高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí):第四章 :第三節(jié)平面向量的數(shù)量積及平面向量的應(yīng)用回扣主干知識提升學(xué)科素養(yǎng)

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1、 精品資料 第三節(jié) 平面向量的數(shù)量積及平面向量的應(yīng)用 【考綱下載】 1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義.了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系. 2.掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式,會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算.[來源:] 3.能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角,會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系. 4.會(huì)用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題.會(huì)用向量方法解決簡單的力學(xué)問題與其他一些實(shí)際問題. 1.平面向量的數(shù)量積 平面向量數(shù)量積的定義 已知兩個(gè)非零向量a和b,它們的夾角為θ,把數(shù)量|a||b|cos

2、θ 叫做a和b的數(shù)量積(或內(nèi)積),記作ab.即ab=|a||b|cos θ,規(guī)定0a=0. 2.向量數(shù)量積的運(yùn)算律 (1)ab=ba; (2)(λa)b=λ(ab)=a(λb); (3)(a+b)c=ac+bc. 3.平面向量數(shù)量積的有關(guān)結(jié)論 已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2), 結(jié)論[來源:數(shù)理化網(wǎng)] 幾何表示 坐標(biāo)表示 模 |a|= |a|= 夾角 cos θ= cos θ= a⊥b的充[來源:] 要條件 ab=0 x1x2+y1y2=0[來源:數(shù)理化網(wǎng)]    1.若ab=ac,則b=c嗎?為什么? 提示:不一定.a(chǎn)=0時(shí)不成立

3、,另外a≠0時(shí),由數(shù)量積概念可知b與c不能確定. 2.等式(ab)c=a(bc)成立嗎?為什么? 提示:(ab)c=a(bc)不一定成立.(ab)c是c方向上的向量,而a(bc)是a方向上的向量,當(dāng)a與c不共線時(shí)它們必不相等. 3.|ab|與|a||b|的大小之間有什么關(guān)系? 提示:|ab|≤|a||b|.因?yàn)閍b=|a||b|cos θ,所以|ab|=|a||b||cos θ|≤|a||b|. 1.已知|a|=5,|b|=4,ab=-10,則a與b的夾角為(  ) A.  B. C. D. 解析:選B 設(shè)a與b的夾角為θ, 則

4、ab=|a||b|cos θ=54cos θ=-10,即cos θ=-. 又∵θ∈[0,π],∴θ=. 2.已知向量a=(1,-1),b=(2,x),若ab=1,則x=(  ) A.-1 B.- C. D.1 解析:選D ∵a=(1,-1),b=(2,x),ab=1, ∴2-x=1,即x=1. 3.設(shè)向量a,b滿足|a|=|b|=1,ab=-,則|a+2b|=(  ) A. B. C. D. 解析:選B |a+2b|=== =. 4.(2013新課標(biāo)全國卷Ⅰ)已知兩個(gè)單位向量a,b的夾角為60,c

5、=t a+(1-t)b.若bc=0,則t=________. 解析:因?yàn)橄蛄縜,b為單位向量,所以b2=1,又向量a,b的夾角為60,所以ab=,由bc=0,得b[t a+(1-t)b]=0,即t ab+(1-t)b2=0,所以t+(1-t)=0,所以t=2. 答案:2 5.(2013新課標(biāo)全國卷Ⅱ)已知正方形ABCD的邊長為2,E為CD的中點(diǎn),則=________. 解析:選向量的基底為,,則=-,=+,那么=(-)=2. 答案:2 前沿?zé)狳c(diǎn)(五) 與平面向量有關(guān)的交匯問題 1.平面向量的數(shù)量積是每年高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)內(nèi)容,且常與三角函數(shù)、數(shù)列、三角形、解析幾何等

6、交匯命題,且??汲P拢? 2.此類問題的解題思路是轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算,其轉(zhuǎn)化途徑主要有兩種:一是利用平面向量平行或垂直的充要條件;二是利用平面向量數(shù)量積的公式和性質(zhì). [典例] (2013安徽高考)在平面直角坐標(biāo)系中,O是坐標(biāo)原點(diǎn),兩定點(diǎn)A,B滿足||=||==2,則點(diǎn)集{P|=λ+μ,|λ|+|μ|≤1,λ,μ∈R}所表示的區(qū)域的面積是(  ) A.2 B.2 C.4 D.4 [解題指導(dǎo)] 根據(jù)條件||=||==2,可設(shè)A(2,0),B(1,),=(x,y).利用=λ+μ,以及|λ|+|μ|≤1建立關(guān)于x,y的不等式,從而將問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題求

7、解. [解析] 由||=||=||||=2,知 〈,〉=.[來源:] 設(shè)=(2,0),=(1,),=(x,y), 則解得 由|λ|+|μ|≤1,得|x-y|+|2y|≤2. 作可行域如圖. 則所求面積S=24=4. [答案] D [名師點(diǎn)評] 解決本題的關(guān)鍵有以下幾點(diǎn): (1)根據(jù)已知條件,恰當(dāng)設(shè)出A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo),將其轉(zhuǎn)化為向量的坐標(biāo)運(yùn)算,這是解決此題的突破口. (2)正確列出λ及μ關(guān)于x,y的不等式組. (3)準(zhǔn)確畫出不等式組所表示的平面區(qū)域,并算得面積. 已知兩點(diǎn)M(-3,0),N(3,0),點(diǎn)P為坐標(biāo)平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn),且||||+=0,則動(dòng)點(diǎn)P(x,y)到點(diǎn)M(-3,0)的距離d的最小值為(  ) A.2 B.3 C.4 D.6 解析:選B 因?yàn)镸(-3,0),N(3,0),所以=(6,0),||=6,=(x+3,y),=(x-3,y). 由||||+=0,得6+6(x-3)=0,化簡得y2=-12x,所以點(diǎn)M是拋物線y2=-12x的焦點(diǎn),所以點(diǎn)P到點(diǎn)M的距離的最小值就是原點(diǎn)到M(-3,0)的距離,所以dmin=3.

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