《高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí):第八章 :第四節(jié)直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系突破熱點題型》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí):第八章 :第四節(jié)直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系突破熱點題型(5頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、 精品資料
第四節(jié) 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系
考點一
直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系
[例1] (1)(2013陜西高考)已知點M(a,b)在圓O:x2+y2=1外,則直線ax+by=1與圓O的位置關(guān)系是( )
A.相切 B.相交 C.相離 D.不確定
(2)(2014南昌模擬)若過點(1,2)總可以作兩條直線與圓x2+y2+kx+2y+k2-15=0相切,則實數(shù)k的取值范圍是________________.
[自主解答] (1)因為M(a,b)在圓O:x2+y2=1外,所以a2
2、+b2>1,而圓心O到直線ax+by=1的距離d==<1,所以直線與圓相交.
(2)把圓的方程化為標準方程得2+(y+1)2=16-k2,
所以16-k2>0,解得-0,即(k-2)(k+3)>0,
解得k>2或k<-3,
則實數(shù)k的取值范圍是∪.
[答案] (1)B (2)∪
【互動探究】
在本例(2)中的條件“總可以作兩條直線”改為“至多能作一條直線”,結(jié)果如何?
解:依題意知點(1,2)應(yīng)在圓上或圓的內(nèi)部,
所以有
解得-3≤k≤2.
【方法規(guī)律】
3、1.判斷直線與圓的位置關(guān)系的方法
(1)幾何法:①明確圓心C的坐標(a,b)和半徑r,將直線方程化為一般式;②利用點到直線的距離公式求出圓心到直線的距離d;③比較d與r的大小,寫出結(jié)論.
(2)代數(shù)法:①直線方程與圓的方程聯(lián)立,消去一個變量;②判斷二次方程根的個數(shù)(Δ與0的關(guān)系);③得出結(jié)論.
2.圓與圓的位置關(guān)系
判斷圓與圓的位置關(guān)系時,一般用幾何法,其步驟是:
(1)確定兩圓的圓心坐標和半徑長;
(2)利用平面內(nèi)兩點間的距離公式求出圓心距d,求r1+r2,|r1-r2|;
(3)比較d,r1+r2,|r1-r2|的大小,寫出結(jié)論.
1.直線y=x+1與圓x2+y2=1的
4、位置關(guān)系是( )
A.相切 B.相交但直線不過圓心
C.直線過圓心 D.相離
解析:選B 法一:由
消去y,整理得x2+x=0,
因為Δ=12-410=1>0,所以直線與圓相交.
又圓x2+y2=1的圓心坐標為(0,0),且0≠0+1,所以直線不過圓心.
法二:圓x2+y2=1的圓心坐標為(0,0),半徑長為1,則圓心到直線y=x+1的距離d==.
因為0<<1,所以直線y=x+1與圓x2+y2=1相交但直線不過圓心.
2.圓C1:x2+y2+2x+2y-2=0與圓C2:x2+y2-4x-2y+4=0的公切線有( )
A.1條 B.
5、2條
C.3條 D.4條
解析:選D 圓C1:(x+1)2+(y+1)2=4,
∴圓心C1(-1,-1),半徑長r1=2;
圓C2:(x-2)2+(y-1)2=1,
∴圓心C2(2,1),半徑長r2=1.
∴d==,r1+r2=3,
∴d>r1+r2,∴兩圓外離,[來源:]
∴兩圓有4條公切線.
考點二
與圓有關(guān)的弦長問題
[例2] (1)(2013安徽高考)直線x+2y-5+=0被圓x2+y2-2x-4y=0截得的弦長為( )
A.1 B.2 C.4 D.4
(2)(2013江西高考)
6、過點(,0)引直線l與曲線y=相交于A,B兩點,O為坐標原點,當△AOB的面積取最大值時,直線l的斜率等于( )
A. B.- C. D.-
[自主解答] (1)因為圓心(1,2)到直線x+2y-5+=0的距離d==1,且圓的半徑r=.
所以所得弦長=2=4.
[來源:]
(2)由于y=,即x2+y2=1(y≥0),直線l與x2+y2=1(y≥0)交于A,B兩點,如圖所示,S△AOB=11sin∠AOB≤,且當∠AOB=90時,S△AOB取得最大值,此時AB=,點O到直線l的距離為,則∠OCB=30,所以直線l的傾斜角為150,則斜率為-.
7、
[答案] (1)C (2)B
【方法規(guī)律】
計算直線被圓截得的弦長的常用方法
(1)幾何方法
運用弦心距(即圓心到直線的距離)、弦長的一半及半徑
構(gòu)成的直角三角形計算.
(2)代數(shù)方法
運用韋達定理及弦長公式
|AB|=|xA-xB|=.
1.直線y=x被圓x2+(y-2)2=4截得的弦長為________.
解析:法一:幾何法:圓心到直線的距離為d==,圓的半徑r=2,所以弦長l=2=2=2.
法二:代數(shù)法:聯(lián)立直線和圓的方程
消去y可得x2-2x=0,所以直線和圓的兩個交點坐標分別為(2,2),(0,0),弦長為=2.
答案:2
2.(2014濟南模
8、擬)已知圓C過點(1,0),且圓心在x軸的正半軸上,直線l:y=x-1被圓C所截得的弦長為2,則過圓心且與直線l垂直的直線的方程為________________.
解析:由題意,設(shè)所求的直線方程為x+y+m=0,設(shè)圓心坐標為(a,0),則由題意知2+2=(a-1)2,解得a=3或a=-1,又因為圓心在x軸的正半軸上,所以a=3,故圓心坐標為(3,0).因為圓心(3,0)在所求的直線上,所以有3+0+m=0,即m=-3,故所求的直線方程為x+y-3=0.[來源:]
答案:x+y-3=0
高頻考點[來源:]
考點三 圓的切線問題
1.與圓有關(guān)的切線問題,是近年
9、來高考在本節(jié)命題的一個熱點問題,多以選擇、填空題的形式呈現(xiàn),試題難度不大,多為中、低檔題目.
2.高考對圓的切線問題的考查主要有以下幾個命題角度:
(1)過圓上一點求圓的切線方程;
(2)過圓外一點求圓的切線方程;
(3)與切線長有關(guān)的問題;
(4)與切線夾角有關(guān)的問題.
[例3] (1)(2012江西高考)過直線x+y-2=0上點P作圓x2+y2=1的兩條切線,若兩條切線的夾角是60,則點P的坐標是________.
(2)(2013江蘇高考)如圖,在平面直角坐標系xOy中,點A(0,3),直線l:y=2x-4.設(shè)圓C的半徑為1,圓心在l上.
①若圓心C也在直線y=x-1
10、上,過點A作圓C的切線,求切線的方程;
②若圓C上存在點M,使MA=2MO,求圓心C的橫坐標a的取值范圍.
[自主解答] (1)如圖所示,
|OP|==2,
設(shè)P(x,y),
則?
故P(,).
(2)①由題意知,圓心C是直線y=2x-4和y=x-1的交點,解得點C(3,2),于是切線的斜率必存在.
設(shè)過A(0,3)的圓C的切線方程為y=kx+3,
依題意知,=1,
所以k=0或-,
因此,切線方程為y=3或y=-x+3,
即切線方程為y-3=0或3x+4y-12=0.
②因為圓心在直線y=2x-4上,
所以圓C的方程為(x-a)2+[y-2(a-2)]2=
11、1.
設(shè)點M(x,y),因為MA=2MO,
所以=2,
化簡得x2+y2+2y-3=0,即x2+(y+1)2=4,
所以點M在以D(0,-1)為圓心,2為半徑的圓上.
由題意,點M(x,y)在圓C上,所以圓C與圓D有公共點,則|2-1|≤CD≤2+1,
即1≤≤3.
由5a2-12a+8≥0,得a∈R;
由5a2-12a≤0,得0≤a≤.
所以點C的橫坐標a的取值范圍為0,.
[答案] (1)(,)
與圓的切線有關(guān)的問題的常見類型與解題策略
(1)過圓上一點求圓的切線方程.首先考慮切線斜率不存在時,是否符合要求,其次考慮斜率存在時,由直線與圓相切,求出斜率k,進而得
12、出切線方程.
(2)過圓外一點求圓的切線方程.方法同上.
(3)與切線長有關(guān)的問題.解題時應(yīng)注意圓心與切點的連線與切線垂直,從而得出一個直角三角形,然后求解.
(4)與切線有關(guān)的夾角問題.與(3)相同,利用直角三角形解決問題.
1.(2014大慶模擬)已知圓C的半徑為2,圓心在x軸的正半軸上,直線3x+4y+4=0與圓C相切,則圓C的方程為 ( )
A. x2+y2-2x-3=0 B. x2+y2+4x=0[來源:數(shù)理化網(wǎng)]
C. x2+y2+2x-3=0 D. x2+y2-4x=0
解析:選D 設(shè)圓心的坐標為(a,0)(a>0),
又因為直線
13、3x+4y+4=0與圓C相切,
所以=2,
解得a=2或-(舍),
因此圓的方程為(x-2)2+y2=22,
即x2+y2-4x=0.
2.(2014豫東、豫北十校聯(lián)考)圓心在曲線y=(x>0)上,且與直線3x+4y+3=0相切的面積最小的圓的方程為( )
A.(x-2)2+2=9
B.(x-3)2+(y-1)2=2
C.(x-1)2+(y-3)2=2
D.(x-)2+(y-)2=9
解析:選A 設(shè)所求圓的圓心坐標是(a>0),則點(a>0)到直線3x+4y+3=0的距離d==≥=3,當且僅當3a=,即a=2時取等號,因此所求圓的圓心坐標是,半徑是3,圓的方程為(x-2)2+2=9.
———————————[課堂歸納——通法領(lǐng)悟]————————————————
2種方法——解決直線與圓位置關(guān)系的兩種方法
見本節(jié)考點一[方法規(guī)律].
3個注意點——直線與圓相切、相交的三個注意點
(1)涉及圓的切線時,要注意過切點的半徑與切線垂直;
(2)當直線與圓相交時,半弦、弦心距、半徑所構(gòu)成的直角三角形在解題中起到關(guān)鍵的作用,解題時要注意把它與點到直線的距離公式結(jié)合起來使用;
(3)判斷直線與圓相切,特別是過圓外一點求圓的切線時,應(yīng)有兩條.在解題中,若只求得一條,則說明另一條的斜率不存在,這一點經(jīng)常忽視,應(yīng)注意檢驗、防止出錯.