高考數(shù)學(xué)文科一輪總復(fù)習(xí) 第2篇 第10節(jié) 導(dǎo)數(shù)的概念與計算

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1、 精品資料 第二篇 第10節(jié) 一、選擇題 1.在曲線y=x2+1的圖象上取一點(1,2)及鄰近一點(1+Δx,2+Δy),則為(  ) A.Δx++2 B.Δx--2 C.Δx+2  D.Δx-+2 解析:Δy=f(1+Δx)-f(1)=[(1+Δx)2+1]-2 =(Δx)2+2(Δx), ∴=Δx+2,選C. 答案:C 2.若f(x)=2xf′(1)+x2,則f′(0)等于(  ) A.2  B.0 C.-2  D.-4 解析:∵f′(x)=2f′(1)+2x, ∴f′(1)=2f′(1)+2, ∴

2、f′(1)=-2, ∴f′(x)=2x-4, ∴f′(0)=-4. 故選D. 答案:D 3.(2014合肥模擬)函數(shù)y=x2cos x在x=1處的導(dǎo)數(shù)是(  ) A.0  B.2cos 1-sin 1 C.cos 1-sin 1  D.1 解析:∵y′=(x2cos x)′=(x2)′cos x+x2(cos x)′ =2xcos x-x2sin x, ∴在x=1處的導(dǎo)數(shù)為2cos 1-sin 1, 故選B. 答案:B 4.(2014安慶模擬)設(shè)函數(shù)f(x)=ex+g(x).若曲線y=g(x)在點P(0,g(0))處的切線方程是y=2x+1,則曲線y=f(x)在點Q(

3、0,f(0))處的切線方程是(  ) A.y=2x+1    B.y=2x+3 C.y=x+2    D.y=3x+2 解析:由題意得g′(0)=2,g(0)=1, 而f′(x)=ex+g′(x), ∴f′(0)=e0+2=3,f(0)=e0+1=2, ∴切點坐標為(0,2). ∴切線方程為y-2=3(x-0), 即y=3x+2.選D. 答案:D 5.(2014濰坊模擬)若曲線f(x)=xsin x+1在x=處的切線與直線ax+2y+1=0互相垂直,則實數(shù)a等于(  ) A.-2  B.-1 C.1  D.2 解析:f′(x)=sin x+xcos x,依

4、題意, f′=1,且-1=-1, 解得a=2, 故選D. 答案:D 6.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(4)=1,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),已知y=f′(x)的圖象如圖所示,若兩個正數(shù)a、b滿足f(2a+b)<1,則的取值范圍是(  ) A.  B.∪(5,+∞) C.  D.(-∞,3) 解析:觀察圖象,可知f(x)在(-∞,0]上是減函數(shù),在[0,+∞)上是增函數(shù), 由f(2a+b)<1=f(4),可得畫出以(a,b)為坐標的可行域(如圖陰影部分所示), 而可看成(a,b)與點P(-1,-1)連線的斜率,可求得選項C為所求.故選C. 答案:C 二、填空題

5、 7.設(shè)直線y=x+b是曲線y=ln x(x>0)的一條切線,則實數(shù)b的值為________. 解析:由已知條件可得直線的斜率k=, y′=(ln x)′==, 得切點的橫坐標為x=2, 切點坐標為(2,ln 2). 由點(2,ln 2)在切線y=x+b上可得 b=ln 2-2=ln 2-1. 答案:ln 2-1 8.(2014蕪湖市期末評價)如圖所示,函數(shù)y=f(x)的圖象在點P(3,f(3))處的切線方程為y=-x+5,則f(3)-f′(3)=________. 解析:f(3)=2,f′(3)=-1, 所以f(3)-f′(3)=3. 答案:3 9.(2014黃山

6、模擬)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x),若對于定義域內(nèi)任意x1、x2(x1≠x2),有=f′恒成立,則稱f(x)為恒均變函數(shù).給出下列函數(shù):①f(x)=2x+3;②f(x)=x2-2x+3;③f(x)=;④f(x)=ex;⑤f(x)=ln x.其中為恒均變函數(shù)的序號是________.(寫出所有滿足條件的函數(shù)的序號) 解析:函數(shù)①是一次函數(shù)顯然是恒均變函數(shù); 對函數(shù)②f′(x)=2x-2, 所以有f′=2-2=x1+x2-2, 又==x1+x2-2, 因此函數(shù)②是恒均變函數(shù); 對于函數(shù)③④⑤可以驗證當x1=1,x2=3時等式均不成立. 答案:①② 10.已知直線l與曲線f(x)

7、=x2+3x-2+ln x相切,則直線l的斜率的最小值為_______. 解析:由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知,曲線上任意一點P(x,y)處的切線l的斜率為f′(x)=2x+3+. 因為x>0, 所以2x+≥2=2(當且僅當2x=, 即x=時取等號), 所以f′(x)=2x+3+≥2+3, 即直線l的斜率的最小值為2+3. 答案:2+3 三、解答題 11.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù). (1)y=(2x2+3)(3x-1); (2)y=(-2)2; (3)y=x-sincos; (4)設(shè)f(x)=(ax+b)sin x+(cx+d)cos x,試確定常數(shù)a,b,c,d,使得f′(x)=xc

8、os x. 解:(1)法一 y′=(2x2+3)′(3x-1)+(2x2+3)(3x-1)′ =4x(3x-1)+3(2x2+3) =18x2-4x+9. 法二 ∵y=(2x2+3)(3x-1)=6x3-2x2+9x-3, ∴y′=(6x3-2x2+9x-3)′=18x2-4x+9. (2)∵y=(-2)2=x-4+4, ∴y′=x′-(4)′+4′=1-4x-=1-2x-. (3)∵y=x-sincos=x-sin x, ∴y′=x′-′=1-cos x. (4)由已知f′(x)=[(ax+b)sin x+(cx+d)cos x]′=[(ax+b)sin x]′+[(cx

9、+d)cos x]′=(ax+b)′sin x+(ax+b)(sin x)′+(cx+d)′cos x+(cx+d)(cos x)′=asin x+(ax+b)cos x+ccos x-(cx+d)sin x=(a-cx-d)sin x+(ax+b+c)cos x. ∵f′(x)=xcos x,∴必須有 即?a=d=1,b=c=0. 12.已知函數(shù)f(x)=在x=處的切線為l,直線g(x)=kx+與l平行,求f(x)的圖象上的點到直線g(x)的最短距離. 解:因為f(x)=, 所以f′(x)=. 所以切線l的斜率為k=f′=1,切點為T. 所以切線l的方程為x-y+=0. 因為切線l與直線g(x)=kx+平行, 所以k=1, 即g(x)=x+. f(x)的圖象上的點到直線g(x)=x+的最短距離為切線l:x-y+=0與直線x-y+=0之間的距離, 所以所求最短距離為=.

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