與名師對話高三數(shù)學文一輪復習課時跟蹤訓練：第七章 不等式　推理與證明 課時跟蹤訓練37 Word版含解析

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1、 課時跟蹤訓練(三十七) [基礎鞏固] 一、選擇題 1．若a，b∈R，且ab>0，則下列不等式中，恒成立的是(　　) A．a(chǎn)2＋b2>2ab B．a(chǎn)＋b≥2 C.＋> D.＋≥2 [解析]　∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴A錯誤．對于B，C，當a<0，b<0時，明顯錯誤．對于D，∵ab>0，∴＋≥2＝2. [答案]　D 2．(20xx·福建福州外國語學校期中)在下列各函數(shù)中，最小值為2的函數(shù)是(　　) A．y＝x＋(x≠0) B．y＝cosx＋ C．y＝(x∈R) D．y＝ex＋－2(x∈R) [

2、解析]　對于A項，當x<0時，y＝x＋≤－2，故A錯；對于B項，因為0<x<，所以0<cosx<1，所以y＝cosx＋≥2中等號不成立，故B錯；對于C項，因為≥2，所以y＝＝＋≥2中等號也不能取到，故C錯；對于D項，因為ex>0，所以y＝ex＋－2≥2－2＝2，當且僅當ex＝2，即x＝ln2時等號成立．故選D. [答案]　D 3．(20xx·陜西咸陽質(zhì)檢)已知x＋y＝3，則2x＋2y的最小值是(　　) A．8 B．6 C．3 D．4 [解析]　因為2x>0,2y>0，x＋y＝3，所以由基本不等式得2x＋2y≥2＝2＝4，當

3、且僅當2x＝2y，即x＝y(tǒng)＝時等號成立，故選D. [答案]　D 4．(20xx·湖南衡陽四校聯(lián)考)設x，y為正實數(shù)，且x＋2y＝1，則＋的最小值為(　　) A．2＋2 B．3＋2 C．2 D．3 [解析]　因為x，y為正實數(shù)，且x＋2y＝1，所以＋＝(x＋2y)·＝3＋＋≥3＋2＝3＋2，當且僅當x＝y(tǒng)＝－1時取等號．所以＋的最小值為3＋2.故選B. [答案]　B 5．(20xx·江西九江一中期中)已知a>0，b>0，如果不等式＋≥恒成立，那么m的最大值等于(　　) A．10 B．7 C．8 D．9 [解析]　不等式＋≥

4、恒成立，即不等式m≤(2a＋b)·恒成立，而(2a＋b)＝5＋＋≥5＋2 ＝9，當且僅當a＝b時“＝”成立，所以m≤9，m的最大值等于9，故選D. [答案]　D 6．(20xx·陜西卷)設f(x)＝lnx,0<a<b，若p＝f()，q＝f，r＝(f(a)＋f(b))，則下列關系式中正確的是(　　) A．q＝r<p B．p＝r<q C．q＝r>p D．p＝r>q [解析]　∵0<a<b，∴>，又f(x)＝lnx在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，故f()<f，即q>p，∵r＝(f(a)＋f(b))＝(l

5、na＋lnb)＝ln＝f()＝p，∴p＝r<q.故選B. [答案]　B 二、填空題 7．(20xx·山東卷)若直線＋＝1(a>0，b>0)過點(1,2)，則2a＋b的最小值為________． [解析]　∵直線＋＝1(a>0，b>0)過點(1,2)， ∴＋＝1，∴2a＋b＝(2a＋b)＝2＋＋2＋≥4＋2＝8(當且僅當b＝2a，即a＝2，b＝4時取等號)． [答案]　8 8．設b>a>0，且a＋b＝1，則，2ab，a2＋b2，b四個數(shù)中最大的是________． [解析]　根據(jù)基本不等式知a2＋b2>2ab(b>a

6、>0)，因為b>a>0，且a＋b＝1，所以b>>a.因為b－a2－b2＝b(a＋b)－a2－b2＝a(b－a)>0，所以，2ab，a2＋b2，b四個數(shù)中最大的是b. [答案]　b 9．(20xx·江蘇卷)某公司一年購買某種貨物600噸，每次購買x噸，運費為6萬元/次，一年的總存儲費用為4x萬元．要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，則x的值是________． [解析]　本題考查基本不等式及其應用． 設總費用為y萬元，則 y＝×6＋4x＝4≥240. 當且僅當x＝，即x＝30時，等號成立． [答案]　30 三、解答題 1

7、0．(1)已知a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1， 求證：＋＋≥9. (2)設a、b均為正實數(shù)，求證：＋＋ab≥2. [證明]　(1)∵a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1， ∴＋＋＝＋＋ ＝3＋＋＋＋＋＋ ＝3＋＋＋ ≥3＋2＋2＋2＝9， 當且僅當a＝b＝c＝時，取等號． (2)∵＋≥2 ＝， 當且僅當a＝b時取等號． 又＋ab≥2，當且僅當ab＝時取等號， ∴＋＋ab≥2，當且僅當 即a＝b＝時取等號． [能力提升] 11．(20xx·河北保定一模)司機甲、乙加油習慣不同，甲每次加定量的油，乙每次加固定

8、錢數(shù)的油，恰有兩次甲、乙同時加同單價的油，但這兩次的油價不同，則從這兩次加油的均價角度分析(　　) A．甲合適 B．乙合適 C．油價先高后低甲合適 D．油價先低后高甲合適 [解析]　設甲每次加m升油，乙每次加n元錢的油，第一次加油x元/升，第二次加油y元/升．甲的平均單價為＝，乙的平均單價為＝，因為x≠y，所以＝>＝1，即乙的兩次平均單價低，乙的方式更合適，故選B. [答案]　B 12．(20xx·貴州銅仁一中月考)若兩個正實數(shù)x，y滿足＋＝1，且不等式x＋<m2－3m有解，則實數(shù)m的取值范圍是(　　) A．(－1,4) B．(－4,1) C．(－

9、∞，－1)∪(4，＋∞) D．(－∞，－4)∪(1，＋∞) [解析]　x＋＝＝2＋＋≥2＋2＝4.當且僅當＝，即y＝2x時等號成立，所以x＋最小值為4.因為x＋<m2－3m有解，所以m2－3m>4.解得m<－1或m>4.故選C. [答案]　C 13．已知正實數(shù)x，y滿足xy＋2x＋y＝4，則x＋y的最小值為________． [解析]　因為xy＋2x＋y＝4，所以x＝.由x＝>0，得－2<y<4，又y>0, 則0<y<4，所以x＋y＝＋y＝＋(y＋2)－3≥2－3，當且僅當＝y(tǒng)＋2(0<y<4)，即y＝－2時取等

10、號． [答案]　2－3 14．(20xx·四川資陽期末)已知函數(shù)f(x)＝x3＋3x(x∈R)，若不等式f(2m＋mt2)＋f(4t)<0對任意實數(shù)t≥1恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是________． [解析]　因為f(x)＝x3＋3x(x∈R)，滿足f(－x)＝－f(x)，所以f(x)為奇函數(shù)且f(x)在R上單調(diào)遞增．因為不等式f(2m＋mt2)＋f(4t)<0對任意實數(shù)t≥1恒成立，則2m＋mt2<－4t在t≥1時恒成立，分離參數(shù)得m<－＝－.因為t＋≥2＝2(當且僅當t＝時取等號)，所以m<－. [答案]　(－∞，－) 15．(20xx&

11、#183;河北唐山一模)已知x，y∈(0，＋∞)，x2＋y2＝x＋y. (1)求＋的最小值． (2)是否存在x，y滿足(x＋1)(y＋1)＝5？并說明理由． [解]　(1)因為＋＝＝≥＝2，當且僅當x＝y(tǒng)＝1時，等號成立，所以＋的最小值為2. (2)不存在．理由如下： 因為x2＋y2≥2xy，所以(x＋y)2≤2(x2＋y2)＝2(x＋y)． 又x，y∈(0，＋∞)，所以x＋y≤2.從而有(x＋1)(y＋1)≤2≤4，因此不存在x，y滿足(x＋1)(y＋1)＝5. 16．某品牌電腦體驗店預計全年可以銷售360臺電腦，已知該品牌電腦的進價為3000元/臺，為節(jié)約資金，經(jīng)理決定分批購

12、入，若每批都購入x臺(x為正整數(shù))，則每批需付運費300元，儲存購入的電腦全年所付保管費與每批購入電腦的總價值(不含運費)成正比，且每批購入20臺時，全年需用去運費和保管費7800元． (1)求全年所付運費和保管費之和y關于x的函數(shù)關系式； (2)若全年只有8000元資金可用于支付運費和保管費，則能否恰當?shù)匕才琶颗M貨的數(shù)量，使資金夠用？如果夠用，求出每批進貨的數(shù)量；如果不夠用，最少還需多少？ [解]　(1)設儲存購入的電腦全年所付保管費與每批購入電腦總價值的比例系數(shù)為k，則y＝×300＋k(3000×x)＝＋3000kx.又當x＝20時，y＝7800，代入可得k＝0

13、.04.故所求y關于x的函數(shù)關系式為y＝＋120x(x∈N*)． (2)由(1)知，y＝＋120x(x∈N*)．根據(jù)基本不等式可得，y＝＋120x≥2＝2×3600＝7200，當且僅當＝120x，即x＝30時，等號成立．故當每批購入30臺時，支付的運費和保管費最低，為7200元，此時資金夠用． [延伸拓展] 　(20xx·內(nèi)蒙古包頭二模)已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}滿足a7＝a6＋2a5，若存在兩項am，an使得 ＝4a1，則＋的最小值為(　　) A. B. C. D. [解析]　解法一(常數(shù)代換法)：設數(shù)列{an}的公比為q(q>0)，由各項均

14、為正數(shù)的等比數(shù)列{an}滿足a7＝a6＋2a5，可得a1q6＝a1q5＋2a1q4，所以q2－q－2＝0，所以q＝2. 因為＝4a1，所以qm＋n－2＝16，所以2m＋n－2＝24，所以m＋n＝6， 所以＋＝(m＋n)＝≥×(5＋4)＝，當且僅當＝時，等號成立． 所以＋的最小值為，故選A. 解法二(拼湊法)：由解法一可得m＋n＝6，所以n＝6－m， 又m，n≥1，所以1≤m≤5. 故＋＝＋＝＝＝ ＝＝. 由基本不等式可得(m＋2)＋－10≥2－10＝－2(當且僅當m＋2＝，即m＝2時等號成立)，易知(m＋2)＋－10<0， 所以＋≥＝.故選A. [答案]　A