新編高中數(shù)學北師大版必修5 第二章3 解三角形的實際應用舉例 作業(yè)2 Word版含解析

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1、新編數(shù)學北師大版精品資料 ,　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[學生用書單獨成冊]) [A.基礎達標] 1．如圖， 為了測量隧道兩口A、B之間的長度，對給出的四組數(shù)據(jù)， 計算時要求最簡便，測量時要求最容易，應當采用的一組是(　　) A．a(chǎn)，b，γ　　　　　　　　　 B．a(chǎn)，b，α C．a(chǎn)，b，β D．α，β，a 解析：選A.根據(jù)實際情況，α，β都是不易測量的數(shù)據(jù)，在△ABC中，a，b可以測得，角γ也可測得，根據(jù)余弦定理能直接求出AB的長． 2．一船自西向東勻速航行，上午10時到達一座燈塔P的南偏西75°距塔68海里的M處，下午2時到達這座

2、燈塔的東南方向的N處，則這只船的航行速度為(　　) A.海里/小時 B．34海里/小時 C.海里/小時 D．34海里/小時 解析：選A. 如圖所示，在△PMN中， ＝， 所以MN＝＝34， 所以v＝＝(海里/小時)． 3．如圖所示， 為測一樹的高度，在地面上選取A，B兩點，從A，B兩點分別測得樹尖的仰角為30°，45°，且A，B兩點間的距離為60 m，則樹的高度為(　　) A．(30＋30)m B．(30＋15)m C．(15＋30)m D．(15＋15)m 解析：選A.在△PAB中，∠PAB＝30°，∠APB＝15

3、°，AB＝60，sin 15°＝sin(45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝× －×＝，由正弦定理得＝，所以PB＝＝30(＋)，所以樹的高度為PBsin 45°＝30(＋)×＝(30＋30) m. 4．渡輪以15 km/h的速度沿與水流方向成120°角的方向行駛，水流速度為4 km/h，則渡輪實際航行的速度約為(精確到0.1 km/h)(　　) A．14.5 km/h B．15.6 km/h C．13.5 km/h

4、 D．11.3 km/h 解析： 選C.由物理學知識， 畫出示意圖，AB＝15， AD＝4，∠BAD＝120°. 在?ABCD中，D＝60°， 在△ADC中，由余弦定理得 AC＝ ＝＝ ≈13.5. 5. 如圖，從氣球A測得正前方的濟南全運會東荷、西柳兩個場館B、C的俯角分別為α、β，此時氣球的高度為h，則兩個場館B、C間的距離為(　　) A. B. C. D. 解析：選B.在Rt△ADC中，AC＝，在△ABC中，由正弦定理得BC＝·sin(β－α)＝. 6．海上的A、B兩個小島相距10 km，從A島望C島和B島成60

5、°的視角，從B島望C島和A島成75°的視角，那么B島和C島間的距離是________km. 解析： 如圖所示，則C＝180°－(60°＋75°)＝45°. 在△ABC中， 由正弦定理＝，得 BC＝＝＝5(km)． 答案：5 7．要測量底部不能到達的東方明珠電視塔的高度，在黃浦江西岸選擇甲、乙兩觀測點，在甲、乙兩點測得塔頂?shù)难鼋欠謩e為45°，30°，在水平面上測得電視塔與甲觀測點連線及甲、乙兩觀測點連線所成的角為120°，甲、乙兩觀測點相距500 m，則電視塔在這次測量中的高度是_____

6、___． 解析：由題意畫出示意圖， 設高AB＝h，在Rt△ABC中，由已知BC＝h，在Rt△ABD中，由已知BD＝h，在△BCD中，由余弦定理BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos∠BCD得，3h2＝h2＋5002＋h·500，解得h＝500 m(負值舍去)． 答案：500 m 8．一蜘蛛沿東北方向爬行x cm捕捉到一只小蟲，然后向右轉(zhuǎn)105°，爬行10 cm捕捉到另一只小蟲，這時它向右轉(zhuǎn)135°爬行回它的出發(fā)點，那么x＝________． 解析：如圖所示， 設蜘蛛原來在O點，先爬行到A點，再爬行到B點，易知在△AOB

7、中，AB＝10 cm，∠OAB＝75°，∠ABO＝45°， 則∠AOB＝60°，由正弦定理知： x＝＝＝. 答案： 9．如圖， 某軍艦艇位于島嶼A的正西方C處，且與島嶼A相距120海里．經(jīng)過偵察發(fā)現(xiàn)，國際海盜船以100海里/小時的速度從島嶼A出發(fā)沿北偏東30°方向逃竄，同時，該軍艦艇從C處出發(fā)沿北偏東90°－α的方向勻速追趕國際海盜船，恰好用2小時追上． (1)求該軍艦艇的速度． (2)求sin α的值． 解：(1)依題意知，∠CAB＝120°，AB＝100×2＝200，AC＝120，∠ACB＝α， 在

8、△ABC中， 由余弦定理，得 BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠CAB ＝2002＋1202－2×200×120cos 120° ＝78 400，解得BC＝280. 所以該軍艦艇的速度為＝140海里/小時． (2)在△ABC中，由正弦定理，得＝，即 sin α＝＝＝. 10．為了測量兩山頂M、N間的距離，飛機沿水平方向在A、B兩點進行測量，A、B、M、N在同一個鉛垂平面內(nèi)，如圖，飛機能測量的數(shù)據(jù)有俯角和A、B間的距離，請設計一個方案；包括：(1)指出需要測量的數(shù)據(jù)(用字母表示，并在圖中標出)；(2)用文字和公式寫出計算M、N間的距

9、離的步驟． 解：(1)需要測量的數(shù)據(jù)有A到M、N的俯角α1、β1，B到M、N的俯角α2、β2，A、B的距離d(如圖所示)． (2)方案一：第一步：計算AM，由正弦定理得AM＝； 第二步：計算AN，由正弦定理得AN＝ ； 第三步：計算MN，由余弦定理得 MN＝. 方案二：第一步：計算BM，由正弦定理得BM＝； 第二步：計算BN，由正弦定理得BN＝； 第三步：計算MN，由余弦定理得 MN＝. [B.能力提升] 1．江岸邊有一炮臺高30 m，江中有兩條船，由炮臺頂部測得兩船俯角分別為45°和30°，而且兩條船與炮臺底部連線成30°角，則兩條

10、船相距(　　) A．10 m B．100 m C．20 m D．30 m 解析：選D.設炮臺頂部為A，兩條船分別為B、C，炮臺底部為D，可知∠BAD＝45°， ∠CAD＝60°，∠BDC＝30°， AD＝30. 分別在Rt△ADB，Rt△ADC中， 求得DB＝30，DC＝30. 在△DBC中，由余弦定理得 BC2＝DB2＋DC2－2DB·DCcos 30°，解得BC＝30. 2．在船A上測得它的南偏東30°的海面上有一燈塔，船以每小時30海里的速度向東南方向航行半個小時后，于B處看得燈塔在船的正西方向，則這

11、時船和燈塔相距(sin 15°＝)(　　) A.海里 B.海里 C.海里 D.海里 解析：選B.如圖所示，設燈塔為C，由題意可知，在△ABC中，∠BAC＝15°，B＝45°，C＝120°，AB＝30×0.5＝15(海里)，所以由正弦定理，可求得BC＝·sin 15°＝×＝(海里)． 3．如圖， 在山底測得山頂仰角∠CAB＝45°，沿傾斜角為30°的斜坡走1 000 m至S點，又測得山頂仰角∠DSB＝75°，則山高BC為________m. 解析：如圖，∠

12、SAB＝45°－30°＝15°， 又∠SBD＝15°， 所以∠ABS＝30°. AS＝1 000， 由正弦定理知＝， 所以BS＝2 000sin 15°. 所以BD＝BS·sin 75° ＝2 000sin 15°·cos 15°＝1 000sin 30°＝500， 且DC＝ST＝1 000sin 30°＝500， 從而BC＝DC＋DB＝1 000 m. 答案：1 000 4．已知A船在燈塔C北偏東80°處，且A船到燈塔C的距

13、離為2 km，B船在燈塔C北偏西40°處，A，B兩船間的距離為3 km，則B船到燈塔C的距離為________km. 解析：由題意，知∠ACB＝80°＋40°＝120°，AC＝2，AB＝3，設B船到燈塔C的距離為x km，即BC＝x，由余弦定理，可知AB2＝AC2＋BC2－2AC×BCcos 120°，即9＝4＋x2－2×2x×(－)，整理得x2＋2x－5＝0，解得x＝－1－(舍去)或x＝－1＋. 答案：－1 5．要航測某座山的海拔高度，如圖，飛機的航線與山頂M在同一個鉛垂面內(nèi)，已知飛機的飛行高度為海拔10

14、000 m，速度為900 km/h，航測員先測得對山頂?shù)母┙菫?0°，經(jīng)過40 s(已飛過M點)后又測得對山頂?shù)母┙菫?5°，求山頂?shù)暮０胃叨龋?精確到1 m，可能要用到的數(shù)據(jù)：＝1.414，＝1.732，＝2.450)　 解：900 km/h＝250 m/s，AB＝250×40＝10 000(m)， 在△ABM中，由正弦定理得＝，BM＝. 作MD⊥AB于D， 則MD＝BMsin 45°＝×sin 45° ＝ ＝＝5 000(－1)＝3 660， M的海拔高度為10 000－3 660＝6 340 (m)． 即山頂

15、的海拔高度為6 340 m. 6．某海上養(yǎng)殖基地A接到氣象部門預報，位于基地南偏東60°距離20(＋1)海里的海面上有一臺風中心，影響半徑為20海里，正以每小時10海里的速度沿某一方向勻速直線前進，預計臺風中心將從基地東北方向刮過且(＋1)小時后開始影響基地并持續(xù)2小時．求臺風移動的方向． 解： 如圖所示，設預報時臺風中心為B，開始影響基地時臺風中心為C，影響結(jié)束時臺風中心為D，則B，C，D在同一直線上，且AD＝20海里，AC＝20海里． 由題意知，AB＝20(＋1)海里， DC＝2×10＝20海里，BC＝(＋1)×10海里． 在△ADC中，因為DC2＝AD2＋AC2， 所以∠DAC＝90°，∠ADC＝45°. 在△ABC中，由余弦定理的變形公式得 cos∠BAC＝＝， 所以∠BAC＝30°， 又因為B位于A的南偏東60°， 且60°＋30°＋90°＝180°， 所以D位于A的正北方向，又因為∠ADC＝45°， 所以臺風移動的方向為的方向，即北偏西45°方向． 所以臺風向北偏西45°方向移動．