高考數(shù)學復習：第九章 ：第六節(jié)數(shù)學歸納法演練知能檢測

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1、 精品資料 第六節(jié)　數(shù)學歸納法 [全盤鞏固] 1．用數(shù)學歸納法證明不等式1＋＋＋…＋>(n∈N*)成立，其初始值至少應(yīng)取(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 解析：選B　左邊＝1＋＋＋…＋＝＝2－，代入驗證可知n的最小值是8. 2．用數(shù)學歸納法證明“1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1)”，在驗證n＝1時，左端計算所得的項為(　　) A．1 B．1＋a C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3 解析：選C　∵等式的左端為1＋a＋a

2、2＋…＋an＋1，∴當n＝1時，左端＝1＋a＋a2. 3．利用數(shù)學歸納法證明不等式1＋＋＋…＋

3、＝k＋1時正確(其中k∈N*) D．假設(shè)n≤k(k≥1)時正確，再推n＝k＋2時正確(其中k∈N*)[來源:] 解析：選B　∵n為正奇數(shù)，∴n＝2k－1(k∈N*)． 5．在數(shù)列{an}中，a1＝，且Sn＝n(2n－1)an，通過求a2，a3，a4，猜想an的表達式為(　　) A. B. C. D. 解析：選C　由a1＝，Sn＝n(2n－1)an，求得a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝.猜想an＝. 6．設(shè)函數(shù)f(n)＝(2n＋9)3n＋1＋9，當n∈N*時，f(n)能被m(m∈N*)整除，猜想m的最大值為(　　) A．9

4、 B．18 C．27 D．36 解析：選D　f(n＋1)－f(n)＝(2n＋11)3n＋2－(2n＋9)3n＋1＝4(n＋6)3n＋1，當n＝1時，f(2)－f(1)＝479為最小值，據(jù)此可猜想D正確． 7．用數(shù)學歸納法證明不等式＋＋…＋>的過程中，由n＝k推導n＝k＋1時，不等式的左邊增加的式子是____________． 解析：不等式的左邊增加的式子是＋－＝，故填. 答案： 8．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝an＋1(n∈N*)，通過計算a1，a2，a3，a4，可猜想an＝________. 解析：∵a1＝1，∴a2＝a1＋1＝，a3＝a2＋1＝

5、，a4＝a3＋1＝.猜想an＝. 答案： 9．設(shè)平面內(nèi)有n條直線(n≥3)，其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過同一點．若用f(n)表示這n條直線交點的個數(shù)，則f(4)＝________；當n>4時，f(n)＝________________(用n表示)． 解析：f(3)＝2，f(4)＝f(3)＋3＝2＋3＝5， f(n)＝f(3)＋3＋4＋…＋(n－1)＝2＋3＋4＋…＋(n－1) ＝(n＋1)(n－2)． 答案：5　(n＋1)(n－2)[來源:] 10．用數(shù)學歸納法證明下面的等式： 12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1n2＝(－1)n－1. 證明：(1)當

6、n＝1時，左邊＝12＝1，右邊＝(－1)0＝1，∴原等式成立． (2)假設(shè)n＝k(k∈N*，k≥1)時，等式成立，[來源:] 即有12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2＝(－1)k－1. 那么，當n＝k＋1時，則有12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2＋(－1)k(k＋1)2 ＝(－1)k－1＋(－1)k(k＋1)2＝(－1)k[－k＋2(k＋1)]＝(－1)k. ∴n＝k＋1時，等式也成立， 由(1)(2)知對任意n∈N*，有12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1n2＝(－1)n－1. 11．設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＝3，an＋1＝a－2nan＋2，n＝1,2

7、,3，…. (1)求a2，a3，a4的值，并猜想數(shù)列{an}的通項公式(不需證明)； (2)記Sn為數(shù)列{an}的前n項和，試求使得Sn<2n成立的最小正整數(shù)n，并給出證明． 解：(1)a2＝5，a3＝7，a4＝9，猜想an＝2n＋1. (2)Sn＝＝n2＋2n，使得Sn<2n成立的最小正整數(shù)n＝6. 下證：n≥6(n∈N*)時都有2n>n2＋2n. ①n＝6時，26>62＋26，即64>48成立； ②假設(shè)n＝k(k≥6，k∈N*)時，2k>k2＋2k成立，那么2k＋1＝22k>2(k2＋2k)＝k2＋2k＋k2＋2k>k2＋2k＋3＋2k＝(k＋1)2＋2(k＋1)，即n＝k＋

8、1時，不等式成立； 由①②可得，對于任意的n≥6(n∈N*)都有2n>n2＋2n成立． 12．(2014舟山模擬)若不等式＋＋…＋>對一切正整數(shù)n都成立，求正整數(shù)a的最大值，并證明結(jié)論． 解：當n＝1時，＋＋>，即>，所以a<26. 而a是正整數(shù)，所以取a＝25，下面用數(shù)學歸納法證明 ＋＋…＋>. (1)當n＝1時，已證得不等式成立． (2)假設(shè)當n＝k(k∈N*)時，不等式成立， 即＋＋…＋>. 則當n＝k＋1時，有＋＋…＋ ＝＋＋…＋＋＋＋－ >＋. 因為＋－＝－ ＝＝>0， 所以當n＝k＋1時不等式也成立．由(1)(2)知，對一切正整數(shù)n，都有[來源:] ＋

9、＋…＋>，所以a的最大值等于25. [沖擊名校] 已知數(shù)列{an}滿足a1＝0，a2＝1，當n∈N*時，an＋2＝an＋1＋an.求證：數(shù)列{an}的第4m＋1項(m∈N*)能被3整除． 證明：(1)當m＝1時，a4m＋1＝a5＝a4＋a3＝(a3＋a2)＋(a2＋a1)＝(a2＋a1)＋2a2＋a1＝3a2＋2a1＝3＋0＝3.即當m＝1時，第4m＋1項能被3整除．故命題成立． (2)假設(shè)當m＝k時，a4k＋1能被3整除，則當m＝k＋1時， a4(k＋1)＋1＝a4k＋5＝a4k＋4＋a4k＋3＝2a4k＋3＋a4k＋2＝2(a4k＋2＋a4k＋1)＋a4k＋2＝3a4k＋2＋2a4k＋1.[來源:] 顯然，3a4k＋2能被3整除，又由假設(shè)知a4k＋1能被3整除．所以3a4k＋2＋2a4k＋1能被3整除． 即當m＝k＋1時，a4(k＋1)＋1也能被3整除．命題也成立． 由(1)和(2)知，對于任意n∈N*，數(shù)列{an}中的第4m＋1項能被3整除．