高考數(shù)學(xué) 一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件北師大版理科: 課時分層訓(xùn)練56 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 理 北師大版

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1、 課時分層訓(xùn)練(五十六) 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 A組 基礎(chǔ)達(dá)標(biāo) 一、選擇題 1.若直線y=kx與雙曲線-=1相交,則k的取值范圍是(  ) A.   B. C. D.∪ C [雙曲線-=1的漸近線方程為y=x,若直線與雙曲線相交,數(shù)形結(jié)合,得k∈.] 2.已知直線y=2(x-1)與拋物線C:y2=4x交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)M(-1,m),若=0,則m=(  ) A. B. C. D.0 B [由得A(2,2),B. 又∵M(jìn)(-1,m)且=0, ∴2m2-2m+1=0,解得m=.] 3.直線y=kx+2與拋物線y2=8x有且只有一個公共點(diǎn),則k的值為( 

2、 ) 【導(dǎo)學(xué)號:79140306】 A.1 B.1或3 C.0 D.1或0 D [由得k2x2+(4k-8)x+4=0,若k=0,則y=2,符合題意. 若k≠0,則Δ=0, 即64-64k=0,解得k=1, 所以直線y=kx+2與拋物線y2=8x有且只有一個共公點(diǎn)時,k=0或1.] 4.(20xx河南重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)已知直線l:y=2x+3被橢圓C:+=1(a>b>0)截得的弦長為7,則下列直線中被橢圓C截得的弦長一定為7的有(  ) ①y=2x-3;②y=2x+1;③y=-2x-3;④y=-2x+3. A.1條 B.2條 C.3條 D.4條 C [直線y=2x-3與直

3、線l關(guān)于原點(diǎn)對稱,直線y=-2x-3與直線l關(guān)于x軸對稱,直線y=-2x+3與直線l關(guān)于y軸對稱,故有3條直線被橢圓C截得的弦長一定為7.] 5.已知橢圓E:+=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(3,0),過點(diǎn)F的直線交E于A,B兩點(diǎn).若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-1),則E的方程為(  ) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 A [因為直線AB過點(diǎn)F(3,0)和點(diǎn)(1,-1),所以直線AB的方程為y=(x-3),代入橢圓方程+=1消去y,得x2-a2x+a2-a2b2=0, 所以AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為=1,即a2=2b2.又a2=b2+c2,所以b=c=3,a=3, 所

4、以E的方程為+=1.] 二、填空題 6.已知傾斜角為60的直線l通過拋物線x2=4y的焦點(diǎn),且與拋物線相交于A,B兩點(diǎn),則弦AB的長為__________. 16 [直線l的方程為y=x+1, 由得y2-14y+1=0. 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y1+y2=14, 所以|AB|=y(tǒng)1+y2+p=14+2=16.] 7.已知(4,2)是直線l被橢圓+=1所截得的線段的中點(diǎn),則l的方程是__________. x+2y-8=0 [設(shè)直線l與橢圓相交于A(x1,y1),B(x2,y2). 則+=1,且+=1, 兩式相減得=-. 又x1+x2=8,y1+y2=4,

5、 所以=-,故直線l的方程為y-2=-(x-4),即x+2y-8=0.] 8.已知橢圓+=1(0

6、O為坐標(biāo)原點(diǎn),若=2,求△AOB的面積. [解] (1)設(shè)橢圓方程為+=1,a>b>0, 由題意可得c=,又橢圓的離心率為,得a=2. ∴b2=a2-c2=2, ∴所求方程為+=1. (2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2), 由=2得 設(shè)直線方程為y=kx+1,代入橢圓方程整理, 得(2k2+1)x2+4kx-2=0, ∴x1+x2=,x1x2=. 由x1=-2x2代入上式可得2=. ∴k2=. ∴△AOB的面積S=|OP||x1-x2|==. 10. (20xx江蘇高考改編)如圖892,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知直線l:x-y-2=0,拋物線C:y2=2px

7、(p>0). 圖892 (1)若直線l過拋物線C的焦點(diǎn),求拋物線C的方程; (2)當(dāng)p=1時,若拋物線C上存在關(guān)于直線l對稱的相異兩點(diǎn)P和Q.求線段PQ的中點(diǎn)M的坐標(biāo). [解] (1)拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為. 由點(diǎn)在直線l:x-y-2=0上, 得-0-2=0,即p=4. 所以拋物線C的方程為y2=8x. (2)當(dāng)p=1時,曲線C:y2=2x. 設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),線段PQ的中點(diǎn)M(x0,y0). 因為點(diǎn)P和Q關(guān)于直線l對稱,所以直線l垂直平分線段PQ, 于是直線PQ的斜率為-1,則可設(shè)其方程為y=-x+b. 由消去x,得y2+2y

8、-2b=0. 因為P和Q是拋物線C的兩相異點(diǎn),則y1≠y2. 從而Δ=4-41(-2b)=8b+4>0.(*) 因此y1+y2=-2,所以y0=-1. 又M(x0,y0)在直線l上,所以x0=1. 所以點(diǎn)M(1,-1),此時b=0滿足(*)式. 故線段PQ的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,-1). B組 能力提升 11.(20xx全國卷Ⅱ)過拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)F,且斜率為的直線交C于點(diǎn)M(M在x軸的上方),l為C的準(zhǔn)線,點(diǎn)N在l上,且MN⊥l,則M到直線NF的距離為(  ) A. B.2 C.2 D.3 C [拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F(1,0),準(zhǔn)線方程為x=-1.由直線方

9、程的點(diǎn)斜式可得直線MF的方程為y=(x-1). 聯(lián)立得方程組 解得或 ∵點(diǎn)M在x軸的上方, ∴M(3,2). ∵M(jìn)N⊥l, ∴N(-1,2). ∴|NF|==4, |MF|=|MN| ==4. ∴△MNF是邊長為4的等邊三角形. ∴點(diǎn)M到直線NF的距離為2. 故選C.] 12.(20xx青島質(zhì)檢)過雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)作一條與其漸近線平行的直線,交C于點(diǎn)P.若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2a,則C的離心率為__________. 2+ [如圖所示,不妨設(shè)與漸近線平行的直線l的斜率為,又直線l過右焦點(diǎn)F(c,0),則直線l的方程為y=(x-c). 因

10、為點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2a,代入雙曲線方程得-=1, 化簡得y=-b或y=b(點(diǎn)P在x軸下方,故舍去). 故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2a,-b), 代入直線方程得-b=(2a-c), 化簡可得離心率e==2+.] 13.(20xx廣州綜合測試(二))已知定點(diǎn)F(0,1),定直線l:y=-1,動圓M過點(diǎn)F,且與直線l相切. (1)求動圓M的圓心軌跡C的方程; (2)過點(diǎn)F的直線與曲線C相交于A,B兩點(diǎn),分別過點(diǎn)A,B作曲線C的切線l1,l2兩條切線相交于點(diǎn)P,求△PAB外接圓面積的最小值. 【導(dǎo)學(xué)號:79140308】 [解] (1)法一:設(shè)圓心M到直線l的距離為d, 由題意|MF|=d.

11、 設(shè)圓心M(x,y),則有=|y+1|. 化簡得x2=4y. 所以點(diǎn)M的軌跡C的方程為x2=4y. 法二:設(shè)圓心M到直線l的距離為d, 由題意|MF|=d. 根據(jù)拋物線的定義可知,點(diǎn)M的軌跡為拋物線, 焦點(diǎn)為F(0,1),準(zhǔn)線為y=-1. 所以點(diǎn)M的軌跡C的方程為x2=4y. (2)法一:設(shè)lAB:y=kx+1, 代入x2=4y中,得x2-4kx-4=0. 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2), 則x1+x2=4k,x1x2=-4. 所以|AB|=|x1-x2|=4(k2+1). 因為曲線C:x2=4y,即y=,所以y′=. 所以直線l1的斜率為k1=, 直線l

12、2的斜率為k2=. 因為k1k2==-1, 所以PA⊥PB,即△PAB為直角三角形. 所以△PAB的外接圓的圓心為線段AB的中點(diǎn),線段AB是外接圓的直徑. 因為|AB|=4(k2+1),所以當(dāng)k=0時,線段AB最短,最短長度為4,此時圓的面積最小,最小面積為4π. 法二:設(shè)lAB:y=kx+1, 代入x2=4y中,得x2-4kx-4=0. 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2), 則x1+x2=4k,x1x2=-4. 所以|AB|=|x1-x2|=4(k2+1). 因為曲線C:x2=4y,即y=,所以y′=. 所以直線l1的方程為y-y1=(x-x1), 即y=x-.①

13、 同理可得直線l2的方程為y=x-.② 聯(lián)立①②,解得即P(2k,-1). 因為=(x1-2k,y1+1)(x2-2k,y2+1) =x1x2-2k(x1+x2)+4k2+y1y2+(y1+y2)+1=0, 所以PA⊥PB,即△PAB為直角三角形. 所以△PAB的外接圓的圓心為線段AB的中點(diǎn),線段AB是外接圓的直徑. 因為|AB|=4(k2+1),所以當(dāng)k=0時,線段AB最短,最短長度為4,此時圓的面積最小,最小面積為4π. 法三:設(shè)lAB:y=kx+1,由對稱性不妨設(shè)點(diǎn)A在y軸的左側(cè), 代入x2=4y中,得x2-4kx-4=0. 解得A(2k-2,2k2-2k+1),

14、B(2k+2,2k2+2k+1). 所以|AB|=4(k2+1). 因為曲線C:x2=4y,即y=,所以y′=. 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2) 所以直線l1的方程為y-y1=(x-x1), 即y=x-. ① 同理可得直線l2的方程為y=x-. ② 聯(lián)立①②,解得即P(2k,-1). 因為AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2k,2k2+1), 所以AB的中垂線方程為y-(2k2+1)=-(x-2k), 因為PA的中垂線方程為y-(k2-k)=(k+)[x-(2k-)], 聯(lián)立上述兩個方程,解得其交點(diǎn)坐標(biāo)為N(2k,2k2+1). 因為點(diǎn)M,N的坐標(biāo)相同, 所以AB的中點(diǎn)M為△PAB的外接圓的圓心. 所以△PAB是直角三角形,且PA⊥PB, 所以線段AB是△PAB外接圓的直徑. 因為|AB|=4(k2+1), 所以當(dāng)k=0時,線段AB最短,最短長度為4,此時圓的面積最小,最小面積為4π.

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