2014高考數(shù)學(xué)一輪匯總訓(xùn)練《集合及其運算》理新人教A版Word版

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1、2014高考數(shù)學(xué)一輪匯總訓(xùn)練（歸納明確考點+課前自測+教師備選題+誤區(qū)警示+課后實戰(zhàn)題，含詳解及2013模擬題）《集合及其運算》理 新人教A版 [備考方向要明了] 考 什 么 怎 么 考 1.集合的含義與表示 (1)了解集合的含義，體會元素與集合的屬于關(guān)系． (2)能用自然語言、圖形語言、集合語言(列舉法或描述法)描述不同的具體問題． 2.集合間的基本關(guān)系 (1)理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集． (2)在具體情境中，了解全集與空集的含義． 3.集合的基本運算 (1)理解兩個集合的并集與交集的含義，會求兩個簡單集合的并集與交集． (2)理解在給定集

2、合中一個子集的補集的含義，會求給定子集的補集． (3)能使用韋恩(Venn)圖表達集合間的基本關(guān)系及集合的基本運算. 1.對集合的含義與表示的考查主要涉及集合中元素的互異性以及元素與集合之間的關(guān)系，考查利用所學(xué)的知識對集合的性質(zhì)進行初步探究的基本邏輯能力．如2012年全國T1，江西T1等． 2.對于兩個集合之間關(guān)系的考查主要涉及以下兩個方面： (1)判斷給定兩個集合之間的關(guān)系，主要是子集關(guān)系的判斷．如2011北京T1. (2)以不等式的求解為背景，利用兩個集合之間的子集關(guān)系求解參數(shù)的取值范圍問題． 3.集合的基本運算在高考命題中主要與簡單不等式的求解、函數(shù)的定義域或值域的求法相結(jié)合

3、考查集合的交、并、補運算，以補集與交集的基本運算為主，考查借助數(shù)軸或Venn圖進行集合運算的數(shù)形結(jié)合思想和基本運算能力．如2012北京T1、陜西T1、山東T1等. [歸納知識整合] 1．元素與集合 (1)集合元素的特性：確定性、互異性、無序性． (2)集合與元素的關(guān)系：若a屬于A，記作a∈A；若b不屬于A，記作b?A. (3)集合的表示方法：列舉法、描述法、圖示法． (4)常見數(shù)集及其符號表示 數(shù)集 自然數(shù)集 正整數(shù)集 整數(shù)集 有理數(shù)集 實數(shù)集 符號 N N*或N＋ Z Q R [探究]　1.集合A＝{x|x2＝0}，B＝{x|y＝x2

4、}，C＝{y|y＝x2}，D＝{(x，y)|y＝x2}相同嗎？它們的元素分別是什么？ 提示：這4個集合互不相同，A是以方程x2＝0的解為元素的集合，即A＝{0}；B是函數(shù)y＝x2的定義域，即B＝R；C是函數(shù)y＝x2的值域，即C＝{y|y≥0}；D是拋物線y＝x2上的點組成的集合． 2．0與集合{0}是什么關(guān)系？?與集合{?}呢？ 提示：0∈{0}，?∈{?}或??{?}． 2．集合間的基本關(guān)系 表示 關(guān)系　　 文字語言 符號語言 相等 集合A與集合B中的所有元素都相同 A?B且B?A?A＝B 子集 A中任意一個元素均為B中的元素 A?B或B?A 真子集 A中任意

5、一個元素均為B中的元素，且B中至少有一個元素不是A中的元素 AB或BA 空集 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 ??A?B(B≠?) 　　 [探究]　3.對于集合A，B，若A∩B＝A∪B，則A，B有什么關(guān)系？ 提示：A＝B.假設(shè)A≠B，則A∩BA∪B，與A∩B＝A∪B矛盾，故A＝B. 3．集合的基本運算 集合的并集 集合的交集 集合的補集 符號表示 A∪B A∩B 若全集為U，則集合A的補集為?UA 圖形表示 意義 {x|x∈A，或x∈B} {x|x∈A，且x∈B} ?UA＝{x|x∈U，且x?A} [探究]

6、　4.同一個集合在不同全集中的補集相同嗎？ 提示：一般情況下不相同，如A＝{0,1}在全集B＝{0,1,2}中的補集為?BA＝{2}，在全集D＝{0,1,3}中的補集為?DA＝{3}． [自測牛刀小試] 1．(2012山東高考)已知全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，則(?UA)∪B為(　　) A．{1,2,4}　　　　　　　　 B．{2,3,4} C．{0,2,4} D．{0,2,3,4} 解析：選C　由題意知?UA＝{0,4}，又B＝{2,4}，所以(?UA)∪B＝{0,2,4}． 2．(教材改編題)已知集合A＝{x|2x－3<3x}

7、，B＝{x|x≥2}，則(　　) A．A?B　　 B．B?A　　 C．A??RB　　 D．B??RA 解析：選B　∵A＝{x|2x－3<3x}＝{x|x>－3}， B＝{x|x≥2}， ∴B?A. 3．已知集合M＝{1，m＋2，m2＋4}，且5∈M，則m的值為(　　) A．1或－1 B．1或3 C．－1或3 D．1，－1或3 解析：選B　∵5∈{1，m＋2，m2＋4}， ∴m＋2＝5或m2＋4＝5， 即m＝3或m＝1. 當(dāng)m＝3時，M＝{1,5,13}；當(dāng)m＝1時，M＝{1,3,5}； 當(dāng)m＝－1時M＝{1,1,5}不滿足互異性． ∴m的值為3或1.

8、 4．(教材改編題)已知集合A＝{1,2}，若A∪B＝{1,2}，則集合B有________個． 解析：∵A＝{1,2}，A∪B＝{1,2}， ∴B?A，∴B＝?，{1}，{2}，{1,2}． 答案：4 5．已知集合A＝{x|a－1≤x≤a＋1}，B＝{x|x2－5x＋4≥0}，若A∩B＝?，則實數(shù)a的取值范圍是________． 解析：∵B＝{x|x2－5x＋4≥0}＝{x|x≥4，或x≤1}， 且A∩B＝?， ∴∴即2

9、∈A，y∈A，x－y∈A}，則B中所含元素的個數(shù)為(　　) A．3　　　　 B．6　　　　 C．8　　　　 D．10 (2)已知集合A＝{－4,2a－1，a2}，B＝{a－5,1－a,9}，若9∈(A∩B)，則實數(shù)a的值為________． [自主解答]　(1)法一：由x－y∈A，及A＝{1,2,3,4,5}得x>y，當(dāng)y＝1時，x可取2,3,4,5，有4個；y＝2時，x可取3,4,5，有3個；y＝3時，x可取4,5，有2個；y＝4時，x可取5，有1個．故共有1＋2＋3＋4＝10(個)． 法二：因為A中元素均為正整數(shù)，所以從A中任取兩個元素作為x，y，滿足x>y的(x，y)即為集合B

10、中的元素，故共有C＝10個． (2)∵9∈(A∩B)，∴9∈A且9∈B， ∴2a－1＝9或a2＝9. ∴a＝5或a＝3.當(dāng)a＝5時，A＝{－4,9,25}，B＝{0，－4，9}，符合題意；當(dāng)a＝3時，A＝{－4,5,9}，B不滿足集合中元素的互異性，故a≠3；當(dāng)a＝－3時，A＝{－4，－7,9}，B＝{－8,4,9}，符合題意． ∴a＝5或a＝－3. [答案]　(1)D　(2)5或－3 本例(2)中，將“9∈(A∩B)”改為“A∩B＝{9}”，其他條件不變，則實數(shù)a為何值？ 解：∵A∩B＝{9}，∴9∈A且9∈B， ∴2a－1＝9或a2＝9，　　　　 即a＝5或a＝3.

11、 當(dāng)a＝5時，A＝{－4，9，25}，B＝{0，－4，9}， ∴A∩B＝{－4，9}，不滿足題意， ∴a≠5. 當(dāng)a＝3時，A＝{－4，5，9}，B＝{－2，－2，9}，不滿足集合中元素的互異性，∴a≠3. 當(dāng)a＝－3時，A＝{－4，－7，9}，B＝{－8，4，9}， ∴A∩B＝{9}，符合題意， 綜上a＝－3. ——————————————————— 解決集合問題的一般思路 (1)研究一個集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制條件，當(dāng)集合用描述法表示時，注意弄清其元素表示的意義是什么． (2)對于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意檢驗集合是否滿足互異性

12、． 1．(1)已知非空集合A＝{x∈R|x2＝a－1}，則實數(shù)a的取值范圍是________． (2)已知集合A＝{x|x2－2x＋a>0}，且1?A，則實數(shù)a的取值范圍是________． 解析：(1)∵集合A＝{x∈R|x2＝a－1}為非空集合， ∴a－1≥0，即a≥1. (2)∵1?{x|x2－2x＋a>0}，∴1∈{x|x2－2x＋a≤0}， 即1－2＋a≤0，∴a≤1. 答案：(1)[1，＋∞)　(2)(－∞，1] 集合間的基本關(guān)系 [例2]　已知集合A＝{x|0

13、　A中不等式的解集應(yīng)分三種情況討論： ①若a＝0，則A＝R； ②若a<0，則A＝； ③若a>0，則A＝. 當(dāng)a＝0時，若A?B，此種情況不存在． 當(dāng)a<0時，若A?B，如圖， 則即 又∵a<0，∴a<－8. 當(dāng)a>0時，若A?B，如圖， 則即 又∵a>0，∴a≥2. 綜上知，當(dāng)A?B時，a<－8或a≥2. [答案]　(－∞，－8)∪[2，＋∞) 保持例題條件不變，當(dāng)a滿足什么條件時，B?A? 解：當(dāng)a＝0時，顯然B?A； 當(dāng)a<0時，若B?A，如圖， 則即 又∵a<0，∴－0時，若B?A，如圖， 則即 又∵a>0，∴

14、0

15、a＋1＝0，解得a＝－，此時A＝，不合題意． 綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為[－2,2)． 答案：[－2,2) 集合的基本運算 [例3]　(1)(2012北京高考)已知集合A＝{x∈R|3x＋2＞0}，B＝{x∈R|(x＋1)(x－3)＞0}，則A∩B＝(　　) A．(－∞，－1)　　　　　　　 B. C. D．(3，＋∞) (2)(2013威海模擬)已知集合A＝{1,2a}，B＝{a，b}，若A∩B＝，則A∪B＝(　　) A. B. C. D. (3)(2013武漢模擬)已知A，B均為集合U＝{1,2,3,4,5,6}的子集，且A∩B＝{3}，(?UB)

16、∩A＝{1}，(?UA)∩(?UB)＝{2,4}，則B∩(?UA)＝________. [自主解答]　(1)∵A＝，B＝{x|x<－1，或x>3}，∴A∩B＝{x|x>3}． (2)由A∩B＝得2a＝，解得a＝－1，則b＝.所以A＝，B＝，則A∪B＝. (3)依題意及韋恩圖得，B∩(?UA)＝{5,6}． [答案]　(1)D　(2)D　(3){5,6} ——————————————————— 1.集合的運算口訣 集合運算的關(guān)鍵是明確概念.集合的交、并、補運算口訣如下：交集元素仔細(xì)找，屬于A且屬于B；并集元素勿遺漏，切記重復(fù)僅取一；全集U是大范圍，去掉U中A元素，剩余元素成補集

17、. 2.解決集合的混合運算的方法 解決集合的混合運算時，一般先運算括號內(nèi)的部分.當(dāng)集合是用列舉法表示的數(shù)集時，可以通過列舉集合的元素進行運算；當(dāng)集合是用不等式形式表示時，可運用數(shù)軸求解. 3．(2013南昌模擬)已知全集U＝R，函數(shù)y＝的定義域為M，N＝{x|log2(x－1)<1}，則如圖所示陰影部分所表示的集合是(　　) A．{x|－2≤x<1} B．{x|－2≤x≤2} C．{x|1

18、 [例4]　非空集合G關(guān)于運算⊕滿足：(1)對任意a、b∈G，都有a⊕b∈G；(2)存在c∈G，使得對一切a∈G，都有a⊕c＝c⊕a＝a，則稱集合G關(guān)于運算⊕為“融洽集”．現(xiàn)給出下列集合和運算： ①G＝{非負(fù)整數(shù)}，⊕為整數(shù)的加法； ②G＝{偶數(shù)}，⊕為整數(shù)的乘法； ③G＝{平面向量}，⊕為平面向量的加法； ④G＝{二次三項式}，⊕為多項式的加法． 其中G關(guān)于運算⊕為“融洽集”的是(　　) A．①②　　　　　　　　　　 B．①③ C．②③ D．②④ [自主解答]?、阱e，因為不滿足條件(2)；④錯，因為不滿足條件(1)． [答案]　B ——————————————————

19、— 解決新定義問題應(yīng)注意以下幾點 (1)遇到新定義問題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點，弄清新定義的性質(zhì)． (2)按新定義的要求，“照章辦事”逐步分析、驗證、運算，使問題得以解決． (3)對于選擇題，可以結(jié)合選項通過驗證，排除、對比、特值等方法解訣． 4．若x∈A，且∈A，則稱集合A為“和諧集”．已知集合M＝，則集合M的子集中，“和諧集”的個數(shù)為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：選C　當(dāng)x＝－2時，＝?M，故－2不是“和諧集”中的元素； 當(dāng)x＝－1時，＝∈M； 當(dāng)x＝時，＝2∈M； 當(dāng)x＝2時，＝－1∈M. 所以－1，，2可以作為“和諧集”中的一

20、組元素； 當(dāng)x＝－時，＝∈M； 當(dāng)x＝時，＝3∈M； 當(dāng)x＝3時，＝－∈M. 所以－，，3可以作為“和諧集”中的一組元素； 當(dāng)x＝0時，＝1∈M，但x＝1時，無意義， 所以0,1不是“和諧集”中的元素． 所以集合M的子集為“和諧集”，其元素只能從兩組元素：－1，，2與－，，3中選取一組或兩組，故“和諧集”有，，－1，，2，－，，3三個． 1組轉(zhuǎn)化——兩個集合的運算與包含關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化 在集合的運算關(guān)系和兩個集合的包含關(guān)系之間往往存在一定的了解，在一定的情況下，集合的運算關(guān)系和包含關(guān)系之間可以相互轉(zhuǎn)化，如A?B?A∩B＝A?A∪B＝B??UA??UB?A∩(?UB)＝

21、?，在解題中運用這種轉(zhuǎn)化能有效簡化解題過程． 3種技巧——集合的運算技巧 (1)對連續(xù)數(shù)集間的運算，借助數(shù)軸的直觀性，進行合理轉(zhuǎn)化；對已知連續(xù)數(shù)集間的關(guān)系，求其中參數(shù)的取值范圍時，要注意單獨考察等號． (2)對離散的數(shù)集間的運算，或抽象集合間的運算，可借助Venn圖．這是數(shù)形結(jié)合思想的又一體現(xiàn)． (3)兩個有限集合相等，可以從兩個集合中的元素相同求解，如果是兩個無限集合相等，從兩個集合中元素相同求解就不方便，這時就根據(jù)兩個集合相等的定義求解，即如果A?B，B?A，則A＝B. 5個注意——解答集合題目應(yīng)注意的問題 (1)認(rèn)清集合元素的屬性(是點集、數(shù)集或其他情形)和化簡集合是正確

22、求解的兩個先決條件． (2)要注意區(qū)分元素與集合的從屬關(guān)系；以及集合與集合的包含關(guān)系． (3)要注意空集的特殊性，在寫集合的子集時不要忘了空集和它本身． (4)運用數(shù)軸圖示法要特別注意端點是實心還是空心． (5)在解決含參數(shù)的集合問題時，要注意檢驗集合中元素的互異性，否則很可能會因為不滿足“互異性”而導(dǎo)致解題錯誤. 創(chuàng)新交匯——與集合運算有關(guān)的交匯問題 1．集合的運算是高考的常考內(nèi)容，以兩個集合的交集和補集運算為主，且常與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、向量等內(nèi)容相結(jié)合，以創(chuàng)新交匯問題的形式出現(xiàn)在高考中． 2．解決集合的創(chuàng)新問題常分三步： (1)信息提取，確定化歸的方向；

23、 (2)對所提取的信息進行加工，探求解決方法； (3)將涉及到的知識進行轉(zhuǎn)換，有效地輸出，其中信息的提取和轉(zhuǎn)化與化歸是解題的關(guān)鍵，也是解題的難點． [典例]　(2012重慶高考)設(shè)平面點集A＝，B＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－1)2≤1}，則A∩B所表示的平面圖形的面積為(　　) A.π　　　　　　　　　　 B.π C.π D. [解析]　不等式(y－x)≥0可化為或集合B表示圓(x－1)2＋(y－1)2＝1上以及圓內(nèi)部的點所構(gòu)成的集合，A∩B所表示的平面區(qū)域如圖所示．曲線y＝，圓(x－1)2＋(y－1)2＝1均關(guān)于直線y＝x對稱，所以陰影部分占圓面積的一半． [答案]

24、　D 1．本題具有以下創(chuàng)新點 (1)命題方式的創(chuàng)新：題目并不是直接求解不等式組所表示的平面區(qū)域的面積，而是以求集合交集的形式考查． (2)考查內(nèi)容的創(chuàng)新：本題通過集合A，B考查了一元一次函數(shù)y＝x、反比例函數(shù)y＝的圖象和圓的方程(x－1)2＋(y－1)2＝1，以及圓和函數(shù)y＝的圖象的對稱性、不等式所表示的平面區(qū)域等內(nèi)容． 2．解決本題的關(guān)鍵有以下兩點 (1)正確識別集合A與集合B中元素的幾何性質(zhì)，并正確畫出各自所表示的區(qū)域； (2)注意到圓(x－1)2＋(y－1)2＝1與函數(shù)y＝(x>0)的圖象都關(guān)于直線y＝x對稱． 3．在解決以集合為背景的創(chuàng)新交匯問題時，應(yīng)重點關(guān)注以下兩點

25、 (1)認(rèn)真閱讀，準(zhǔn)確提取信息，是解決此類問題的前提．如本題應(yīng)首先搞清集合A與B的性質(zhì)，即不等式表示的點集． (2)剝?nèi)ゼ系耐獗?，將陌生轉(zhuǎn)化為熟悉是解決此類問題的關(guān)鍵，如本題去掉集合的外表，將問題轉(zhuǎn)化為求解不等式組表示的平面區(qū)域問題． 1．已知A＝{(x，y)|y＝|ln x|}，B＝，則A∩B的子集個數(shù)為(　　) A．3　　　　 B．4　　　　 C．2　　　　 D．8 解析：選B　A∩B中元素的個數(shù)就是函數(shù)y＝|ln x|的圖象與橢圓＋＝1的交點個數(shù)，如圖所示．由圖可知，函數(shù)圖象和橢圓有兩個交點，即A∩B中有兩個元素，故A∩B的子集有22＝4個． 2．設(shè)集合M＝{y|y＝

26、|cos2x－sin2x|，x∈R}，N＝，則M∩N為(　　) A．(0,1) B．(0,1] C．[0,1) D．[0,1] 解析：選C　∵y＝|cos2x－sin2x|＝|cos 2x|，且x∈R， ∴y∈[0,1]，∴M＝[0,1]．在N中，x∈R且< ，∴|x＋i|< ， ∴x2＋1<2，解得－1

27、)} D．{(2,1)} 解析：選C　設(shè)c＝(x，y)∈M∩N，則有(x，y)＝(2,0)＋m(0,1)＝(1,1)＋n(1，－1)，即(2，m)＝(1＋n,1－n)， 所以由此解得n＝1，m＝0，(x，y)＝(2,0)， 即M∩N＝{(2,0)}． (限時：45分鐘　滿分81分) 一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分) 1．(2012遼寧高考)已知全集U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A＝{0,1,3,5,8}，集合B＝{2,4,5,6,8}，則(?UA)∩(?UB)＝(　　) A．{5,8}　　　　　　　　　 B．{7,9} C

28、．{0,1,3} D．{2,4,6} 解析：選B　?UA＝{2,4,6,7,9}，?UB＝{0,1,3,7,9}，則(?UA)∩(?UB)＝{7,9}． 2．已知S＝{(x，y)|y＝1，x∈R}，T＝{(x，y)|x＝1，y∈R}，則S∩T＝(　　) A．空集 B．{1} C．(1,1) D．{(1,1)} 解析：選D　集合S表示直線y＝1上的點，集合T表示直線x＝1上的點，S∩T表示直線y＝1與直線x＝1的交點． 3．已知集合A＝{1,3，}，B＝{1，m}，A∪B＝A，則m＝(　　) A．0或 B．0或3 C．1或 D．1或3 解析：選B　由A∪B＝

29、A得B?A，有m∈A，所以有m＝或m＝3，即m＝3或m＝1或m＝0，又由集合中元素互異性知m≠1. 4．設(shè)集合A＝{x|1

30、{1,2,3,4}，A?C?B，則集合C的個數(shù)為24－2＝22＝4，即C＝{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}． 6．(2013廈門模擬)設(shè)函數(shù)f(x)＝lg(1－x2)，集合A＝{x|y＝f(x)}，B＝{y|y＝f(x)}，則圖中陰影部分表示的集合為(　　) A．[－1,0] B．(－1,0) C．(－∞，－1)∪[0,1) D．(－∞，－1]∪(0,1) 解析：選D　因為A＝{x|y＝f(x)}＝{x|1－x2>0}＝{x|－1

31、(－1,0]， 故圖中陰影部分表示的集合為(－∞，－1]∪(0,1)． 二、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分) 7．若1∈，則實數(shù)a的值為________． 解析：若a－3＝1，則a＝4，此時－1＝a2＋1＝17不符合集合中元素的互異性；若－1＝1，則a＝，符合條件；若a2＋1＝1，則a＝0，此時－1＝－1，不符合集合中元素的互異性．綜上可知a＝. 答案： 8．(2012天津高考)已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)<0}，且A∩B＝(－1，n)，則m＝________，n＝________. 解析：A＝{x∈R||x＋2|<

32、3}＝{x∈R|－5

33、6，即136＝312＝49＝36，故符合題意的點(a，b)有23＝6個． 綜上可知，集合A中的元素共有17個． 答案：17 三、解答題(本大題共3小題，每小題12分，共36分) 10．A＝{x|－21}，B＝{x|a≤x－2}，A∩B＝{x|1－2}， ∴－2

34、?B，求a的取值范圍； (2)若A∩B＝?，求a的取值范圍； (3)若A∩B＝{x|30時，B＝{x|a0時，B＝{x|a

35、∴a<0時成立， 綜上所述，a≤或a≥4時，A∩B＝?. (3)要滿足A∩B＝{x|3

36、≤2m<1?－≤m<； ②當(dāng)m＝時，B＝?，有B?A成立； ③當(dāng)m>時，B＝{x|12}， ①當(dāng)m<時，B＝{x|2m時，B＝{x|1

37、b∈M，且a≠b}，則集合M與集合N的關(guān)系是(　　) A．M＝N B．M?N C．N?M D．M∩N＝? 解析：選C　由于M＝{－1,0,1}，所以x＝0，－1，故N＝{0，－1}，所以N?M. 2．設(shè)全集U＝R，A＝{x|－x2－3x>0}，B＝{x|x<－1}，則圖中陰影部分表示的集合為(　　) A．{x|x>0} B．{x|－3

38、，則下列結(jié)論正確的是(　　) A．A∪B＝{x|x≥0} B．A∩B＝{1,2} C．(?RA)∩B＝{0,1} D．A∪(?RB)＝{x|x≥1} 解析：選B　依題意得，A∪B＝{x|x≥1}∪{0}，A∩B＝{1,2}，(?RA)∩B＝{0}，A∪(?RB)＝(－∞，0)∪(0，＋∞)，因此結(jié)合各選項知，選B. 4．已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)，若A?B，則實數(shù)a的取值范圍是(c，＋∞)，其中c＝________. 解析：A＝{x|log2x≤2}＝{x|0