精校版高中數學 1.3組合導學案 蘇教版選修23

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1、最新精選優(yōu)質數學資料 最新精選優(yōu)質數學資料 1.3　組合 學習目標 重點、難點 1．通過實例能理解組合的概念； 2．能利用計數原理推導組合數公式； 3．能理解組合數的有關性質； 4．能用組合數公式解決簡單的實際問題. 重點：排列與組合的區(qū)分，及組合數公式． 難點：排列與組合的區(qū)分，利用組合數公式解決簡單的實際問題. 1．組合的概念 一般地，從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合． 預習交流1 如何區(qū)分排列問題和組合問題？ 提示：區(qū)分某一問題是排列問題還是組合問題，關鍵看選出的元素與順序是否有關，若交換

2、某兩個元素的位置對結果產生影響，則是排列問題；而交換任意兩個元素的位置對結果沒有影響，則是組合問題． 2．組合數 從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有組合的個數，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數，用符號C表示． C＝＝＝. 預習交流2 如何理解和記憶組合數公式？ 提示：同排列數公式相類比，在排列數公式的基礎上，分母再乘以m！. 3．組合數的性質 性質1：C＝C，性質2：C＝C＋C. 預習交流3 如何理解和記憶組合數的性質？ 提示：從n個元素中取m個元素，就剩余(n－m)個元素，故C＝C.從n＋1個元素中取m個元素記作C，可認為分作兩類：第一類為含有某元素a

3、的取法為C；第二類不含有此元素a，則為C，由分類計數原理知：C＝C＋C. 在預習中，還有哪些問題需要你在聽課時加以關注？請在下列表格中做個備忘吧！ 我的學困點 我的學疑點 一、組合問題 判斷下列問題是組合問題，還是排列問題． ①設集合A＝{a，b，c，d}，則集合A的含3個元素的子集有多少個？ ②一個班中有52人，任兩個人握一次手，共握多少次手？ ③4人去干5種不同的工作，每人干一種，有多少種分工方法？ 思路分析：交換兩個元素的順序，看結果是否有影響，如無影響則是組合問題． 解：①因為集合中取出的元素具有“無序性”，故這是組合問題； ②因為兩人握手

4、是相互的，沒有順序之分，故這是組合問題； ③因為5種工作是不同的，一種分工方法就是從5種不同的工作中選出4種，按一定的順序分配給4個人，它與順序有關，故這是排列問題． 下列問題中，是組合問題的有__________． ①從a，b，c，d四名學生中選2名學生完成一件工作，有多少種不同的選法； ②從a，b，c，d四名學生中選2名學生完成兩件不同的工作，有多少種不同的選法； ③a，b，c，d四支足球隊進行單循環(huán)賽，共需多少場比賽； ④a，b，c，d四支足球隊爭奪冠亞軍，有多少種不同的結果． 答案：①③ 解析：①2名學生完成的是同一件工作，沒有順序，是組合問題； ②2名學生完成兩

5、件不同的工作，有順序，是排列問題； ③單循環(huán)比賽要求每兩支球隊之間只打一場比賽，沒有順序，是組合問題； ④冠亞軍是有順序的，是排列問題． 組合問題與順序無關，而排列問題與順序有關． 二、組合數公式及組合數的性質 (1)計算C＋C； (2)已知C＝C，求n； (3)化簡C＋C＋C＋C＋1. 思路分析：先把組合數利用性質化簡或利用組合數性質直接求解． 解：(1)C＋C＝C＋C＝＋200＝5 150. (2)由C＝C，知3n＋6＝4n－2或3n＋6＋(4n－2)＝18，解得n＝8或2. 而3n＋6≤18且4n－2≤18，即n≤4且n∈N*，∴n＝2. (3)C＋C＋C＋C

6、＋1＝1＋C＋C＋C＋C＝C＋C＋C＋C＋C＝C＋C＋C＋C＝C＋C＋C＝C＋C＝C＝C＝＝126. (1)C＋C＋C＋…＋C＝__________； (2)(C＋C)÷A＝__________. 答案：(1)329　(2) 解析：(1)原式＝C＋C＋C＋…＋C－C＝C＋C＋…＋C－1＝…＝C＋C－1＝C－1＝329. (2)原式＝C÷A＝C÷A＝÷A＝. 利用組合數的性質解題時，要抓住公式的結構特征，應用時，可結合題目的特點，靈活運用公式變形，達到解題的目的． 三、組合知識的實際應用 現(xiàn)有10名教師，其中男教師6名，女教師4名．

7、 (1)現(xiàn)要從中選2名去參加會議，有多少種不同的選法？ (2)現(xiàn)要從中選出男、女教師各2名去參加會議，有多少種不同的選法？ 思路分析：由于選出的教師不需要考慮順序，因此是組合問題．第(1)小題選2名教師不考慮男女，實質上是從10個不同的元素中取出2個的組合問題，可用直接法求解．第(2)小題必須選男、女教師各2名，才算完成所做的事，因此需要分兩步進行，先從6名男教師中選2名，再從4名女教師中選2名． 解：(1)從10名教師中選2名參加會議的選法數，就是從10個不同元素中取出2個元素的組合數，即C＝＝45種． (2)從6名男教師中選2名的選法有C，從4名女教師中選2名的選法有C種，根據分

8、步乘法計數原理，因此共有不同的選法C·C＝·＝90種． 某小組共有10名學生，其中女生3名，現(xiàn)選舉2名代表，至少有1名女生當選的不同選法有多少種？ 解：方法一：(直接法)至少1名女生當選可分為兩類： 第一類：1名女生1名男生當選代表，有C·C種方法，第二類：2名女生當選代表，有C種方法．由分類加法計數原理，至少有1名女生當選的不同選法有C·C＋C＝21＋3＝24種． 方法二：(間接法)10名學生中選2名代表有C種選法，若2名代表全是男生有C種選法，所以至少有1名女生當選代表的選法有C－C＝24種． 利用組合知識解決實際問題要注意： ①將已

9、知條件中的元素的特征搞清，是用直接法還是間接法； ②要使用分類方法，要做到不重不漏； ③當問題的反面比較簡單時，常用間接法解決． 1．給出下面幾個問題，其中是組合問題的有__________． ①某班選10名學生參加拔河比賽； ②由1,2,3,4選出兩個數，構成平面向量a的坐標； ③由1,2,3,4選出兩個數分別作為雙曲線的實軸和虛軸，焦點在x軸上的雙曲線方程數； ④從正方體8個頂點中任取兩個點構成的線段條數是多少？ 答案：①④ 解析：由組合的概念知①④是組合問題，與順序無關，而②③是排列問題，與順序有關． 2．C＋2C＋C＝__________. 答案：161 70

10、0 解析：原式＝C＋C＋C＋C＝C＋C＝C＝C＝161 700. 3．平面上有12個點，其中沒有3個點在一條直線上，也沒有4個點共圓，過這幾個點中的每三個點作圓，共可作__________個圓． 答案：220 解析：由題意知，可作C＝＝220個不同的圓． 4．解方程：C－C＝C. 解：∵C＝C＋C，∴C－C＝C，∴C＝C. 由組合數的性質得x－1＝2x＋2或x－1＋2x＋2＝16，解得x＝－3(舍)或x＝5.∴x＝5. 5．平面內有10個點，其中任何3點不共線，以其中任意2點為端點，試求：(1)線段有多少條？(2)有向線段有多少條？ 解：(1)所求線段的條數，即為從10個元素中任取2個元素的組合，共有C＝＝45條不同的線段． (2)所求有向線段的條數，即為從10個元素中任取2個元素的排列，共有A＝10×9＝90條不同的有向線段． 用精練的語言把你當堂掌握的核心知識的精華部分和基本技能的要領部分寫下來，并進行識記． 知識精華 技能要領 最新精選優(yōu)質數學資料