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1、 精品資料
學(xué)案71 矩陣與變換
(一)二階矩陣與變換
導(dǎo)學(xué)目標(biāo): 1.了解矩陣的有關(guān)概念,理解二階矩陣與平面列向量的乘法.2.了解幾種常見的平面變換,理解矩陣對(duì)應(yīng)的變換把平面上的直線變成直線(或者點(diǎn)).3.理解二階矩陣的乘法及簡(jiǎn)單性質(zhì).
自主梳理
1.線性變換與二階矩陣
在平面直角坐標(biāo)系xOy中,由(其中a,b,c,d是常數(shù))構(gòu)成的變換稱為線性變換.由四個(gè)數(shù)a,b,c,d排成的正方形數(shù)表稱為________,其中a,b,c,d稱為矩陣的________,矩陣通常用大寫字母A,B,C,…或(aij)表示(其中i,j分別為
2、元素aij所在的行和列).
2.矩陣的乘法
行矩陣[a11a12]與列矩陣的乘法規(guī)則為[a11a12]=[a11b11+a12b21],二階矩陣與列矩陣的乘法規(guī)則為=.矩陣乘法滿足結(jié)合律,不滿足交換律和消去律.
3.幾種常見的線性變換
(1)恒等變換矩陣M=;
(2)旋轉(zhuǎn)變換Rθ對(duì)應(yīng)的矩陣是M=_____________________________________________;
(3)反射變換要看關(guān)于哪條直線對(duì)稱.例如若關(guān)于x軸對(duì)稱,則變換對(duì)應(yīng)矩陣為M1=;若關(guān)于y軸對(duì)稱,則變換對(duì)應(yīng)矩陣為M2=__________;若關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱,則變換對(duì)應(yīng)矩陣M3=_________
3、___;
(4)伸壓變換對(duì)應(yīng)的二階矩陣M=,表示將每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的________倍,縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的________倍,k1,k2均為非零常數(shù);
(5)投影變換要看投影在什么直線上,例如關(guān)于x軸的投影變換的矩陣為M=__________;
(6)切變變換要看沿什么方向平移,若沿x軸平移|ky|個(gè)單位,則對(duì)應(yīng)矩陣M=__________,若沿y軸平移|kx|個(gè)單位,則對(duì)應(yīng)矩陣M=.(其中k為非零常數(shù)).
4.線性變換的基本性質(zhì)
設(shè)向量α=,規(guī)定實(shí)數(shù)λ與向量α的乘積λα=__________;設(shè)向量α=,β=,規(guī)定向量α與β的和α+β=__________.
(1)設(shè)M是一個(gè)
4、二階矩陣,α、β是平面上的任意兩個(gè)向量,λ是一個(gè)任意實(shí)數(shù),則①M(fèi)(λα)=__________,②M(α+β)=______________________________.
(2)二階矩陣對(duì)應(yīng)的變換(線性變換)把平面上的直線變成直線(或一點(diǎn)).
自我檢測(cè)
1.點(diǎn)A(3,-6)在矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下得到的點(diǎn)的坐標(biāo)是________.
2.設(shè)=,則它表示的方程組為______________.
3.設(shè)矩陣A=,矩陣A所確定的變換將點(diǎn)P(x,y)變換成點(diǎn)Q,則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為________.
4.設(shè)△OAB的三個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)為O(0,0),A(A1,A2),B(B1,B2),在矩陣
5、M=對(duì)應(yīng)的變換下作用后形成△OA′B′,則△OAB與△OA′B′的面積之比為____________________.
5.二階矩陣M對(duì)應(yīng)的變換將點(diǎn)(1,-1)與(-2,1)分別變?yōu)辄c(diǎn)(-1,-1)與(0,-2).
(1)求矩陣M;
(2)設(shè)直線l在矩陣M對(duì)應(yīng)的變換作用下得到直線m:x-y-4=0,求l的方程.
探究點(diǎn)一 幾種常見的變換
例1 試討論下列矩陣將所給圖形變成了什么圖形,并指出該變換是什么變換.
(1),方程為y=2x+2;
(2),點(diǎn)A(2,5);
(3),曲線方程為x2+y2=4.
6、
變式遷移1 將點(diǎn)(2,4)先經(jīng)過(guò)矩陣變換后,再繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90角所得的點(diǎn)坐標(biāo)為________.
探究點(diǎn)二 矩陣的乘法及幾何意義
例2 驗(yàn)證下列等式,并從幾何變換的角度給予解釋:
=.
變式遷移2 已知矩陣M=和N=,求證:MN=NM.
探究點(diǎn)三 矩陣與變換的綜合應(yīng)用
例3 已知兩個(gè)城市甲與乙間的交通有陸路和航空兩種,其陸路可用矩陣表示為M=,航空可用矩陣表示為N=.
(1)試從NM的結(jié)果中說(shuō)明在這個(gè)網(wǎng)絡(luò)里可以進(jìn)行怎樣的旅行?
(2)請(qǐng)計(jì)算M2,并據(jù)此矩陣說(shuō)
7、明網(wǎng)絡(luò)里可以進(jìn)行怎樣的旅行?
(3)請(qǐng)計(jì)算MNM,并據(jù)此說(shuō)明網(wǎng)絡(luò)里可以做怎樣的旅行?
變式遷移3 已知A=,B=,試求AB,并對(duì)其幾何意義給予解釋.
1.常見的變換矩陣
(1)恒等變換矩陣為M=;(2)伸壓變換矩陣為M=或M=;(3)反射變換矩陣為M1=,M2=,M3=;(4)旋轉(zhuǎn)變換矩陣為M=;(5)投影變換矩陣為M1=,M2=,M3=;(6)切變變換矩陣為M=或M=.
2.矩陣的乘法不滿足交換律,不滿足消去律,但滿足結(jié)合律.
設(shè)A=,B=,則AB=.
(滿分:90分)
一、填空題(每小題6分,共48分)
8、
1.矩陣(左)乘向量的法則是________.
2.(2010龍巖一模)在某個(gè)旋轉(zhuǎn)變換中,順時(shí)針旋轉(zhuǎn)所對(duì)應(yīng)的變換矩陣為________.
3.直線2x+y-1=0經(jīng)矩陣M=的變換后得到的直線方程為________.
4.設(shè)a,b∈R,若矩陣A=將直線l:x+y-1=0變?yōu)橹本€x-y-2=0,則a=________,b=________.
5.已知A=,B=,C=.則AB=________,AC=________.
6.曲線y=sin x在矩陣MN變換下的函數(shù)解析式為________.(其中M=,N=.)
7.(2010南京二模)在直角坐標(biāo)系中,△OAB的頂點(diǎn)坐標(biāo)O(0,0),A
9、(2,0),B(1,),△OAB在矩陣MN的作用下變換所得的圖形的面積為________(其中矩陣M=,N=).
8.已知二階矩陣M滿足M=,M=,則M2=________.
二、解答題(共42分)
9.(14分)(2011江蘇)已知矩陣A=,向量β=.求向量α,使得A2α=β.
10.(14分)(2010江蘇)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)A(0,0),B(-2,0),C(-2,1).設(shè)k為非零實(shí)數(shù),矩陣M=,N=,點(diǎn)A、B、C在矩陣MN對(duì)應(yīng)的變換下得到的點(diǎn)分別為A1、B1、C1,△A1B1C1的面積是△ABC的面積的
10、2倍,求k的值.
11.(14分)(2010福建)已知矩陣M=,N=,且MN=.
①求實(shí)數(shù)a,b,c,d的值;
②求直線y=3x在矩陣M所對(duì)應(yīng)的線性變換作用下的象的方程.
學(xué)案71 矩陣與變換
(一)二階矩陣與變換
答案
自主梳理
1.二階矩陣 元素 3.(2)
(3) (4)k1 k2 (5) (6) 4. (1)λMα Mα+Mβ
自我檢測(cè)
1.(9,-3) 2. 3.(x-y,y)
4.1∶1
解析 由題意知TM為切變變換,
11、故變換前后圖形面積大小不變.
5.(1) (2)x+y+2=0
解析 (1)設(shè)M=,則=,=.∴.①
.②
由①②聯(lián)立得a=1,b=2,c=3,d=4,
故M=.
(2)設(shè)(x′,y′)為l上任意一點(diǎn),在經(jīng)矩陣M變換下對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(x,y),
則=∴,
代入x-y-4=0得x′+y′+2=0,
即x+y+2=0.
課堂活動(dòng)區(qū)
例1 解題導(dǎo)引 對(duì)于已知變換前后的象和原象,要求變換矩陣這類問題,我們顯然無(wú)法對(duì)所有的變換進(jìn)行一一嘗試,用待定系數(shù)法解題可起到事半功倍的效果.通過(guò)具體的矩陣對(duì)平面上給定圖形(如正方形、三角形)的變換,應(yīng)充分地認(rèn)識(shí)到矩陣可表示如下的線性變換:恒等、反射、
12、伸壓、旋轉(zhuǎn)、切變、投影.
解 (1)所給方程表示的是一條直線.
設(shè)A(x,y)為直線上的任意一點(diǎn),經(jīng)過(guò)變換后的點(diǎn)為A′(x′,y′).
∵=,
∴x=x′,y=y(tǒng)′.
變換后的方程仍為y=2x+2.
∴該變換是恒等變換.
(2)經(jīng)過(guò)變化后變?yōu)?-2,5),它們關(guān)于y軸對(duì)稱,故該變換為關(guān)于y軸的反射變換.
(3)所給方程是以原點(diǎn)為圓心,2為半徑的圓,設(shè)A(x,y)為曲線上的任意一點(diǎn),經(jīng)過(guò)變換后的點(diǎn)為A1(x1,y1),則==,
∴2x=x1,y=y(tǒng)1.
將之代入到x2+y2=4可得方程+=4,此方程表示橢圓,所給方程表示的是圓,該變換是伸壓變換.
變式遷移1 (-8
13、,2)
解析 由題意知
===
例2 解題導(dǎo)引 ①熟悉六種線性變換,方可理解矩陣乘法的幾何意義.矩陣乘法MN的幾何意義為對(duì)向量連續(xù)依次實(shí)施的兩次幾何變換(先TN后TM)的復(fù)合變換.
②因?yàn)榫仃嚨某朔ㄟ\(yùn)算不滿足變換律,對(duì)應(yīng)地,對(duì)一個(gè)向量a先實(shí)施變換f,再實(shí)施變換g與先實(shí)施變換g,再實(shí)施變換f,其結(jié)果通常也是不一樣的.因而做題時(shí)必須認(rèn)真審題.弄清題意,不能混淆f(g(a))和g(f(a)).
解 等式右邊表示的是對(duì)點(diǎn)(x,y)先作沿x軸的切變變換得(x+y,y),再將所得的點(diǎn)進(jìn)行保持橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍的伸壓變換得(x+y,2y),最后將得到的點(diǎn)作沿y軸的切變變換得(x+
14、y,x+3y).等式左邊表示的是將點(diǎn)(x,y)作如下變換:
==,即它也是將點(diǎn)(x,y)變成了點(diǎn)(x+y,x+3y),因此,等式兩邊表示的變換相同,所以有=
變式遷移2 解 MN=
=,
NM==,
故MN=NM.
例3 解題導(dǎo)引 M的意義表示陸路的網(wǎng)絡(luò)圖為甲→乙;N的意義表示航空的網(wǎng)絡(luò)圖為甲→乙.
解 (1)NM==,這說(shuō)明,在此網(wǎng)絡(luò)中可以選擇先陸路后航空的旅行.
(2)M2==,這說(shuō)明,在此網(wǎng)絡(luò)中可以選擇先陸路后再陸路的旅行.
(3)MNM==,這說(shuō)明,在此網(wǎng)絡(luò)中可以選擇先陸路,再航空,然后再陸路的旅行.
變式遷移3 解 AB=
=
=
AB表示的變換為逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)
15、α+β.
A表示逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α,B表示逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)β.
課后練習(xí)區(qū)
1.=
2.
解析 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)即逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)π,
變換矩陣為
==.
3.2x+y+1=0
解析 由變換矩陣M知坐標(biāo)變換公式為,
即,
代入直線方程2x+y-1=0得2x′+y′+1=0.
即2x+y+1=0.
4.2?。?
解析 在直線l上任取一點(diǎn)P(x,y),經(jīng)矩陣變換后為點(diǎn)P′(x′,y′),
則由==,
得
所以ax+y-by-2=0,即ax+(1-b)y-2=0,
于是由==,解得a=2,b=-1.
5.,
解析 AB==,
AC==.
6.y=2sin 2x
解析 MN==,
16、
即在矩陣MN變換下→=,
則y′=sin 2x′,即曲線y=sin x在矩陣MN變換下的函數(shù)解析式為y=2sin 2x.
7.1
解析 MN=,=,
=,=.
可知O,A,B三點(diǎn)在矩陣MN作用下變換所得的點(diǎn)分別為O′(0,0),A′(2,0),B′(2,-1).可知△O′A′B′的面積為1.
8.
解析 設(shè)M=,由M=得,=,所以a=1,c=0.
由M=得,=,所以b=1,d=2.
所以M=.
所以M2==.
所以M2==.
9.解 A2==.(4分)
設(shè)α=,由A2α=β,得=,(7分)
從而解得所以α=.(14分)
10.解 由題設(shè)得MN=?。?(4分)
17、
由=,=,
=,可知A1(0,0),B1(0,-2),C1(k,-2).(10分)
計(jì)算得△ABC的面積是1,△A1B1C1的面積是|k|,
由題設(shè)知|k|=21=2,所以k的值為-2或2.(14分)
11.解 方法一?、儆深}設(shè)得解得(6分)
②因?yàn)榫仃嘙對(duì)應(yīng)的線性變換將直線變成直線(或點(diǎn)),所以可取直線y=3x上的兩點(diǎn)(0,0),(1,3).
由=,
=得
點(diǎn)(0,0),(1,3)在矩陣M所對(duì)應(yīng)的線性變換作用下的象分別是點(diǎn)(0,0),(-2,2).(12分)
從而直線y=3x在矩陣M所對(duì)應(yīng)的線性變換作用下的象的方程為y=-x.(14分)
方法二?、偻椒ㄒ唬?
②設(shè)直線y=3x上的任意點(diǎn)(x,y)在矩陣M所對(duì)應(yīng)的線性變換作用下的象是點(diǎn)(x′,y′),由===
得y′=-x′,即點(diǎn)(x′,y′)必在直線y=-x上.由(x,y)的任意性可知,直線y=3x在矩陣M所對(duì)應(yīng)的線性變換作用下的象的方程為y=-x.