－340＝x－40 (m)． 在△ABC中，由余弦定理得 BC2＝BA2＋CA2－2BACAcos∠BAC， 即(x－40)2＝10 000＋x2－100x，解得x＝420. 在△ACH中，AC＝420 m，∠CAH＝30＋15＝45，∠CHA＝90－30＝60. 由正弦定理得＝， 所以CH＝AC＝140(m)． 故該儀器的垂直彈射高度CH為140 m. 14．

12、(選做題)如圖，某人在塔的正東方向上的C處在與塔垂直的水平面內(nèi)沿南偏西60的方向以每小時6千米的速度步行了1分鐘以后，在點D處望見塔的底端B在東北方向上，已知沿途塔的仰角∠AEB＝α，α的最大值為60. (1)求該人沿南偏西60的方向走到仰角α最大時，走了幾分鐘； (2)求塔的高AB.(結(jié)果保留根號，不求近似值)． 解：(1)依題意知，在△DBC中，∠BCD＝30，∠DBC＝180－45＝135，CD＝6 000＝100 (m)， ∠BDC＝45－30＝15，由正弦定理得 ＝， 所以BC＝＝＝ ＝＝50(－1)(m)， 在Rt△ABE中，tan α＝，因為AB為定長， 所以當(dāng)BE的長最小時，α取最大值60，這時BE⊥CD，當(dāng)BE⊥CD時，在Rt△BEC中，EC＝BCcos∠BCE＝50(－1)＝25(3－)(m)， 設(shè)該人沿南偏西60的方向走到仰角α最大時，走了t分鐘，則t＝60＝60＝(分鐘)． (2)由(1)知當(dāng)α取得最大值60時，BE⊥CD， 在Rt△BEC中，BE＝BCsin∠BCD， 所以AB＝BEtan 60＝BCsin ∠BCDtan 60 ＝50(－1)＝25(3－)(m)， 即所求塔高為25(3－) m.