湘教版高考數(shù)學文一輪題庫 第4章第3節(jié)平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例

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1、 精品資料 高考真題備選題庫 第4章 平面向量、數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入 第3節(jié) 平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例 考點一 平面向量的數(shù)量積 1．（2013湖南，5分）已知a，b是單位向量，ab＝0.若向量c滿足|c－a－b|＝1，則|c|的最大值為(　　) A.－1　　　　　　　　　　　 B. C.＋1 D.＋2 解析：本題主要考查向量的坐標運算、向量模的幾何含義與向量模的最值求解，意在考查考生的轉(zhuǎn)化能力、數(shù)形結(jié)合思想的運用能力．建立平面直角坐標系，令向量a，b的坐標a＝(1,0)，b＝(0,1)，令向量c＝(x

2、，y)，則有＝1，|c|的最大值為圓(x－1)2＋(y－1)2＝1上的動點到原點的距離的最大值，即圓心(1,1)到原點的距離加圓的半徑，即＋1. 答案：C 2．（2013湖北，5分）已知點A(－1,1)、B(1,2)、C(－2，－1)、D(3,4)，則向量在方向上的投影為(　　) A. B. C．－ D．－ 解析：本題考查向量的坐標運算及向量投影的概念，意在考查考生對基礎(chǔ)知識的掌握情況．＝(2,1)，＝(5,5)，向量＝(2,1)在＝(5,5)上的投影為||cos〈，〉＝||＝＝＝，故選A. 答案：A 3．（2010遼寧，5分）平面上O，A，B三點不共線，設(shè)＝a，＝b，則

3、△OAB的面積等于(　　) A. B. C. D. 解析：因為cos〈a，b〉＝， 所以sin∠AOB＝sin〈a，b〉＝ ， 則S△AOB＝|a||b|sin∠AOB＝. 答案：C 4．(2010湖南，5分)若非零向量a，b滿足|a|＝|b|，(2a＋b)b＝0，則a與b的夾角為(　　) A．30 B．60 C．120 D．150 解析：(2a＋b)b＝2ab＋b2＝2|a|2cos〈a，b〉＋a2＝0?cos〈a，b〉＝－，所以夾角為120. 答案：C 5．(2009福建，5分)設(shè)a，b，c為同一平面內(nèi)具有相同起點的任意三個非零向量，且滿足a與b不共線，

4、a⊥c，|a|＝|c|，則|bc|的值一定等于(　　) A．以a，b為兩邊的三角形的面積 B．以b，c為兩邊的三角形的面積 C．以a，b為鄰邊的平行四邊形的面積 D．以b，c為鄰邊的平行四邊形的面積 解析：∵|bc|＝|b||c||cosθ|， 如圖，∵a⊥c，∴|bcosθ|就是以a、b為鄰邊的平行四邊形的高，而|a|＝|c|， ∴|bc|＝|a|(|b||cosθ|)， ∴|bc|表示以a、b為鄰邊的平行四邊形的面積． 答案：C 6．（2012新課標全國，5分）已知向量a，b夾角為45，且|a|＝1，|2a－b|＝，則|b|＝________. 解析：依題意，可知

5、|2a－b|2＝4|a|2－4ab＋|b|2＝4－4|a||b|cos 45＋|b|2＝4－2|b|＋|b|2＝10，即|b|2－2|b|－6＝0，∴|b|＝＝3(負值舍去)． 答案：3 7．（2013新課標全國Ⅰ，5分）已知兩個單位向量a，b的夾角為60，c＝ta＋(1－t)b，若bc＝0，則t＝________. 解析：本題考查平面向量的數(shù)量積運算，意在考查考生的運算求解能力．根據(jù)數(shù)量積bc＝0，把已知兩向量的夾角轉(zhuǎn)化到兩向量數(shù)量積的運算中．因為向量a，b為單位向量，所以b2＝1，又向量a，b的夾角為60，所以ab＝，由bc＝0得b[ta＋(1－t)b]＝0，即tab＋(1－t)

6、b2＝0，所以t＋(1－t)＝0，所以t＝2. 答案：2 8．（2013安徽，5分）若非零向量a，b滿足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，則a與b夾角的余弦值為________． 解析：本題主要考查平面向量數(shù)量積的運算和夾角等基礎(chǔ)知識和基礎(chǔ)運算． 對向量的模同時平方可得，|a|2＝9|b|2＝|a＋2b|2＝|a|2＋4|b|2＋4ab，所以有4ab＝－4|b|2，即cos〈a，b〉＝－＝－. 答案：－ 9．（2013浙江，4分）設(shè)e1，e2為單位向量，非零向量b＝xe1＋ye2，x，y∈R.若e1，e2的夾角為，則的最大值等于________． 解析：本題考查向量的概念、運算、函

7、數(shù)的最值等知識，考查轉(zhuǎn)化與化歸能力、函數(shù)與方程思想以及靈活利用知識分析問題、解決問題的能力．當x＝0時，＝0，當x≠0時，2＝＝＝≤4，所以的最大值是2，當且僅當＝－時取到最大值． 答案：2 10. （2012江蘇，5分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，點E為BC的中點，點F在邊CD上，若＝，則的值是________． 解析：以A為坐標原點，AB，AD所在的直線分別為x，y軸建立直角坐標系，則B(，0)，E(，1)，D(0,2)，C(，2)．設(shè)F(x,2)(0≤x≤)，由＝?x＝?x＝1，所以F(1,2)，＝(，1)(1－，2)＝. 答案： 11．（2012湖北，5分）

8、已知向量a＝(1,0)，b＝(1,1)，則 (1)與2a＋b同向的單位向量的坐標表示為________； (2)向量b－3a與向量a夾角的余弦值為________． 解析：(1)因為2a＋b＝(3,1)，所以與它同向的單位向量的坐標是(，)； (2)b－3a＝(－2,1)，所以(b－3a)a＝－2，|b－3a|＝，所以b－3a與a夾角的余弦為＝＝－ 答案：(1)(，)；(2)－ 12．（2011新課標全國，5分）已知a與b為兩個不共線的單位向量，k為實數(shù)，若向量a＋b與向量ka－b垂直，則k＝________. 解析：∵a＋b與ka－b垂直， ∴(a＋b)(ka－b)＝0，

9、化簡得(k－1)(ab＋1)＝0，根據(jù)a、b向量不共線，且均為單位向量得ab＋1≠0，得k－1＝0，即k＝1. 答案：1 考點二 平面向量的應(yīng)用 1．(2011山東，5分)設(shè)A1，A2，A3，A4是平面直角坐標系中兩兩不同的四點，若＝λ (λ∈R)，＝μA1A2(μ∈R)，且＋＝2，則稱A3，A4調(diào)和分割A1，A2已知點C(c,0)，D(d,0)(c，d∈R)調(diào)和分割點A(0,0)，B(1,0)，則下面說法正確的是(　　) A．C可能是線段AB的中點 B．D可能是線段AB的中點 C．C，D可能同時在線段AB上 D．C，D不可能同時在線段AB的延長線上 解析：根據(jù)已知得(c,0

10、)－(0,0)＝λ[(1,0)－(0,0)]，即(c,0)＝λ(1,0)，從而得c＝λ；(d,0)－(0,0)＝μ[(1,0)－(0,0)]，即(d,0)＝μ(1,0)，得d＝μ.根據(jù)＋＝2，得＋＝2.線段AB的方程是y＝0，x∈[0,1]．若C是線段AB的中點，則c＝，代入＋＝2得，＝0，此等式不可能成立，故選項A的說法不正確；同理選項B的說法也不正確；若C，D同時在線段AB上，則01，d>1，則＋<2，與＋＝2矛

11、盾，若c<0，d<0，則＋是負值，與＋＝2矛盾，若c>1，d<0，則<1，<0，此時＋<1，與＋＝2矛盾；故選項D的說法是正確的． 答案：D 2．（2013遼寧，12分）設(shè)向量a＝(sin x，sin x)，b＝(cos x，sin x)，x∈. (1)若|a|＝|b|，求x的值； (2)設(shè)函數(shù)f(x)＝ab，求f(x)的最大值． 解：本題考查向量與三角函數(shù)的綜合應(yīng)用，側(cè)重考查三角函數(shù)的性質(zhì)． (1)由|a|2＝(sin x)2＋(sin x)2＝4sin2x， |b|2＝(cos x)2＋(sin x)2＝1， 及|a|＝|b|，得4sin2x＝1. 又x∈，從而sin x

12、＝， 所以x＝. (2)f(x)＝ab＝sin xcos x＋sin2x＝sin 2x－cos 2x＋＝sin＋， 當x＝∈時，sin取最大值1. 所以f(x)的最大值為. 3．（2013江蘇，15分）已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，0<β<α<π. (1)若|a－b|＝，求證：a⊥b； (2)設(shè)c＝(0,1)，若a＋b＝c，求α，β的值． 解：本題考查平面向量的加法、減法、數(shù)量積運算，三角函數(shù)的基本關(guān)系等基礎(chǔ)知識，意在考查學生的運算求解和推理論證能力． (1)證明：由題意得|a－b|2＝2，即(a－b)2＝a2－2ab＋b2＝2.

13、又因為a2＝b2＝|a|2＝|b|2＝1，所以2－2ab＝2，即ab＝0，故a⊥b. (2)因為a＋b＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0,1)，所以 由此得，cos α＝cos (π－β)，由0<β<π，得0<π－β<π.又0<α<π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1得，sin α＝sin β＝，而α>β，所以α＝，β＝. 4．（2013天津，13分）設(shè)橢圓＋＝1(a>b>0)的左焦點為F，離心率為， 過點F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為. (1) 求橢圓的方程； (2) 設(shè)A, B分別為橢圓的左、右頂點， 過點F且斜率為k的直線與橢圓

14、交于C，D兩點．若＋＝8，求k的值. 解：本題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)、直線的方程、向量的運算等基礎(chǔ)知識，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)，考查運算求解能力，以及用方程思想解決問題的能力． (1)設(shè)F(－c,0)，由＝，知，a＝c.過點F且與x軸垂直的直線為x＝－c，代入橢圓方程有＋＝1，解得y＝，于是＝，解得b＝，又a2－c2＝b2，從而a＝，c＝1，所以橢圓的方程為＋＝1. (2)設(shè)點C(x1，y1)，D(x2，y2)，由F(－1,0)得直線CD的方程為y＝k(x＋1)． 由方程組消去y，整理得(2＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－6＝0. 則x1＋x2＝－，x1x2＝

15、. 因為A(－，0)，B(，0)，所以＋＝(x1＋，y1)(－x2，－y2)＋(x2＋，y2)(－x1，－y1)＝6－2x1x2－2y1y2＝6－2x1x2－2k2(x1＋1)(x2＋1)＝6－(2＋2k2)x1x2－2k2(x1＋x2)－2k2＝6＋. 由已知得6＋＝8，解得k＝. 5．(2010江蘇，14分)在平面直角坐標系xOy中， 已知點A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)． (1)求以線段AB、AC為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線的長； (2)設(shè)實數(shù)t滿足(－t)＝0，求t的值． 解：(1)由題設(shè)知＝(3,5)，＝(－1,1)， 則＋＝(2,6)，－＝(4,4)． 所以|＋|＝2，|－|＝4. 故所求的兩條對角線長分別為4，2. (2)由題設(shè)知＝(－2，－1)，－t＝(3＋2t,5＋t)． 由(－t)＝0， 得(3＋2t,5＋t)(－2，－1)＝0， 從而5t＝－11，所以t＝－.