帶電粒子在磁場(chǎng)中的邊界問題

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1、第3課時(shí)　(小專題)帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的臨界及多解問題 基本技能練　 1. (多選)如圖1所示，虛線MN將平面分成Ⅰ和Ⅱ兩個(gè)區(qū)域，兩個(gè)區(qū)域都存在與紙面垂直的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。一帶電粒子僅在磁場(chǎng)力作用下由Ⅰ區(qū)運(yùn)動(dòng)到Ⅱ區(qū)，弧線aPb為運(yùn)動(dòng)過程中的一段軌跡，其中弧aP與弧Pb的弧長之比為2∶1，下列判斷一定正確的是 (　　) 圖1 A．兩個(gè)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度方向相反，大小之比為2∶1 B．粒子在兩個(gè)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)速度大小之比為1∶1 C．粒子通過aP、Pb兩段弧的時(shí)間之比為2∶1 D．弧aP與弧Pb對(duì)應(yīng)的圓心角之比為2∶1 解析　粒子在磁場(chǎng)中所受的洛倫茲力指向運(yùn)動(dòng)軌跡的凹側(cè)，結(jié)

2、合左手定則可知，兩個(gè)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度方向相反，根據(jù)題中信息無法求得粒子在兩個(gè)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡所在圓周的半徑之比，所以無法求出兩個(gè)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度之比，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；運(yùn)動(dòng)軌跡粒子只受洛倫茲力的作用，而洛倫茲力不做功，所以粒子的動(dòng)能不變，速度大小不變，選項(xiàng)B正確；已知粒子通過aP、Pb兩段弧的速度大小不變，而路程之比為2∶1，可求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間之比為2∶1，選項(xiàng)C正確；由圖知兩個(gè)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小不等，粒子在兩個(gè)磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的周期T＝也不等，粒子通過弧aP與弧Pb的運(yùn)動(dòng)時(shí)間之比并不等于弧aP與弧Pb對(duì)應(yīng)的圓心角之比，選項(xiàng)D錯(cuò)誤。 答案　BC 2. (多選)如圖2所示，邊界OA與OC之間分布有垂

3、直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，邊界OA上有一粒子源S。某一時(shí)刻，從S平行于紙面向各個(gè)方向發(fā)射出大量帶正電的同種粒子(不計(jì)粒子的重力及粒子間的相互作用)，所有粒子的初速度大小相同，經(jīng)過一段時(shí)間后有大量粒子從邊界OC射出磁場(chǎng)。已知∠AOC＝60°，從邊界OC射出的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長時(shí)間等于(T為粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期)，則從邊界OC射出的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間可能為 (　　) 圖2 A. B. C. D. 解析　粒子在磁場(chǎng)中做逆時(shí)針方向的圓周運(yùn)動(dòng)，由于所有粒子的速度大小相同，故弧長越小，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間就越短，由于粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長時(shí)間為，沿SA

4、方向射出的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長，如圖所示，作出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡圖，由幾何關(guān)系可知當(dāng)粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)繞過的弧所對(duì)應(yīng)的弦垂直邊界OC時(shí)，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短，由于SD⊥OC，則SD＝ES，即弦SD等于半徑O′D、O′S，相應(yīng)∠DO′S＝60°，即最短時(shí)間為t＝T＝。 答案　ABC 3. (多選)在xOy平面上以O(shè)為圓心，半徑為r的圓形區(qū)域內(nèi)，存在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直于xOy平面。一個(gè)質(zhì)量為m、電荷量為q的帶電粒子，從原點(diǎn)O以初速度v沿y軸正方向開始運(yùn)動(dòng)，經(jīng)時(shí)間t后經(jīng)過x軸上的P點(diǎn)，此時(shí)速度與x軸正方向成θ角，如圖3所示。不計(jì)重力的影響，則下列關(guān)系一定成立的

5、是 (　　) 圖3 A．若r＜，則0°＜θ＜90° B．若r≥，則t≥ C．若t＝，則r＝ D．若r＝，則r＝ 解析　帶電粒子在磁場(chǎng)中從O點(diǎn)沿y軸正方向開始運(yùn)動(dòng)，圓心一定在垂直于速度的方向上，即在x軸上，軌道半徑R＝。當(dāng)r≥時(shí)，P點(diǎn)在磁場(chǎng)內(nèi)，粒子不能射出磁場(chǎng)區(qū)，所以垂直于x軸過P點(diǎn)，θ最大且為90°，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為半個(gè)周期，即t＝；當(dāng)r＜時(shí)，粒子在到達(dá)P點(diǎn)之前射出圓形磁場(chǎng)區(qū)，速度偏轉(zhuǎn)角φ在大于0°、小于180°范圍內(nèi)，如圖所示，能過x軸的粒子的速度偏轉(zhuǎn)角φ＞90°，所以過x軸時(shí)0°＜θ＜90°，A對(duì)，

6、B錯(cuò)；同理，若t＝，則r≥，若r＝，則t＝，C錯(cuò)，D對(duì)。 答案　AD ▲(多選)如圖所示，MN、PQ之間存在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)區(qū)域水平方向足夠長，MN、PQ間距為L，現(xiàn)用電子槍將電子從O點(diǎn)垂直邊界MN射入磁場(chǎng)區(qū)域，調(diào)整電子槍中的加速電壓可使電子從磁場(chǎng)邊界不同位置射出。a、b、c為磁場(chǎng)邊界上的三點(diǎn)，下列分析正確的是 (　　) A．從a、b、c三點(diǎn)射出的電子速率關(guān)系為va＜vb＜vc B．從a、b、c三點(diǎn)射出的電子速率關(guān)系為va＜vc＜vb C．若從邊界MN射出的電子出射點(diǎn)與O點(diǎn)的距離為s，則無論怎樣調(diào)整加速電壓，必有0＜s＜2L D．若從邊界PQ射出的電子出射點(diǎn)與O點(diǎn)

7、的距離為s，則無論怎樣調(diào)整加速電壓，必有L＜s＜2L 解析　畫出軌跡圓可知，從a、b、c三點(diǎn)射出的電子的半徑關(guān)系為Ra＜Rb＜Rc，由R＝，知va＜vb＜vc，A對(duì)，B錯(cuò)；電子垂直于邊界MN射入磁場(chǎng)，能從邊界MN射出，其軌跡的最大圓與邊界PQ相切，則無論怎樣調(diào)整加速電壓，必有0＜s＜2L，C對(duì)；若電子從邊界PQ射出，其軌跡的最小圓也與邊界PQ相切，則無論怎樣調(diào)整加速電壓，必有L＜s＜L，D錯(cuò)。 答案　AC 能力提高練 4.如圖4所示，兩個(gè)同心圓，半徑分別為r和2r，在兩圓之間的環(huán)形區(qū)域內(nèi)存在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B。圓心O處有一放射源，放出粒子的質(zhì)量為m、帶電量為q，假設(shè)

8、粒子速度方向都和紙面平行。 圖4 (1)圖中箭頭表示某一粒子初速度的方向，OA與初速度方向夾角為60°，要想使該粒子經(jīng)過磁場(chǎng)后第一次通過A點(diǎn)，則初速度的大小是多少？ (2)要使粒子不穿出環(huán)形區(qū)域，則粒子的初速度不能超過多少？ 解析　 甲 (1)如圖甲所示，設(shè)粒子在磁場(chǎng)中的軌道半徑為R1，則由幾何關(guān)系得R1＝ 又qv1B＝m 得v1＝。 (2)如圖乙所示，設(shè)粒子軌跡與磁場(chǎng)外邊界相切時(shí)，粒子在磁場(chǎng)中的軌道半徑為R2，則由幾何關(guān)系有 乙 (2r－R2)2＝R＋r2 可得R2＝ 又qv2B＝m 可得v2＝ 故要使粒子不穿出環(huán)形區(qū)域，粒子的初速度不能超

9、過。 答案　(1)　(2) 5．(2014·廣東卷，36)如圖5所示，足夠大的平行擋板A1、A2豎直放置，間距6 L，兩板間存在兩個(gè)方向相反的勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域Ⅰ和Ⅱ，以水平面MN為理想分界面。Ⅰ區(qū)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B0，方向垂直紙面向外。A1、A2上各有位置正對(duì)的小孔S1、S2，兩孔與分界面MN的距離為L、質(zhì)量為m、電量為＋q的粒子經(jīng)寬度為d的勻強(qiáng)電場(chǎng)由靜止加速后，沿水平方向從S1進(jìn)入Ⅰ區(qū)，并直接偏轉(zhuǎn)到MN上的P點(diǎn)，再進(jìn)入Ⅱ區(qū)、P點(diǎn)與A1板的距離是L的k倍。不計(jì)重力，碰到擋板的粒子不予考慮。 圖5 (1)若k＝1，求勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度E; (2)若2<k<3，且粒

10、子沿水平方向從S2射出，求出粒子在磁場(chǎng)中的速度大小v與k的關(guān)系式和Ⅱ區(qū)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B與k的關(guān)系式。 解析　(1)若k＝1，則有MP＝L， ① 即該情況粒子的軌跡半徑為R＝L， ② 粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其向心力由洛倫茲力提供： qvB0＝m ③ v＝ ④ 粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中，據(jù)動(dòng)能定理有： qEd＝mv2 ⑤ 解得：E＝ ⑥ (2)由于P距離A1為kL，且2<k<3，粒子從S2水平飛出， 該粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，則根據(jù)從S1到P處的軌跡由幾何關(guān)系得 R′2－(kL)2＝(R′－L)2 ⑦ 又由qvB0＝m ⑧ 則整理得v＝ ⑨ 又由題意

11、及軌跡圖得6L－2kL＝PQ ⑩ 據(jù)幾何關(guān)系，由相似三角形得＝ ? 又有qvB＝m ? 解得Ⅱ區(qū)磁場(chǎng)與k關(guān)系為B＝ ? 答案　(1)　(2)v＝　B＝ ▲如圖甲所示，一個(gè)質(zhì)量為m、電荷量為＋q的微粒(不計(jì)重力)，初速度為零，經(jīng)兩金屬板間電場(chǎng)加速后，沿y軸射入一個(gè)邊界為矩形的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)方向垂直紙面向里。磁場(chǎng)的四條邊界分別是y＝0，y＝a，x＝－1.5a，x＝1.5a。兩金屬板間電壓隨時(shí)間均勻增加，如圖乙所示。由于兩金屬板間距很小，微粒在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，時(shí)間極短，可認(rèn)為微粒加速運(yùn)動(dòng)過程中電場(chǎng)恒定。 (1)求微粒分別從磁場(chǎng)上、下邊界射出時(shí)對(duì)應(yīng)的電壓范圍； (2)微粒從磁場(chǎng)

12、左側(cè)邊界射出時(shí)，求微粒的射出速度相對(duì)進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)初速度偏轉(zhuǎn)角度的范圍，并確定在左邊界上出射范圍的寬度d。 解析　(1)當(dāng)微粒運(yùn)動(dòng)軌跡與上邊界相切時(shí)，由圖甲中幾何關(guān)系可知R1＝a 微粒做圓周運(yùn)動(dòng)，有qv1B＝ 微粒在電場(chǎng)中加速qU1＝mv 由以上各式可得U1＝ 所以微粒從上邊界射出的電壓范圍為U1′＞ 當(dāng)微粒由磁場(chǎng)區(qū)域左下角射出時(shí)，由圖乙中幾何關(guān)系可知R2＝0.75a 微粒做圓周運(yùn)動(dòng)，有qv2B＝ 微粒在電場(chǎng)中加速qU2＝mv 由以上各式可得U2＝ 所以微粒從下邊界射出的電壓范圍為0＜U2′≤ (2) 當(dāng)微粒運(yùn)動(dòng)軌跡與上邊界相切時(shí)，如圖丙所示， sin∠AO1C＝＝＝，所以∠AO1C＝30° 由圖丙中幾何關(guān)系可知此時(shí)速度方向偏轉(zhuǎn)120°，微粒由左下角射出磁場(chǎng)時(shí)，速度方向偏轉(zhuǎn)180°，所以微粒的速度偏轉(zhuǎn)角度范圍為120°～180°，左邊界上出射范圍寬度d＝R1cos 30°＝a。 答案　(1)從上邊界射出的電壓范圍為U1′＞　從下邊界射出的電壓范圍為0＜U2′≤　 (2)120°～180°　a