高考數(shù)學復(fù)習：第九章 ：第四節(jié)合情推理與演繹推理突破熱點題型

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1、△+△2019年數(shù)學高考教學資料△+△ 第四節(jié)　合情推理與演繹推理 高頻考點 考點一 歸 納 推 理　　 1．歸納推理是每年高考的?？純?nèi)容，題型多為選擇題和填空題，難度稍大，屬中高檔題． 2．高考對歸納推理的考查常有以下幾個命題角度： (1)歸納推理與等式或不等式“共舞”問題； (2)歸納推理與數(shù)列“牽手”問題； (3)歸納推理與圖形變化“相融”問題． [例1]　(1)(2013陜西高考)觀察下列等式： 12＝1， 12－22＝－3， 12－22＋32＝6， 12－22＋32－42＝－10， …… 照此規(guī)律，第n個等式可為____

2、____． (2)(2013湖北高考)古希臘畢達哥拉斯學派的數(shù)學家研究過各種多邊形數(shù)．如三角形數(shù)1,3,6,10，…，第n個三角形數(shù)為＝n2＋n.記第n個k邊形數(shù)為N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k邊形數(shù)中第n個數(shù)的表達式： 三角形數(shù)　N(n,3)＝n2＋n， 正方形數(shù)　N(n,4)＝n2， 五邊形數(shù)　N(n,5)＝n2－n， 六邊形數(shù)　N(n,6)＝2n2－n， …… 可以推測N(n，k)的表達式，由此計算N(10,24)＝________. (3)(2014青島模擬)某種平面分形圖如下圖所示，一級分形圖是由一點出發(fā)的三條線段，長度均為1，兩兩夾角為120；二級分形圖是

3、在一級分形圖的每條線段的末端出發(fā)再生成兩條長度為原來的線段，且這兩條線段與原線段兩兩夾角為120，…，依此規(guī)律得到n級分形圖． 一級分形圖　　 二級分形圖　　三級分形圖 ①n級分形圖中共有________條線段； ②n級分形圖中所有線段長度之和為________． [自主解答]　(1)觀察規(guī)律可知，第n個式子為12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1. (2)N(n，k)＝akn2＋bkn(k≥3)，其中數(shù)列{ak}是以為首項，為公差的等差數(shù)列；數(shù)列{bk}是以為首項，－為公差的等差數(shù)列．所以N(n,24)＝11n2－10n，當

4、n＝10時，N(10，24)＝11102－1010＝1 000. (3)①分形圖的每條線段的末端出發(fā)再生成兩條線段，由題圖知，一級分形圖有3＝(32－3)條線段，二級分形圖有9＝(322－3)條線段，三級分形圖中有21＝(323－3)條線段，按此規(guī)律n級分形圖中的線段條數(shù)an＝(32n－3)(n∈N*)． ②分形圖的每條線段的末端出發(fā)再生成兩條長度為原來的線段，∴n級分形圖中第n級的所有線段的長度為bn＝3n－1(n∈N*)，∴n級分形圖中所有線段長度之和為Sn＝30＋31＋…＋3n－1＝3＝9－9n. [答案]　(1)12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1　(2

5、)1 000　(3)①32n－3　②9－9n 歸納推理問題的常見類型及解題策略 (1)與等式或不等式“共舞”問題．觀察所給的幾個等式或不等式兩邊式子的特點，注意是縱向看，發(fā)現(xiàn)隱含的規(guī)律． (2)與數(shù)列“牽手”問題．先求出幾個特殊現(xiàn)象，歸納所得的結(jié)論是尚屬未知的一般現(xiàn)象，該結(jié)論超越了前提所包含的范圍，從而由特殊的結(jié)論推廣到一般結(jié)論． (3)與圖形變化“相融”問題．合理利用特殊圖形歸納推理得出結(jié)論，并用賦值檢驗法驗證其真?zhèn)涡裕? 1．設(shè)函數(shù)f(x)＝(x>0)，觀察： f1(x)＝f(x)＝， f2(x)＝f(f1(x))＝， f3(x)＝f(f2(x))＝， f4(x)＝

6、f(f3(x))＝， …… 根據(jù)以上事實，由歸納推理可得： 當n∈N*且n≥2時，fn(x)＝f(fn－1(x))＝________. 解析：根據(jù)題意知，分子都是x，分母中的常數(shù)項依次是2,4,8,16，…，可知fn(x)的分母中常數(shù)項為2n，分母中x的系數(shù)為2n－1，故fn(x)＝f(fn－1(x))＝. 答案： 2．(2014溫州模擬)如圖的倒三角形數(shù)陣滿足：①第1行的n個數(shù)，分別是1,3,5，…，2n－1；②從第2行起，各行中的每一個數(shù)都等于它肩上的兩數(shù)之和；③數(shù)陣共有n行．當n＝2 012時，第32行的第17個數(shù)是________． [來源:] 解析：每行的第1個數(shù)

7、分別是1,4,12,32，…，記為數(shù)列{an}，它的通項公式為an＝n2n－1，則第32行的第1個數(shù)為a32＝32232－1＝236，而在第32行的各個數(shù)成等差數(shù)列，且公差為232，所以第17個數(shù)是236＋(17－1)232＝236＋24232＝2236＝237.[來源:數(shù)理化網(wǎng)] 答案：237 3．仔細觀察下面○和●的排列規(guī)律：○ ● ○○ ● ○○○ ● ○○○○ ● ○○○○○ ● ○○○○○○ ●……，若依此規(guī)律繼續(xù)下去，得到一系列的○和●，那么在前120個○和●中，●的個數(shù)是________． 解析：進行分組○●|○○●|○○○●|○○○○●|○○○○○●|○○○○○○●|……

8、，則前n組兩種圈的總數(shù)是f(n)＝2＋3＋4＋…＋(n＋1)＝，易知f(14)＝119，f(15)＝135，故n＝14. 答案：14 考點二 類 比 推 理 　 [例2]如圖所示，面積為S的平面凸四邊形的第i條邊的邊長記為ai(i＝1,2,3,4)，此四邊形內(nèi)任一點P到第i條邊的距離記為hi(i＝1,2,3,4)，若＝＝＝＝k，則1h1＋2h2＋3h3＋4h4＝.類比以上性質(zhì)，體積為V的三棱錐的第i個面的面積記為Si(i＝1,2,3,4)，此三棱錐內(nèi)任一點Q到第i個面的距離記為Hi(i＝1,2,3,4)，若＝＝＝＝k，則H1＋2H2＋3H3＋4H4值為(　　)[來源:] 　

9、　　　　　　 　　　　　　 　　　　　 A. B. C. D.[來源:] [自主解答]　 在平面凸四邊形中，連接P點與各個頂點，將其分成四個小三角形，根據(jù)三角形面積公式，得 S＝(a1h1＋a2h2＋a3h3＋a4h4)＝(kh1＋2kh2＋3kh3＋4kh4) ＝(h1＋2h2＋3h3＋4h4)．所以h1＋2h2＋3h3＋4h4＝. 類似地，連接Q點與三棱錐的四個頂點，將其分成四個小三棱錐，則有 V＝(S1H1＋S2H2＋S3H3＋S4H4)＝(kH1＋2kH2＋3kH3＋4kH4)＝(H1＋2H2＋3H3＋4H4)， 所以H

10、1＋2H2＋3H3＋4H4＝. [答案]　B 【方法規(guī)律】[來源:] 類比推理的一般步驟 (1)找出兩類事物之間的相似性或一致性． (2)用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì)，得出一個明確的命題(猜想)． 已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，若am＝a，an＝b(n－m≥1，m，n∈N*)，則am＋n＝.類比等差數(shù)列{an}的上述結(jié)論，對于等比數(shù)列{bn}(bn>0，n∈N*)，若bm＝c，bn＝d(n－m≥2，m，n∈N*)，則可以得到bm＋n＝________. 解析：法一：設(shè)數(shù)列{an}的公差為d1，則d1＝＝.所以am＋n＝am＋nd1＝a＋n＝.類比推導(dǎo)方法可知：

11、設(shè)數(shù)列{bn}的公比為q，由bn＝bmqn－m，可知d＝cqn－m，所以q＝，所以bm＋n＝bmqn＝c＝. 法二：(直接類比)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d1，數(shù)列{bn}的公比為q，因為等差數(shù)列中an＝a1＋(n－1)d1，等比數(shù)列中bn＝b1qn－1，因為am＋n＝，所以bm＋n＝. 答案： 考點三 演 繹 推 理 　 [例3]　已知函數(shù)f(x)＝＋bx，其中a>0，b>0，x∈(0，＋∞)，試確定f(x)的單調(diào)區(qū)間，并證明在每個單調(diào)區(qū)間上的增減性． [自主解答]　設(shè)00，b>0，

12、∴x2－x1>0,0b， ∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，∴f(x)在上是減函數(shù)； 當x2>x1≥ >0時，x2－x1>0，x1x2>，

13、意x∈R，有－x∈R，并且f(－x)＝＝＝－＝－f(x)，所以f(x)是奇函數(shù)． (2)f(x)在R上單調(diào)遞增，證明如下： 任取x1，x2∈R，并且x1>x2， f(x1)－f(x2)＝－＝＝. ∵x1>x2，∴2x1>2x2>0，即2x1－2x2>0. 又∵2x1＋1>0,2x2＋1>0，∴>0. ∴f(x1)>f(x2)．∴f(x)在R上為單調(diào)遞增函數(shù)． ———————————[課堂歸納——通法領(lǐng)悟]———————————————— 1個區(qū)別——合情推理與演繹推理的區(qū)別 (1)歸納是由特殊到一般的推理； (2)類比是由特殊到特殊的推理； (3)演繹推理是由一般到

14、特殊的推理； (4)從推理的結(jié)論來看，合情推理的結(jié)論不一定正確，有待證明；若大前提和小前提正確，則演繹推理得到的結(jié)論一定正確． 2個步驟——歸納推理與類比推理的步驟 (1)歸納推理的一般步驟： →→ (2)類比推理的一般步驟： →→ 3個注意點——應(yīng)用合情推理與演繹推理應(yīng)注意的問題 (1)在進行類比推理時要盡量從本質(zhì)上去類比，不要被表面現(xiàn)象迷惑，如果只抓住一點表面現(xiàn)象的相似甚至假象就去類比，那么就會犯機械類比的錯誤． (2)合情推理是從已知的結(jié)論推測未知的結(jié)論，發(fā)現(xiàn)與猜想的結(jié)論都要經(jīng)過進一步嚴格證明． (3)演繹推理是由一般到特殊的推理，它常用來證明和推理數(shù)學問題，注意推理過程的嚴密性，書寫格式的規(guī)范性． 高考數(shù)學復(fù)習精品 高考數(shù)學復(fù)習精品