高考數(shù)學(xué)理一輪資源庫第七章 第3講基本不等式及其應(yīng)用

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1、 精品資料 第3講 基本不等式及其應(yīng)用 一、填空題 1．已知x，y∈R＋，且滿足＋＝1，則xy的最大值為________． 解析　∵x＞0，y＞0且1＝＋≥2 ，∴xy≤3.當(dāng)且僅當(dāng)＝時取等號． 答案　3 2．若實數(shù)x，y滿足x2＋y2＋xy＝1，則x＋y的最大值為________． 解析　由x2＋y2＋xy＝1，得(x＋y)2－xy＝1，即xy＝(x＋y)2－1≤，所以(x＋y)2≤1，故－≤x＋y≤，當(dāng)x＝y(tǒng)時“＝”成立，所以x＋y的最大值為. 答案　 3．已知0＜a＜b，且a＋b＝1，則下列不等式：①log2a＞0

2、；?、?a－b＜；③2＋＜；④log2a＋log2b＜－2，其中正確的是________． 解析　由0＜a＜b，且a＋b＝1，得0＜a＜＜b＜1，所以log2a＜0.易得a－b＞－1，所以2a－b＞，由＋＞2，得2＋＞4，由1＝a＋b＞2(a≠b)，得ab＜，所以log2a＋log2b＝log2ab＜－2，僅④正確． 答案?、? 4．在等式“1＝＋”兩個括號內(nèi)各填入一個正整數(shù)，使它們的和最小，則填入的兩個數(shù)是________． 解析　設(shè)括號內(nèi)填入的兩個正整數(shù)為x，y，則有＋＝1，于是x＋y＝(x＋y)＝10＋＋≥10＋2 ＝16，當(dāng)且僅當(dāng)y2＝9x2，即x＝4，y＝12時等號成立．此時x

3、＋y取最小值16.故應(yīng)填4和12. 答案　4和12 5．已知函數(shù)f(x)＝2x，f(a)f(b)＝8，若a＞0且b＞0，則＋的最小值為________． 解析　因為f(a)f(b)＝2a2b＝2a＋b＝8，所以a＋b＝3，所以＋＝(a＋b)＝≥＝3，當(dāng)且僅當(dāng)b2＝4a2，即a＝1，b＝2時等號成立，所以＋的最小值為3. 答案　3 6．已知正數(shù)x，y滿足x＋2≤λ(x＋y)恒成立，則實數(shù)λ的最小值為________． 解析 依題意得x＋2≤x＋(x＋2y)＝2(x＋y)，即≤2(當(dāng)且僅當(dāng)x＝2y時取等號)，即的最大值是2；又λ≥，因此有λ≥2，即λ的最小值是2. 答案 2 7

4、．已知M是△ABC內(nèi)的一點，且＝2，∠BAC＝30，若△MBC，△MCA，△MAB的面積分別為，x，y，則＋的最小值為________． 解析 依題意得＝||||cos 30＝2，則||||＝4，故S△ABC＝||||sin 30＝1，即＋x＋y＝1，x＋y＝，所以＋＝2(x＋y)＝2≥2＝18，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即y＝2x＝時，等號成立，因此＋的最小值為18. 答案 18 8．已知a，b∈R，且ab＝50，則|a＋2b|的最小值是________． 解析 依題意得，a，b同號，于是有|a＋2b|＝|a|＋|2b|≥2＝2＝2＝20(當(dāng)且僅當(dāng)|a|＝|2b|時取等號)，因此|a＋2b|

5、的最小值是20. 答案 20 9．某公司購買一批機器投入生產(chǎn)，據(jù)市場分析，每臺機器生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的總利潤y(單位：萬元)與機器運轉(zhuǎn)時間x(單位：年)的關(guān)系為y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，則當(dāng)每臺機器運轉(zhuǎn)________年時，年平均利潤最大，最大值是________萬元． 解析 每臺機器運轉(zhuǎn)x年的年平均利潤為＝18－，而x＞0，故≤18－2＝8，當(dāng)且僅當(dāng)x＝5時等號成立，此時年平均利潤最大，最大值為8萬元． 答案 5　8[來XXK] 10．設(shè)a，b是實數(shù)，且a＋b＝3，則2a＋2b的最小值是________． 解析 2a＋2b≥2＝2 ＝2＝4 ∴2a＋2b≥4

6、. 答案 4 二、解答題 11．某森林出現(xiàn)火災(zāi)，火勢正以每分鐘100 m2的速度順風(fēng)蔓延，消防站接到警報立即派消防隊員前去，在火災(zāi)發(fā)生后5分鐘到達(dá)救火現(xiàn)場，已知消防隊員在現(xiàn)場平均每人每分鐘滅火50 m2，所消耗的滅火材料、勞務(wù)津貼等費用為每人每分鐘125元，另附加每次救火所耗損的車輛、器械和裝備等費用平均每人100元，而燒毀一平方米森林損失費為60元． (1)設(shè)派x名消防隊員前去救火，用t分鐘將火撲滅，試建立t與x的函數(shù)關(guān)系式； (2)問應(yīng)該派多少名消防隊員前去救火，才能使總損失最少？ (總損失＝滅火材料、勞務(wù)津貼等費用＋車輛、器械和裝備費用＋森林損失費) 解　(1)t＝＝.

7、 (2)設(shè)總損失為y，則y＝滅火勞務(wù)津貼＋車輛、器械和裝備費＋森林損失費． y＝125tx＋100x＋60(500＋100t) ＝125x＋100x＋30 000＋ ＝1 250＋100(x－2＋2)＋30 000＋ ＝31 450＋100(x－2)＋ ≥31 450＋2＝36 450. 當(dāng)且僅當(dāng)100(x－2)＝，即x＝27時，y有最小值36 450. 12．已知lg(3x)＋lg y＝lg(x＋y＋1)． (1)求xy的最小值； (2)求x＋y的最小值． 解 由lg(3x)＋lg y＝lg(x＋y＋1)，得 (1)∵x＞0，y＞0， ∴3xy＝x＋y＋1≥2＋1.

8、 ∴3xy－2－1≥0. 即3()2－2－1≥0. ∴(3＋1)(－1)≥0. ∴≥1.∴xy≥1. 當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝1時，等號成立． ∴xy的最小值為1. (2)∵x＞0，y＞0， ∴x＋y＋1＝3xy≤32. ∴3(x＋y)2－4(x＋y)－4≥0. ∴[3(x＋y)＋2][(x＋y)－2]≥0. ∴x＋y≥2. 當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝1時取等號，[來源 ∴x＋y的最小值為2. 13．某開發(fā)商用9 000萬元在市區(qū)購買一塊土地建一幢寫字樓，規(guī)劃要求寫字樓每層建筑面積為2 000平方米．已知該寫字樓第一層的建筑費用為每平方米4 000元，從第二層開始，每一層的建筑費用比

9、其下面一層每平方米增加100元． (1)若該寫字樓共x層，總開發(fā)費用為y萬元，求函數(shù)y＝f(x)的表達(dá)式；(總開發(fā)費用＝總建筑費用＋購地費用) (2)要使整幢寫字樓每平方米的平均開發(fā)費用最低，該寫字樓應(yīng)建為多少層？ 解 (1)由已知，寫字樓最下面一層的總建筑費用為： 4 0002 000＝8 000 000(元)＝800(萬元)， 從第二層開始，每層的建筑總費用比其下面一層多： 1002 000＝200 000(元)＝20(萬元)， 寫字樓從下到上各層的總建筑費用構(gòu)成以800為首項，20為公差的等差數(shù)列， 所以函數(shù)表達(dá)式為： y＝f(x)＝800x＋20＋9 000 ＝1

10、0x2＋790x＋9 000(x∈N*)； (2)由(1)知寫字樓每平方米平均開發(fā)費用為： g(x)＝10 000 ＝ ＝50≥50(2＋79) ＝6 950(元)． 當(dāng)且僅當(dāng)x＝，即x＝30時等號成立．[來源:] 答：該寫字樓建為30層時，每平方米平均開發(fā)費用最低． 14．提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況．在一般情況下，大橋上的車流速度v(單位：千米/時)是車流密度x(單位：輛/千米)的函數(shù)．當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0；當(dāng)車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為60千米/時．研究表明：當(dāng)20≤x≤200時，車流速度v是

11、車流密度x的一次函數(shù)． (1)當(dāng)0≤x≤200時，求函數(shù)v(x)的表達(dá)式； (2)當(dāng)車流密度x為多大時，車流量(單位時間內(nèi)通過橋上某觀測點的車輛數(shù)，單位：輛/時)f(x)＝xv(x)可以達(dá)到最大，并求出最大值．(精確到1輛/時) 解　(1)由題意：當(dāng)0≤x≤20時，v(x)＝60；當(dāng)20