高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí):第四章 :第三節(jié)平面向量的數(shù)量積及平面向量的應(yīng)用突破熱點(diǎn)題型

上傳人:仙*** 文檔編號(hào):43059365 上傳時(shí)間:2021-11-29 格式:DOC 頁(yè)數(shù):5 大?。?41KB
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1、 精品資料 第三節(jié) 平面向量的數(shù)量積及平面向量的應(yīng)用 考點(diǎn)一 平面向量數(shù)量積的概念及運(yùn)算   [例1] (1)(2013湖北高考)已知點(diǎn)A(-1,1)、B(1,2)、C(-2,-1)、D(3,4),則向量在方向上的投影為(  ) A. B. C.- D.- (2)如圖,在矩形ABCD中,AB=,BC=2,點(diǎn)E為BC的中點(diǎn),點(diǎn)F在邊CD上,若=,則的值是________. [自主解答] (1)∵A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4), ∴=(2

2、,1),=(5,5), 因此cos〈,〉==, ∴向量在方向上的投影為||cos〈,〉==. (2)以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AD所在的直線(xiàn)分別為x,y軸建立直角坐標(biāo)系,則B(,0),E(,1),D(0,2),C(,2).設(shè)F(x,2)(0≤x≤),由=?x=?x=1,所以F(1,2),=(,1)(1-,2)=. [答案] (1)A (2) 【互動(dòng)探究】 在本例(2)中,若四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形,點(diǎn)E是AB上的動(dòng)點(diǎn),求的值及的最大值. 解: 以A點(diǎn)為原點(diǎn),AB邊所在直線(xiàn)為x軸建立平面直角坐標(biāo)系,如圖所示,則正方形各頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(0,0)、B(1,0)、C(1,1)

3、、D(0,1),設(shè)E(a,0),0≤a≤1. =(a,-1)(0,-1)=a0+(-1)(-1)=1. =(a,-1)(1,0)=a+(-1)0=a≤1,故的最大值為1.      【方法規(guī)律】 平面向量數(shù)量積的類(lèi)型及求法 (1)平面向量數(shù)量積有兩種計(jì)算公式:一是夾角公式ab=|a||b|cos θ;二是坐標(biāo)公式ab=x1x2+y1y2. (2)求較復(fù)雜的平面向量數(shù)量積的運(yùn)算時(shí),可先利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律或相關(guān)公式進(jìn)行化簡(jiǎn). 1.若向量a=(1,1),b=(2,5),c=(3,x),滿(mǎn)足條件(8a-b)c=30,則x=________. 解析:∵a=(1,1),b=(

4、2,5), ∴8a-b=(8,8)-(2,5)=(6,3). 又c=(3,x), ∴(8a-b)c=18+3x=30, ∴x=4. 答案:4 2.已知e1,e2是夾角為的兩個(gè)單位向量,a=e1-2e2,b=ke1+e2,若ab=0,則實(shí)數(shù)k的值為_(kāi)_______. 解析:∵e1,e2的模為1,且其夾角θ=. ∴ab=(e1-2e2)(ke1+e2) =ke+e1e2-2ke1e2-2e =k+(1-2k)cos-2 =2k-. 又∵ab=0,∴2k-=0,即k=. 答案: 高頻考點(diǎn) 考點(diǎn)二 平面向量的夾角與模的問(wèn)題    1.平面向量的夾角與

5、模的問(wèn)題是高考中的??純?nèi)容,題型多為選擇題、填空題,難度適中,屬中檔題. 2.高考對(duì)平面向量的夾角與模的考查常有以下幾個(gè)命題角度: (1)求兩向量的夾角; (2)兩向量垂直的應(yīng)用; (3)已知數(shù)量積求模; (4)知模求模. [例2] (1)(2013湖南高考)已知a,b是單位向量,ab=0.若向量c滿(mǎn)足|c-a-b|=1,則|c|的最大值為(  ) A.-1 B. C.+1 D.+2 (2)(2013安徽高考)若非零向量a,b滿(mǎn)足|a|=3|b|=|a+2b|,則a與b夾角的余弦值為_(kāi)_______. (3)(2013山東高考)在平面直角

6、坐標(biāo)系xOy中,已知=(-1,t),=(2,2).若∠ABO=90,則實(shí)數(shù)t的值為_(kāi)_______. (4)(2013天津高考)在平行四邊形ABCD中, AD=1,∠BAD=60,E為CD的中點(diǎn).若=1, 則AB的長(zhǎng)為_(kāi)_______.[來(lái)源:數(shù)理化網(wǎng)] [自主解答] (1)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,由題意知a⊥b,且a與b是單位向量, ∴可設(shè)=a=(1,0),=b=(0,1),=c=(x,y). ∴c-a-b=(x-1,y-1), ∵|c-a-b|=1, ∴(x-1)2+(y-1)2=1,即點(diǎn)C(x,y)的軌跡是以M(1,1)為圓心,1為半徑的圓. 而|c|=,∴|c|

7、的最大值為|OM|+1,即|c|max=+1. (2)由|a|=|a+2b|,兩邊平方,得|a|2=|a+2b|2=|a|2+4|b|2+4ab,所以ab=-|b|2. 又|a|=3|b|,所以cos〈a,b〉==-=-. (3) =+=(1,-t)+(2,2)=(3,2-t).[來(lái)源:] ∵∠ABO=90,∴=0,即23+2(2-t)=0, ∴t=5. (4)法一:由題意可知,=+,=-+.因?yàn)椋?,所以(+)=1, 即2+-2=1. 因?yàn)閨|=1,∠BAD=60, 所以||=,即AB的長(zhǎng)為. 法二:以A為原點(diǎn),AB為x軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,過(guò)D作DM⊥AB于點(diǎn)

8、M.由AD=1,∠BAD=60,可知AM=,DM=. 設(shè)|AB|=m(m>0),則B(m,0),C,D. 因?yàn)镋是CD的中點(diǎn),所以E. 所以=,=. 由=1,可得+=1, 即2m2-m=0,所以m=0(舍去)或. 故AB的長(zhǎng)為. [答案] (1)C (2)- (3)5 (4) 平面向量的夾角與模問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型及解題策略 (1)求兩向量的夾角.cos θ=,要注意θ∈[0,π]. (2)兩向量垂直的應(yīng)用.兩非零向量垂直的充要條件是:a⊥b?ab=0?|a-b|=|a+b|. (3)求向量的模.利用數(shù)量積求解長(zhǎng)度問(wèn)題的處理方法有: ①a2=aa=|a|2或|a|

9、=. ②|ab|==. ③若a=(x,y),則|a|=. 1.若a=(1,2),b=(1,-1),則2a+b與a-b的夾角等于(  ) A.- B. C. D. 解析:選C 2a+b=2(1,2)+(1,-1)=(3,3), a-b=(1,2)-(1,-1)=(0,3),(2a+b)(a-b)=9, |2a+b|=3,|a-b|=3. 設(shè)所求兩向量夾角為α, 則cos α==,又α∈[0,π],故α=. 2.已知a與b為兩個(gè)不共線(xiàn)的單位向量,k為實(shí)數(shù),若向量a+b與向量ka-b垂直,則k=________. 解析:∵a與b是不共線(xiàn)的單

10、位向量,∴|a|=|b|=1. 又ka-b與a+b垂直,∴(a+b)(ka-b)=0, 即ka2+kab-ab-b2=0. ∴k-1+kab-ab=0, 即k-1+kcos θ-cos θ=0(θ為a與b的夾角). ∴(k-1)(1+cos θ)=0, 又a與b不共線(xiàn), ∴cos θ≠-1,∴k=1. 答案:1 3.已知平面向量α,β,|α|=1,β=(2,0),α⊥(α-2β),則|2α+β|的值為_(kāi)_______. 解析:∵β=(2,0),∴|β|=2, 又α⊥(α-2β), ∴α(α-2β)=α2-2αβ=1-2αβ=0. ∴αβ=. ∴(2α+β)2=4α2

11、+β2+4αβ=4+4+2=10. ∴|2α+β|=. 答案: 考點(diǎn)三 平面向量數(shù)量積的應(yīng)用   [例3] (2013江蘇高考)已知向量a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),0<β<α<π. (1)若|a-b|=,求證:a⊥b; (2)設(shè)c=(0,1),若a+b=c,求α,β的值. [自主解答] (1)證明:由題意得|a-b|2=2,即(a-b)2=a2-2ab+b2=2. 又因?yàn)閍2=b2=|a|2=|b|2=1,所以2-2ab=2,即ab=0,故a⊥b. (2)因?yàn)閍+b=(cos α+cos β,sin α+sin β)=(0,1),

12、所以 由此得,cos α=cos(π-β),由0<β<π,得0<π-β<π,又0<α<π,故α=π-β.代入sin α+sin β=1,得sin α=sin β=,而α>β,所以α=,β=. [來(lái)源:] 【方法規(guī)律】 平面向量與三角函數(shù)的綜合問(wèn)題的命題形式與解題思路 (1)題目條件給出向量的坐標(biāo)中含有三角函數(shù)的形式,運(yùn)用向量共線(xiàn)或垂直或等式成立等,得到三角函數(shù)的關(guān)系式,然后求解. (2)給出用三角函數(shù)表示的向量坐標(biāo),要求的是向量的?;蛘咂渌蛄康谋磉_(dá)形式,解題思路是經(jīng)過(guò)向量的運(yùn)算,利用三角函數(shù)在定義域內(nèi)的有界性,求得值域等. 設(shè)向量a=(4cos α,sin α),b=(s

13、in β,4cos β),c=(cos β,-4sin β). (1)若a與b-2c垂直,求tan(α+β)的值; (2)求|b+c|的最大值; (3)若tan αtan β=16,求證:a∥b. 解:(1)由a與b-2c垂直, 得a(b-2c)=ab-2ac=0, 即4sin(α+β)-8cos(α+β)=0,tan(α+β)=2. (2)b+c=(sin β+cos β,4cos β-4sin β), |b+c|2=sin2β+2sin βcos β+cos2β+16cos2β-32cos βsin β+16sin2β=17-30sin βcos β=17-15sin 2β

14、,故最大值為32,所以|b+c|的最大值為4.[來(lái)源:] (3)證明:由tan αtan β=16,得sin αsin β=16cos αcos β,即 4cos α4cos β-sin αsin β=0,所以a∥b. ——————————[課堂歸納——通法領(lǐng)悟]———————————————— 1個(gè)條件——兩個(gè)非零向量垂直的充要條件  兩個(gè)非零向量垂直的充要條件為:a⊥b?ab=0.[來(lái)源:數(shù)理化網(wǎng)] 2個(gè)結(jié)論——與向量夾角有關(guān)的兩個(gè)結(jié)論 (1)若ab>0,則a與b的夾角為銳角或0; (2)若ab<0,則a與b的夾角為鈍角或180. 4個(gè)注意點(diǎn)——向量運(yùn)算中應(yīng)注意的四

15、個(gè)問(wèn)題 (1)在求△ABC的三邊所對(duì)應(yīng)向量的夾角時(shí),要注意是三角形的內(nèi)角還是外角.如在等邊△ABC中,與的夾角應(yīng)為120而不是60. (2)在平面向量數(shù)量積的運(yùn)算中,不能從ab=0推出a=0 或b=0成立.實(shí)際上由ab=0可推出以下四種結(jié)論:①a=0,b=0;②a=0,b≠0;③a≠0,b=0;④a≠0,b≠0,但a⊥b. (3)實(shí)數(shù)運(yùn)算滿(mǎn)足消去律:若bc=ca,c≠0,則有b=a.在向量數(shù)量積的運(yùn)算中,若ab=ac(a≠0),則不一定得到b=c. (4)實(shí)數(shù)運(yùn)算滿(mǎn)足乘法結(jié)合律,但平面向量數(shù)量積的運(yùn)算不滿(mǎn)足乘法結(jié)合律,即(ab)c不一定等于a(bc),這是由于(ab)c表示一個(gè)與c共線(xiàn)的向量,而a(bc)表示一個(gè)與a共線(xiàn)的向量,而c與a不一定共線(xiàn).

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